三角恒等变换的常用技巧

1、三角恒等变换的常用方法 肖新勇解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。一、 角变换角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。例1

2、 已知，求的值。【分析】考虑到“已知角”是，而“未知角”是和，注意到，可直接运用相关公式求出和。【解析】因为，所以，又因为，所以，从而，. 原式=.【点评】（1）若先计算出，则在计算时，要注意符号的选取；（2）本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出和. 但很繁琐，易出现计算错误。二、名变换名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。例2 已知向量，求的定义域和值域；【分析】

3、易知，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。【解析】 由得， 所以，.的定义域是，值域是.【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.三、常数变换在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 ，等.例3 （1）求证: ；（2）化简：.【分析】第（1）小题运用和把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的的形式，有利于系统研究函数的图象与性质. 【解析】（1）左边=

4、.（2）原式=【点评】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了，把分式变成了整式.四、 边角互化解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.例4 在中，分别为角的对边，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，（1）求角的大小；（2）若，证明是等腰三角形.【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。【解析】（1）（角化

5、边）由正弦定理得， ，整理得，所以，因为，所以.（2）解法一 （边化角）由已知和正弦定理得， 即，从而， 又，所以.所以，是等腰三角形.解法二 由（1）知，代入得，所以，所以，是等腰三角形.【点评】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的结构，第（2）小题的解法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件化为边的关系，而把条件转化为边的关系却很容易；解法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.五、 升降幂变换当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降幂”技巧，常见的公式有：，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，

6、而从右至左则是“幂降角变倍”.例5 化简：【分析】含有根号，需“升幂”去根号.【解析】原式= =因为，所以，所以，原式.【点评】“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”。六、公式变用几乎所有公式都能变形用或逆向用，如，等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧. 例6 求值：（1）；（2）。【分析】第（1）小题中，除是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【解析】（1）原式。（2）原式。【点评】第（1）小题的一般性结论是： .最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时关键步骤的一种特定的做法，每一个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，