导数高考题(含答案)

1、导数高考题1已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min m，n 表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min f（x），g（x）（x0），讨论h（x）零点的个数解：（i）f（x）=3x2+a，设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此当a=时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x（1，+）时，g（x）=lnx0，函数h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，故h（x）在x（1，+）时无零点当x=1时，若a，则f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g

2、（1）=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a，则f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可当a3或a0时，f（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，当a3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点当3a0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=若0，即，则f（x）在（0，1）内无零点若=

3、0，即a=，则f（x）在（0，1）内有唯一零点若0，即，由f（0）=，f（1）=a+，当时，f（x）在（0，1）内有两个零点当3a时，f（x）在（0，1）内有一个零点综上可得：当或a时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点2设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围解：（1）证明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0若m0，则当x（，0

4、）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值所以对于任意x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件是即设函数g（t）=ette+1，则g（t）=et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0故g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故当t1，1时，g（t）0当m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，

5、即emme1当m1时，g（m）0，即em+me1综上，m的取值范围是1，13函数f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论f（x）的单调性；（）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：an解：（）函数f（x）的定义域为（1，+），f（x）=，当1a2时，若x（1，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，a22a）上是增函数，若x（a22a，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，0）上是减函数，若x（0，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，+）上是增函数当a=2时，f（x）0，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当a2时，若x（1，0），则f（x）0，此时函

6、数f（x）在（1，0）上是增函数，若x（0，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，a22a）上是减函数，若x（a22a，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2时，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当x（0，+）时，f（x）f（0）=0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x（0，3）时，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由已知，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）ln（），an+1=l

7、n（an+1）ln（），即当n=k+1时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立4已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0，函数f（x）在R上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b

8、4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，g（x）0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，x0时，g（x）0，符合题意当b2时，若x满足2ex+ex2b2即，得，此时，g（x）0，又由g（0）=0知，当时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值

9、为0.6935设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为y=e（x1）+2（）求a、b；（）证明：f（x）1解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=+，由题意可得f（1）=2，f（1）=e，故a=1，b=2；（）由（）知，f（x）=exlnx+，f（x）1，exlnx+1，lnx，f（x）1等价于xlnxxex，设函数g（x）=xlnx，则g（x）=1+lnx，当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（x）在（0，+）上的最小值为g（）=设函数h（x）=xex，则h（x）

10、=ex（1x）当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而h（x）在（0，+）上的最大值为h（1）=综上，当x0时，g（x）h（x），即f（x）16已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4

11、，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1），设F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由题设得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值为F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2时F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，则F（

12、x）=2e2（x+2）（exe2），从而当x（2，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当x2时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2时，F（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以当x2时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是1，e27已知函数f（x）=exln（x+m）（）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）0（）解：，x=0是f（x）的极值点，解得m=1所以函数f（x）=exln（x+1），其定义域为（1，+）设g（x）=ex（x+1）1，则g（x）=ex（x+1

13、）+ex0，所以g（x）在（1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即f（x）0；当1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，x（m，+）时，ln（x+m）ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）0当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一实数根x0，且x0（1，0）当x（2，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0综上，当m2时，f（x）

14、08已知函数（I）若x0时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项an=1+解：（I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使x0时，f（x）0恒成立，则f（x）在（0，+）上必为减函数，即在（0，+）上f（x）0恒成立，当0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0时，由f（x）0解得x，则当0x，f（x）0，所以当0x时，f（x）0，此时不合题意，若，则当x0时，f（x）0恒成立，此时f（x）在（0，+）上必为减函数，所以当x0时，f（x）0恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为（ II）令=，由（I）知，当x0时，f（x）0，即取x=，

15、则于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2，所以。9设函数f（x）=ax+cosx，x0，（）讨论f（x）的单调性；（）设f（x）1+sinx，求a的取值范围解：（）求导函数，可得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1；当a0时，f'（x）0恒成立，f（x）单调递减；当a1 时，f'（x）0恒成立，f（x）单调递增；当0a1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=arcsina当x0，x1时，sinxa，f'（x）0，f（x）单调递增当xx1，x2时，sinxa，f'（x）0，f（x）单调递减当xx2，时，sinxa，f

16、9;（x）0，f（x）单调递增； （）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，a令g（x）=sinx（0x），则g（x）=cosx当x时，g（x）0，当时，g（x）0，g（x）0，即（0x），当a时，有当0x时，cosx1，所以f（x）1+sinx；当时，=1+1+sinx综上，a10已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（）求a、b的值；（）如果当x0，且x1时，f（x）+，求k的取值范围解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1），（）由于直线x+2y3=0的斜率为，且过点（1，1），故，即解得a=1，b=1（）由（）知，所以）考虑函数（x

17、0），则（i）设k0，由知，当x1时，h（x）0而h（1）=0，故当x（0，1）时，h（x）0，可得；当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）0从而当x0，且x1时，f（x）（+）0，即f（x）+（ii）设0k1由于当x（1，）时，（k1）（x2+1）+2x0，故h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，与题设矛盾（iii）设k1此时h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）0，与题设矛盾综合得，k的取值范围为（，011设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围解：（1）当x1时，

18、f（x）当且仅当ex1+x，令g（x）=exx1，则g'（x）=ex1当x0时g'（x）0，g（x）在0，+）是增函数当x0时g'（x）0，g（x）在（，0是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当xR时，g（x）g（0）时，即ex1+x，所以当x1时，f（x）（2）由题意x0，此时f（x）0当a0时，若x，则0，f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，则f（x）当且仅当h（x）0因为f（x）=1ex，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）当0a时，由（1

19、）知x（x+1）f（x）h'（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）f（x）0，h（x）在0，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即f（x）（ii）当a时，由（i）知xf（x）h'（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）当0x时，h'（x）0，所以h'（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）综上，a的取值范围是0，12已知函数f（x）=（x+1）lnxx+1（）若xf（x）x2+ax+1，求a的取值范围；（）证明：（x1）f（x）0解：（），xf（x）=xl

20、nx+1，题设xf（x）x2+ax+1等价于lnxxa令g（x）=lnxx，则，当0x1，g（x）0；当x1时，g（x）0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）g（1）=1 综上，a的取值范围是1，+）（）由（）知，g（x）g（1）=1即lnxx+10当0x1时，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx+（lnxx+1）0；当x1时，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=0所以（x1）f（x）013设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）解：（I），令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x（1，x1）时，f'（x）0，f（x）在（1，x1）内为增函数；（2）当x（x1，x2）时，f'（x）0，f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x（x2，+）