课堂导学（2.2.1综合法与分析法）

1、.课堂导学三点剖析一,利用综合法证明数学问题【例1】 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA底面ABCD,求证:PCBD.证明:综合法因为PA是平面ABCD的垂线,PC是平面ABCD的斜线,连结AC、BD,那么AC是PC在底面ABCD内的射影.又因为四边形ABCD为正方形，ACBD.故PCBD.温馨提示 本例图形具有很多性质,从不同的审视角度去分析,可以得到多个证明方法,如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量等等. 一般地,对于命题“假设A那么D用综合法证明时,考虑过程可表示为 综合法的考虑过程是由因导果的顺序,是从A推

2、演到达D的途径,但由A推演出的中间结论未必唯一,如B、B1、B2等,可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论那么可能更多,如C、C1、C2、C3、C4等等.最终,能有一个或多个可推演出结论D即可.二,利用分析法证明数学问题【例2】求证：+2<2+.证法一:为了证明+2<2+,+2>0,2+>0,只需证明+22<2+2,展开得11+4<11+4,只需证4<4,只需证6<7.显然6<7成立.+2<2+成立.证法二:为了证明+2<2+,只要证明2-<2-,只要证明.2>2,>,2+>2+>0.成立.+

3、2<2+成立.温馨提示 用分析法考虑数学问题的顺序可表示为：对于命题“假设A那么D 分析法的考虑顺序是执果索因的顺序,是从D上溯寻其论据,如C、C1、C2等,再寻求C、C1、C2的论据,如B、B1、B2、B3、B4等等,继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据,假如其中之一B的论据恰为条件,于是命题已经得证.用分析法与综合法来表达证明,语气之间也应当有区别.在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个论断都应当是前面一个论断的必然结果,因此所用语气必须是肯定的.而在分析法中,就应当用假定的语气,习惯上常用这样一类语句：假设要A成立,就需先有B成立;如要有B成立,又只需有C成立这样从结论一直推

4、到条件.当我们应用分析法时,所有各个中间的辅助命题,仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的,而并不是确信它们都是真实的,直至到达最后条件或明显成立的事实后,我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的,于是命题就被证明了.三,创新应用【例3】 设a,b,c为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证3SI2<4S.证明:I2=a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+bc+ca=a2+b2+c2+2S.故要证3SI2<4S,只需证3Sa2+b2+c2+2S<4S,即Sa2+b2+c2<2S这对于保证结论成立是充分必要的.欲证上

5、式左部分,只需证a2+b2+c2-ab-bc-ca0，即只需证a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+c2+a2-2ca0这对于保证前一定结论成立也是充要的.要证上式成立,可证三括号中式子都不为负这一条件对保证上结论成立是充分的,但它并不必要,注意到:a2+b2-2ab=a-b20,b2+c2-2bc=b-c20,c2+a2-2ca=c-a20,故结论真.欲证上式右部分,只需证:a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,即要证:a2-ab-ac+b2-bc-ba+c2-ca-cb<0.欲证上式,那么要证以上三个括号中式子都小于零这一条件对保证上结论成立只是充分的,但它并不必要,

6、即要证a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb都真,也就是要证a<b+c,b<c+a,c<a+b都真,它们显然都成立,因为三角形一边小于其他两边和.故原式成立.各个击破类题演练 1 a>b>0,求证：a-b<a-b.证明：a>b>0,b<,即2b<2.进而-2<-2b,于是a-2+b<a+b-2b,即0<-2<a-b,-<.变式提升 1 用综合法证明,设a>0,b>0,ab,证明:>.证明：综合法.因为ab,所以a-b0,而a-b2>0,展开a-b2得

7、a2-2ab+b2>0，两边加上4ab得a2+2ab+b2>4ab,左边写成a+b2得a+b2>4ab，由于a>0,b>0,两边取算术平方根得a+b>2ab，两边除以2得>.类题演练2 a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.求证：logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc.证明：要证明logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc,只需要证明logx··<logxabc.由0<x<1,只需证明··>abc.由公式知>

8、0,>0, >0.a、b、c不全相等,上面三式相乘,··>=abc,即··>abc成立,logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc成立.变式提升2 设a,bR+,且ab,求证:a3+b3>a2b+ab2.证明：要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证a+ba2-ab+b2>aba+b.又因a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.又需证a2-2ab+b20成立，即需证a-b2>0成立.而依题设ab,那么a-b2>0显然成立.由此命题得证.类题演练3 求证y

9、=|x|在点x=0处连续,但在x=0处不可导.证明：y=|x|=且fx=fx=0.又f0=0,fx=|x|在点x=0连续.又y=f0+x-f0=|x|,=,当x>0时,=1,=1.当x<0时,=-1,=-1.当x0时,不存在.故fx=|x|在x=0处连续但不可导.变式提升 3 设实数a0,且函数fx=ax2+1-2x+有最小值-1.1求a的值;2设数列an的前n项和Sn=fn,令bn=,证明数列bn为等差数列.答案:1解：fx=ax-2+a-,由题设知f=a-=-1,且a>0,解得a=1或a=-2舍去.2证明：由1得fx=x2-2x,当Sn=n2-2n,a1=S1=-1.当n2时,an=Sn-S