定积分的概念

1、第五章第五章 定积分定积分 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第四节第四节 反常积分反常积分主讲人：李源第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质三、定积分的性质三、定积分的性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、定积分的定义二、定积分的定义一、定积分问题举例一、定积分问题举例曲边梯形 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、Y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 如何计算其面积？abxyo

2、y=f(x)x=bx=a 在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积，如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是我们需要解决的问题。1xix1ix-xabyo解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点0121nna x x xxx b-= 0, 计算物体在时间段T1, T2内所经过的路程S. (1)分割: T1=t0t1t2 * tn-1tn=T2, tititi+1; (2)近似: 物体在时间段ti1, ti内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1, T2内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限:

3、记maxt1, t2, tn, 物体所经过的路程为 niiitvS1)( niiitvS10)(lim 01lim()niiisvtlx=D上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限1.1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 01lim( )niiiSx flx=D 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题，将其一般化，就得到定积分的概念.1. 定积分的定义(i1, 2, n), niiixf1)( 作和maxx1, x2,xn; 在小区间xi1, xi上任取一

4、点i 记xi=xi-xi1 (i1, , n), 个分点: ax0 x1x2 xn1=曲边梯形面积( )0,( )dbaf xf xxb 时 abbadxxfdxxf)()( 性质 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()( 性质 2 babadxxfkdxxkf)()( 性质 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性质4 推论1 如果在区间a b上 f (x)g(x) 则 如果在区间a b上 f (x)0 则 性质5 推论2 这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以即 babadxxfdxxf| )(|)(| 性质 4 abdxdxbaba1 bad

5、xxf0)(ab) babadxxgdxxf)()(ab) babadxxfdxxf| )(|)(|(ab) bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(| 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a b上连续则在积分区间a b上至少存在一个点 ,使下式成立 这是因为, 由性质6变形得 积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点a, b, 使两端乘以ba即得积分中值公式. baMdxxfabm)(1 baabMdxxfabm)()()(a 可把.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因)(d)(fabxxfbaabxxfbad)(nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例3 估计积分 的值3013sindxxp+解解,sin)(xxxf 2,4 x2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx , 0 例4 估计积分 的值24sinxdxxpp)(xf在2,4 上单调下降, 22 2( )( )( ),24ff