导数研究函数零点问题_第1页
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文档简介

1、利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步:解不等式(组)即可;1、已知函数. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; () 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.【答案】解:() f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=. .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 () 证明曲线y=f(x)与曲线有唯

2、一公共点,过程如下. 因此, 所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2、已知函数(,为自然对数的底数).(1)求函数的极值;(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.(1), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值; 当,在处取得极小值,无极大值. (2)当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,

3、则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 3、已知函数,且在区间上为增函数(1) 求实数的取值范围;(2) 若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围解:(1)由题意 在区间上为增函数,在区间上恒成立即恒成立,又,故的取值范围为 (2)设,令得或由(1)知,当时,在R上递增,显然不合题意当时,随的变化情况如下表:极大值极小值由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即 ,解得综上,所求的取值范围为4、 已知函数是实数集R上的奇函数,函数是区间

4、一1,1上的减函数 (I)求a的值; (II) 若在x一1,1上恒成立,求t的取值范围 () 讨论关于x的方程的根的个数。解:(I)是奇函数,则恒成立.(II)又在1,1上单调递减,令则. (III)由(I)知令,当上为增函数;上为减函数,当时,而,、在同一坐标系的大致图象如图所示,当时,方程无解. 当时,方程有一个根. 当时,方程有两个根.5、.已知函数且在上的最大值为,(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,)内的零点个数,并加以证明。(I)在上恒成立,且能取到等号 在上恒成立,且能取到等号 在上单调递增 (II) 当时,在上单调递增 在上有唯一零点 当时,当上单调递减

5、 存在唯一使 得:在上单调递增,上单调递减 得:时,时,在上有唯一零点 由得:函数在内有两个零点。6、已知函数在点处取得极小值4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围解:(1)由题意得:在上;在上;在上因此在处取得极小值,由联立得:, (2)设切点Q,过令,求得:,方程有三个根。需:故:;因此所求实数的范围为: 7、已知(为常数)在时取得一个极值, (1)确定实数的取值范围,使函数在区间上是单调函数; (2)若经过点A(2,c)()可作曲线的三条切线,求的取值范围解:(1)函数在时取得一个极值,且,或时,或时,时,在上都是增函数,在上是减函数 使在区间上是单调函数的的取值范围是(2)由(1)知设切点为,则切线

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