数学试卷2019全国一卷文(正式版)(原卷版)

1、绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3-i1.设z=，则z =1 2iA. 2B.33C.22D. 12 .已知集合 U =1,2,3,4,5,6,7 , A =2,34

2、5, B =2,3,6,7,则 B© A =A.七,6B.1,7C.6,7D. 1,6,7020 33 .已知 a = log2 0.2,b =2 ,c = 0.2 ，则A . a <b <cB , a <c <bC, c<a<bD, b <c <a-甘,小、一、54 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是2,5-1（早用.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人25-1体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是上5.若某人满足上述两个黄金2分割比例，且腿长为 105c

3、m,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsin x x5,函数f(x)=2在兀，4的图像大致为cosx X6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,，1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生7 . tan255° =A. -2-73B. -2+73C. 2出D. 2+738 .已知非零向量 a, b满足a =2 b ,且(a -

4、b) .L b,则a与b的夹角为D.2冗C. 一3119.如图是求2+ 的程序框图，图中空白框中应填入2 1210 .双曲线C：A. 2sin4011 . ABC的内角 1B. A=2 十一A1C. A=1 2AD. A=1 +2A2%=1(a a 0,b > 0)的一条渐近线的倾斜角为b2130°,则C的离心率为B. 2cos401C.sin50A, B, C的对边分别为1D.cos501a,b, c, 已知 asinA bsinB=4csinC, cosA=4则2 = cA. 6B. 5C. 4D. 312.已知椭圆 C的焦点为Fi(1,0), F2(1,0),过F2的直线

5、与 C交于A, B两点.若|AF2|二2|F2B|, |AB|=|BFJ,则 C 的方程为2A x 2.A . + y =1222B,人+上=13222C,2+E=143二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13. 曲线y =3(x2 +x)ex在点(0,0)处的切线方程为3 一14. 记Sn为等比数列an的刖n项和.右a1 =1, S3 =一，则S4=4.3 兀15. 函数f(x)=sin(2x +)-3cosx的最小值为 216. 已知/ ACB= 90° , P为平面 ABC外一点，PC=2,点P到/ACB两边AC, BC的距离均为百，那么P到平面ABC的距离为17

6、21题为必考题,、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60分。17. (12 分)某商场为提高服务质量， 随机调查了 50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?2附：犬=n(ad -bc)(a b)(c d)(a c)(b d)2.P （K 冰）0.0500.0100.001k3.8416.6351

7、0.82818. (12 分)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式；(2)若a1>0,求使得Sn冷n的n的取值范围.19. (12 分)如图，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底面是菱形，AAi=4, AB=2, ZBAD=60° , E, M, N分别是BC, BBi, AiD的中点.(1)证明：MN/平面 CiDE；(2)求点C到平面CiDE的距离.20. (12 分)已知函数 f (x) =2sinxxcosx x, f ' (x)为 f (x)的导数.(1)证明：f ' (x)在区间(0,另存在唯

8、一零点；(2)若xC 0,兀时，f (x)*x,求a的取值范围.21. (12 分)已知点A, B关于坐标原点 O对称，|AB =4, OM过点A, B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点 P,使得当A运动时，1MA - MP I为定值？并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22.选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 -t2x 2，1 t24ty 一1 t2t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标

9、方程为2 Pcos 日 +73Psin 9 +11 = 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1 .证明:111222(1)+2 +a2 +b2 +c2； a b c(2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 之24.201眸普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1. C7. D二、填空题13. y=3x三、解答题2.C3. B4. B5. D6. C8.B9. A10. D11. A12. B14.515. -416. ,2817 .解：(1)由调查数据，男顾客

10、中对该商场服务满意的比率为场服务满意的概率的估计值为0.8.= 0.8,因此男顾客对该商50女顾客中对该商场服务满意的比率为 的估计值为0.6.一 二0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率 50K2100 (40 20 -30 10)250 50 70 30由于4.762 >3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18 .解：(1)设an 的公差为d.由 S9 = -95得 a1 +4d =0 .由a3=4得 a1 +2d =4.于是 a1 =8,d - -2 .因此 Qn的通项公式为an =10 -2n .(2)由(1)得阚=-4d 故 an = (n -5

11、)d,Sn =nn.22由a A0知d <0,故Snan等价于n 11n+10, 0,解得1诉w 10所以n的取值范围是n|1Jg!|n 10, n N.19.解:(1)连结BQ,ME .因为M , E分别为BBi,BC的中点，所以ME / BC ,且1 1ME = B1c.又因为N为AQ的中点，所以ND=AD.2 2由题设知 AB= DC ,可得BC = AD ,故ME= ND ,因此四边形MNDE为平行四边形，MN / ED .又MN0平面CQE ,所以MN /平面CDE .(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE_LBC, DE _LCC ,所以DEL平面C1CE ,故D

12、ECH.4、1717从而CH，平面C1DE ,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1, C1C=4,所以C1E=J17,故CH4、一17从而点C到平面C1DE的距离为 1720 .解：(1)设 g(x) = f '(x),贝U g(x) =cosx+xsin x1,g'(x) = xcosx.当 x0,-)时，g(x)A0;当 xW 口，/ I 时，g(x) <0,所以 g(x)在(0,-)单调递222增，在1，%1单调递减.又g(0) =0,g>0,g(力=一2 ，故g(x)在(0,力存在唯一零点.2所以f'(x)在(0,冗)存在唯一零点

13、.(2)由题设知f(劝一丑砥f (访=0 ,可得aw0.由(1)知，(x)在(0,冗)只有一个零点，设为 X。，且当xw(0,x°)时，f'(x)A0；当XW(X0,TT)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,x0)单调递增，在(沏，冗)单调递减.又 f(0) =0, f (冗)=0,所以，当 xw0,用时，f(x0.又当 a, 0,x e0,用时，ax<0,故 f(x)ax.因此，a的取值范围是(q0.21 .解：(1)因为M过点A, B ,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且A, B关于坐标原点O对称，所以M在直线y = x

14、上，故可设 M (a, a).因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r=|a + 2|.由已知得 |AO|=2,又 MO_LAO,故可得 2a2+4 = (a+2)2,解得 a=0或 a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP |为定值.理由如下：设M (x, y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2 .由于MO_LAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2 ,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点，以直线 x = 1为准线的抛物线，所以 |MP|=x+1 .因为|MA|-|MP|=r|MP|=x+2

15、(x+1)=1 ,所以存在满足条件的定点 P. 一， ，1 -t2, l 2 ，y S22.解：(1)因为-1工2 <1，且x +2： 1十t24t2 心+2=1,所以C的直角2坐标方程为X2 = 1(x-1).4l的直角坐标方程为 2x + J3y +11 = 0 .x = cos：.(2)由(1)可设C的参数方程为,) (“为参数,y = 2sin ;-Tt<0( < 冗).|2cos ：，2 V 3sin '：，11|C上的点至U l的距离为J苔L,7(4cos I11 3当0f =_2时，4cos la - 1+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为 J7 . 3.322222223.解：(1)因为 a +b 22ab,b +c 之 2bc,c +a > 2ac,又 abc=1,故有2 .22ab bc ca 111a b c - ab bc ca =二一 一 -abc a b c所以1 _ a2 b2c2.a b c(2)因为a, b, c为正数且abc = 1,故有333 o333(a b) (b c) (c a) -33 (a b) (b c) (a c)=3(a+b)(b+c)(a+c)-3 (2 ,ab) (2 .be) (2 ,ac)=24.所以(a - b)3 (b - c)3 (c a)3 一