线性系统的根轨迹分析

1、第第4 4章章 线性系统的根轨迹分析线性系统的根轨迹分析 本章主要内容及重点本章主要内容及重点 4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 4- -2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则 4-3 4-3 正反馈回路和零度根轨迹正反馈回路和零度根轨迹本章主要内容本章主要内容本章阐述了控制系统本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规的基本条件和基本规则则, ,参量根轨迹和零参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控轨迹如何分析计算

2、控制系统的性能（稳定制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性、暂态特性和稳态性能指标等）。性能指标等）。本章重点本章重点学习本章内容学习本章内容, ,应重点应重点掌握根轨迹的基本概念掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和的稳定性、暂态特性和稳态性能稳态性能, , 参量根轨迹参量根轨迹的概念和绘制方法的概念和绘制方法, ,理理解零度根轨迹的基本概解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。念和绘制方法。4-1 4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹的主要内容根轨迹的主要内容 当系统

3、的某一参数变化时，利用已知的开当系统的某一参数变化时，利用已知的开环传递函数的极点和零点，绘制闭环系统的环传递函数的极点和零点，绘制闭环系统的特征根的轨迹。特征根的轨迹。 下面结合具体的例子来说明什么是根轨迹。下面结合具体的例子来说明什么是根轨迹。控制系统框图如图控制系统框图如图4-1-14-1-1所示，其开环传递函所示，其开环传递函数为数为图图4-1-14-1-1控制系统框图控制系统框图G(s)+ +- -R R( (s s) )E E( (s s) )C C( (s s) )将上式化为将上式化为即为根轨迹所用传函的标准形式，其中即为根轨迹所用传函的标准形式，其中) 15 . 0()(ssK

4、sG)2()2(2)(sskssKsGKk2由式由式(4-1-2)(4-1-2)解得两个开环极点：解得两个开环极点：p p1 1 =0 =0， p p2 2 =-2 =-2画于图画于图4-1-24-1-2中。由式中。由式(4-1-2)(4-1-2)求得闭环传递函数求得闭环传递函数为为(4-1-1)(4-1-1)(4-1-2)(4-1-2)kssksGsGsRsCsGB)2()(1)()()()(4-1-3)(4-1-3)于是得到闭环系统的特征方程于是得到闭环系统的特征方程下面说明，当下面说明，当k k从从00，特征根即闭环极点，特征根即闭环极点 如何变化。如何变化。02)(2ksssD21ss

5、、(4-1-4)(4-1-4)解得解得ksks111121(4-1-5)(4-1-5)当当k=0k=0时，时， ，此时闭环极点就是开环极点。此时闭环极点就是开环极点。当当00k1k1时，时， 均为负实数，在均为负实数，在(-2,0)(-2,0)一段负实轴上。一段负实轴上。当当k=1k=1时，时， ，两个负实数闭环极点重合在一起。两个负实数闭环极点重合在一起。当当11kkmnm时，时，式式(4-2-3)(4-2-3)改写为改写为当当kk时时kpspsspspspszszsznmmm1)()(1()1)(1()1()1)(1(12121(4-2-4)(4-2-4)(4-2-5)(4-2-5) 可见

6、，开环零点和无穷远处都是根轨迹的终点。若可见，开环零点和无穷远处都是根轨迹的终点。若称系统有称系统有n-mn-m个无穷大的开环零点，则系统的开个无穷大的开环零点，则系统的开环零点和开环极点数相同了。环零点和开环极点数相同了。规则三规则三 根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目如果开环零点数目m m小于开环极点数目小于开环极点数目n n，则有则有( (n-m)n-m)条根轨迹终止于条根轨迹终止于 ss平面无穷远处。平面无穷远处。根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m m小于极点小于极

7、点数目数目n n时，时，( (n-m)n-m)条根轨迹沿什么方向趋于条根轨迹沿什么方向趋于 ss平面无平面无穷远处。由式穷远处。由式(4-1-7)(4-1-7)及式及式(4-2-1)(4-2-1)求得求得1)()()()(2121nmpspspszszszsk/1)()(tetctg图图4-2-14-2-1(4-2-6)(4-2-6)的向量图s当当ss时，可以认为分子分母中各个一次因式时，可以认为分子分母中各个一次因式项相等，即对于渐近线上的点，有项相等，即对于渐近线上的点，有spspszszszsnm121(4-2-7)(4-2-7)式中，式中， 是实数，是实数， 如图如图4-2-14-2-

8、1所示。将上式所示。将上式代入式（代入式（4-2-64-2-6）可得）可得s1)(mnskksmn)(式式(4-2-8)(4-2-8)就是渐近线应满足的方程。由此式可得就是渐近线应满足的方程。由此式可得(4-2-8)(4-2-8)有无数个解，但这些解有无数个解，但这些解)2, 1, 0(l由上式可知由上式可知) 12()()(lsmn)( s实际上只表示过点实际上只表示过点)0,(j的的n-mn-m个不同位置的个不同位置的直线，因此可认为只有直线，因此可认为只有n-mn-m个不同的解。故有个不同的解。故有mnls12)() 1,2 , 1 , 0(mnl下面求下面求a a利用多项式乘法和除法，

9、由式利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)(4-2-6)可得可得(4-2-9)(4-2-9)利用二项式定理将入上式左边展开后得可得利用二项式定理将入上式左边展开后得可得1111111)()()(mnniimjjmnmmjjmnniinspzsszsspsk将式将式(4-2-8)(4-2-8)代入上式可得代入上式可得111)()(mnniimjjmnmnspzss上式两边上式两边 的系数应相等，故有的系数应相等，故有1111)()(mnniimjjmnmnmnspzssmns1 mnsmnzpmjjnii11(4-2-10)(4-2-10)若开环传递函数无零点，取若开环传递函数无零点，取 0j

10、z规则四规则四 如果控制系统的开环零点数目如果控制系统的开环零点数目m m小于开小于开环极点数目环极点数目n n，当当kk时，伸向无穷远处根轨迹时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线共有的渐近线共有( (n-m)n-m)条。这些渐近线在实轴上交条。这些渐近线在实轴上交于一点，其坐标是于一点，其坐标是)0,(11jmnzpmjjnii而渐近线与实轴正方向的夹角是而渐近线与实轴正方向的夹角是mnl12) 1,2 , 1 , 0(mnl实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹设设其中其中)()()()()(3211pspspszsksHsG21pp、是共轭复数极点，开环极点、零点是共轭复数极点，开环极点、零点在在 ss

11、平面上的位置。如图平面上的位置。如图(4-2-2)(4-2-2)所示所示图图4-2-24-2-2确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹说明说明s s2 2不是根轨迹上的点。不是根轨迹上的点。180180)(0)()()()()()(31211111pspspszssHsG说明说明s s1 1是根轨迹上的点。其次，在是根轨迹上的点。其次，在(-(-，z z1 1) )中间中间取试验点取试验点s s2 2，则有则有0180180)()()()()()()()(321232221212pszspspspszssHsG在在 ss平面实轴上取试验点，用相角条件检查该平面实轴上取试验点，用相角条件检查该试验

12、点是不是根轨迹上的点。首先在试验点是不是根轨迹上的点。首先在z z1 1、p p3 3之间之间选试验点选试验点s s1 1，则有，则有规则五规则五 实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开环实数极点、实数零点总数为奇数的线段。共轭环实数极点、实数零点总数为奇数的线段。共轭复数开环极点、零点对确定实轴上的根轨迹无影复数开环极点、零点对确定实轴上的根轨迹无影响。响。图图4-2-3 分离点与会合点分离点与会合点根轨迹在实轴上的分离点和会合点根轨迹在实轴上的分离点和会合点特征方程为特征方程为图图4-2-34-2-3的根轨迹中的点的根轨迹中的点A A和点和点B B分别是根轨迹

13、在分别是根轨迹在实轴上的分离点和会合点。显然分离点和会合点实轴上的分离点和会合点。显然分离点和会合点是特征方程的实数重根。是特征方程的实数重根。设开环传递函数为设开环传递函数为)()()()(sDskNsHsG(4-2-11)(4-2-11)其中，其中，niimjjpssDzssN11)()(),()(0)()()(skNsDsf(4-2-12)设特征方程有设特征方程有2 2重根重根 ，则有，则有)()()()()(21spssskNsDsf式中，式中，p (s)是是s的的n-2n-2次多项式次多项式1sdssdpssspssdssdNkdssdDdssdf)()()()( 2)()()(21

14、1所以重根及分离点和会合点满足下述方程所以重根及分离点和会合点满足下述方程0)(dssdf(4-2-13)及及0)()(dssdNkdssdD(4-2-14)由式由式(4-2-12)(4-2-12)得得k=-k=-D(s)/N(s)，代入式代入式(4-2-14)(4-2-14)得得0)()()()(dssdNsDdssdDsN规则六规则六 根轨迹在实轴上的分离点或会合点的坐根轨迹在实轴上的分离点或会合点的坐标应满足方程标应满足方程(4-2-13)(4-2-13)或或(4-2-15)(4-2-15)。0)()(sNsDdsd(4-2-15)(4-2-15)例例4-2-1 4-2-1 已知负反馈系

15、统的开环传递函数为已知负反馈系统的开环传递函数为) 2)(1()()(sssksHsG试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解解 令令s(s+1)(s+2)=0s(s+1)(s+2)=0，解得三个开环极点解得三个开环极点1 1）根轨迹分支数等于）根轨迹分支数等于3 3。2 2）三条根轨迹的起点分别为：）三条根轨迹的起点分别为：(0,(0,j0)j0)、(-1,j0)(-1,j0)、(-2,j0)(-2,j0)，终点均为无穷远处。终点均为无穷远处。3 3）根轨迹的渐近线：由于）根轨迹的渐近线：由于n=3,m=0n=3,m=0，所以所以该系统的根轨迹共有三条渐近线，它们在该系统的根轨迹共有三条渐

16、近线，它们在实轴上的交点坐标是实轴上的交点坐标是2, 1, 0321ppp130210)()(11mnzpnimjji渐近线与实轴正方向的夹角分别是渐近线与实轴正方向的夹角分别是603) 12(:0mnll4 4）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：(-(-，-2-2段及段及-1-1，00段。段。5 5）根轨迹与实轴的分离点坐标）根轨迹与实轴的分离点坐标 闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为18033:1l6030035:2或l023)(23kssssf0263)(2ssdssdf578. 1,422. 021ss由前边分析得知，由前边分析得知， 不是根轨迹上的点，故舍不是根轨迹上的点，故舍去。

17、去。 是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出根轨迹如图根轨迹如图4-2-44-2-4所示。所示。1s2s图图4-2-4 4-2-4 例例4-2-14-2-1的跟轨迹图的跟轨迹图根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点规则七规则七 根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于根轨迹与虚轴相交，说明控制系统有位于虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将虚轴上的闭环极点，即特征方程含有纯虚根，将s=js=j代入特征方程式代入特征方程式(4-1-6)(4-1-6)中，得到中，得到或或0)()(1jHjG0)()(1Im)()(1RejHjGjjHjG(4-2-16)(4-2-16)

18、将上式分为实部、虚部两个方程，即将上式分为实部、虚部两个方程，即0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG(4-2-17)(4-2-17)解式解式(4-2-17)(4-2-17)两个方程，可以求得根轨迹与虚轴两个方程，可以求得根轨迹与虚轴的交点坐标的交点坐标值及与交点相对应的参数值及与交点相对应的参数k k的临界的临界值值 。例例4-2-2 4-2-2 求例求例4-2-14-2-1系统根轨迹与虚轴交点系统根轨迹与虚轴交点的坐标及参数临界值的坐标及参数临界值解解 控制系统的特征方程是控制系统的特征方程是ckck02323ksss令令s=j s=j ，代入上式，得代入上式，得02323kjj

19、写出实部和虚部方程写出实部和虚部方程求得参数求得参数k k的临界值的临界值k kc c=6=6。当当kkkkc c时，系统将不稳时，系统将不稳定。定。020332k由虚部方程解得根轨迹与虚轴的交点坐标为由虚部方程解得根轨迹与虚轴的交点坐标为)(21s代入实部方程，代入实部方程，）或（将22中。已标在图及4246)(21cKs根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角出射角出射角根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角，如图正方向的夹角，如图4-2-54-2-5中的中的 。入射角入射角根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与根轨迹进入开环复数零点处的切线

20、方向与实轴正方向的夹角，如图实轴正方向的夹角，如图4-2-54-2-5中的中的21zz、21pp、图图4-2-5 4-2-5 根轨迹的出射角与入射角根轨迹的出射角与入射角图图4-2-6 4-2-6 出射角出射角 的求取的求取1p因为因为下面以图下面以图4-2-64-2-6所示开环极点与开环零点分布为所示开环极点与开环零点分布为例，说明如何求取出射角例，说明如何求取出射角 。在图在图4-2-64-2-6所示的根轨迹上取一试验点所示的根轨迹上取一试验点S S1 1，使使S S1 1无无限地靠近开环复数极点限地靠近开环复数极点p p1 1，即认为即认为 这时这时1)(11pps依据相角条件依据相角条

21、件180)()()()()(3121111ppppzpsHsGp)()()pppzpip即可。、，所以只求112121,zpzzpp11ps 1p由上式求得出射角由上式求得出射角 为为1p推向一般，计算根轨迹出射角的一般表达式为推向一般，计算根轨迹出射角的一般表达式为 niimjjpppzpi2111)()(18021同理可求出根轨迹入射角的计算公式为同理可求出根轨迹入射角的计算公式为mjniizzjzpzi2111)()(18021(4-2-18)(4-2-18)(4-2-19)(4-2-19) 规则八规则八始于开环复数极点处的根轨迹的出射角按式始于开环复数极点处的

22、根轨迹的出射角按式(4-2-18)(4-2-18)计算，止于开环复数零点处的根轨计算，止于开环复数零点处的根轨迹的入射角按式迹的入射角按式(4-2-19)(4-2-19)计算。计算。25. 33) 1()()(2sssksHsG例例4-2-3 4-2-3 已知负反馈系统的开环传递函数为已知负反馈系统的开环传递函数为1)1)根轨迹的分支数等于根轨迹的分支数等于2 2；2)2)二条根轨迹起点分别是二条根轨迹起点分别是 。终点是终点是z z1 1即无穷远处；即无穷远处；3)3)根轨迹的渐近线：因为根轨迹的渐近线：因为n=2n=2，m=1m=1，所以只有一条渐近线，是负实轴；所以只有一条渐近线，是负实

23、轴；4)4)实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-(-，-1;-1;试绘制系统的根轨迹图。试绘制系统的根轨迹图。解解 令令025. 332 ssjp5 . 121、令令s+1=0 s+1=0 ，解得解得z z1 1=-1=-121pp、5)5)根轨迹与实轴会合点坐标根轨迹与实轴会合点坐标025. 020125. 3322sssssdsd解得解得12. 0,12. 221ss 不是根轨迹上的点，故舍去，不是根轨迹上的点，故舍去， 是根轨迹与实轴的会合点。是根轨迹与实轴的会合点。1s2s6)6)求出射角求出射角最后画出根轨迹图，如图最后画出根轨迹图，如图4-2-74-2-7所示。所示。6.2066.

24、206906.116180)()(1806.1162arctan180)(21211111ppzpzpzp图图4-2-7 4-2-7 例例4-2-34-2-3系统根轨迹图系统根轨迹图例例4-2-4 4-2-4 负反馈控制系统的开环传递函数为负反馈控制系统的开环传递函数为 )22)(73. 2()()(2sssksHsG试绘制系统的根轨迹图。试绘制系统的根轨迹图。解解 由已知的由已知的G(s)H(s)G(s)H(s)73. 2,1,1, 04321pjpjpp1)1)渐近线分支数等于渐近线分支数等于4 4。2)2)四条根轨迹分别是四条根轨迹分别是p p1 1、p p2 2、p p3 3、p p4

25、 4，终止于无终止于无穷远处。穷远处。3)3)根轨迹的渐近线：根轨迹有四条渐近线，它们根轨迹的渐近线：根轨迹有四条渐近线，它们在实轴上的交点坐标是在实轴上的交点坐标是 渐近线与实轴正方向的夹角分别是渐近线与实轴正方向的夹角分别是18. 104073. 2110)()(11jjmnzpnimjji454) 12(:0mnll13543: 1l13522545:2或l4531547:3或l解得：解得： ，这是起源于开环极点这是起源于开环极点的两条根轨迹脱离实轴时的分离点坐标。的两条根轨迹脱离实轴时的分离点坐标。4)4)实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-2.73,0)(-2.73,0)。5)5)根

26、轨迹与实轴的分离点坐标。根据式根轨迹与实轴的分离点坐标。根据式(4-2-15)(4-2-15)06.21s73.2041pp、0)22)(73. 2(2ssssdsd6)6)根轨迹的出射角。根据式根轨迹的出射角。根据式(4-2-18)(4-2-18)可求得出射角可求得出射角32pp、046.573.4046.7324k75753090135180)()()ppppppp7)7)根轨迹与虚轴的交点。起源于开环极点根轨迹与虚轴的交点。起源于开环极点p p2 2、p p3 3的的两条根轨迹与虚轴相交，其交点坐标可根据式两条根轨迹与虚轴相交，其交点坐标可根据式(4-(4-2-

27、17)2-17)求得的实部方程与虚部方程进行计算，即求得的实部方程与虚部方程进行计算，即由虚部方程解得由虚部方程解得)0( 07. 1)0(01ksk）（及将将=1.07=1.07代入实部方程求得参数代入实部方程求得参数k k的临界值的临界值k kc c=7.23=7.23。给定系统为给定系统为1 1型系统，根据式型系统，根据式(4-2-25)(4-2-25)可求得该系统的临界开环放大系数可求得该系统的临界开环放大系数k kvcvc 最后绘出该系统的根轨迹图如图最后绘出该系统的根轨迹图如图4-2-84-2-8所示。所示。8)8)闭环极点的和与积。系统的特征方程为闭环极点的和与积。系统的特征方程

28、为)(33. 1)73. 2)(1)(1 (123. 7)()(111sjjpzkkniimjjcvc046. 546. 773. 4)(234kssssSD求得四个闭环极点之和为求得四个闭环极点之和为73. 44321ssss四个闭环极点之积为四个闭环极点之积为kssss)()()(4321已知系统在临界状态时两个闭环极点为已知系统在临界状态时两个闭环极点为 及及 k kc c =7.23 =7.23利用前边两个关利用前边两个关系式可求得此时对应的另外两个闭环极点系式可求得此时对应的另外两个闭环极点s s3 3、s s4 4 。3 . 623. 773. 473. 421432143ssss

29、ssss84. 0365. 243js、07. 121js、图图4-2-8 4-2-8 例例4 4-2-4-2-4系统根轨迹图系统根轨迹图例例4-2-5 4-2-5 已知单位负反馈的开环传递函数为已知单位负反馈的开环传递函数为解解 将开环传递函数将开环传递函数G(s)化为在根轨迹法中常化为在根轨迹法中常用的形式用的形式15 . 0)(ssKsG用根轨迹分析开环放大系数用根轨迹分析开环放大系数K K对系统性能的影响，对系统性能的影响，并计算并计算K=5K=5时，系统的动态性能指标。时，系统的动态性能指标。222)(sskssKsG按根轨迹图分析，按根轨迹图分析，K为任意值时，系统都是稳定的。为任

30、意值时，系统都是稳定的。当当0K0.5(1k1)时，系统具有两个不相等的负实时，系统具有两个不相等的负实根。根。于是得系统的性能指标于是得系统的性能指标知系统的闭环极点为时，由图时的动态响应是振荡的。复数极点，则系统时，系统具有一对共轭非振荡的。当这时系统的动态响应是的负实根，时，系统具有两个相等当924)10(5)1 (5 . 0) 1(5 . 0kKkKkK316. 03.161 cos 16. 310 311221nnnjjs则、 5%)3s( 3t1.05s 1t63. 0325. 114. 3 1%35%100%100s2p2r05. 112nnnpstee图图4-2-9 4-2-9

31、 例例4-2-54-2-5系统的根轨迹系统的根轨迹例例4-2-6 4-2-6 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为解解 系统的特征方程为系统的特征方程为13313,11)()(KKsKsKsHsG要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。开环增益。31311 011sKsK或渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为10q 180603121800111321，处。渐近线的相角为时沿着渐近线趋向时从开环极点出发，根轨迹有三条分支，无开环零点。极点给定系统有三重的开环、qKKpa之线段上。至实轴上根轨迹存在于11313a根轨迹之分离点

32、必须满足下列方程根轨迹之分离点必须满足下列方程系统的根轨迹如图系统的根轨迹如图4-2-104-2-10所示。系统处于稳定临所示。系统处于稳定临界状态时的开环增益为界状态时的开环增益为。由上式可见，分离点为101321sdsdK8,8213331KKK图图4-2-10 4-2-10 例例4-2-64-2-6的根轨迹的根轨迹4-3 4-3 正反馈回路和零度根轨迹正反馈回路和零度根轨迹设有局部正反馈系统的方框图如图设有局部正反馈系统的方框图如图4-3-14-3-1所示所示。图图4-3-1 4-3-1 具有局部正反馈的系统具有局部正反馈的系统正反馈回路的闭环传递函数为正反馈回路的闭环传递函数为相应的特征方程为相应的特征方程为)()(1)()()(1sHsGsGsRsC 1)()( 0)()(1sHsGsHsG或(4-3-1)根据式根据式(4-3-1)正反馈回路根轨迹的幅值条件和相角正反馈回路根轨迹的幅值条件和相角条件为：条件为：1)()(11niimjjpszsksHsG(4-3-2)根据式根据式(4-3-3