立体几何易做易错题汇编(解答题)

1、学习必备欢迎下载立体几何易做易错题汇编（解答题 ）湖南周友良1.由平面外一点 P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC， O 为 ABC的外心，求证： OP。错解：因为O 为 ABC的外心，所以OA OB OC，又因为PA PB PC， PO公用，所以 POA， POB， POC都全等，所以POAPOBPOC RT，所以 OP。错解分析：上述解法中POAPOBPOC RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。正解：取BC的中点D，连PD，OD，PBPC, OBOC ,BCPD, BCOD ,BC面POD ,BCPO,同理 ABPO，PO.2. 一个棱长为 6cm 的密封正方

2、体盒子中放一个半径为 1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。错误原因是空间想像力不够。正解：在正方体的8 个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8131 ( 413 )84，除此之外，83312 个11 4 的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为在以正方体的棱为一条棱的1141(12 )44812。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间4体积为：(84)48125640(cm3 ) 。333如图，在长方体ABCD-AB C D 中， AB=5， AD=8， AA=4， M为 B C 上一

3、点，且 B M=2，点 N11111111在线段 A1D上， A1D AN，求：(1)cos(A1D , AM ) ；(2) 直线 AD与平面 ANM所成的角的大小；(3) 平面 ANM与平面 ABCD所成角（锐角）的大小 .解： (1)以 A 为原点， AB、AD、AA1 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴 .则 D(0,8,0) ，A1 (0 ， 0，4) ， M(5,2,4)A1 D(0,8, 4 )AM(5,2,4) A1DAM0 cosA1 D, AM0(2)由(1)知 A1D AM，又由已知A1D AN，A1 D平面AMN，垂足为N.因此AD与平面所成的角即是DAN .易知DA

4、NAA1Darctan 2(3) AA1平面ABCD， A1N平面AMN，学习必备欢迎下载 AA1 和NA1 分别成为平面ABCD和平面 AMN的法向量。设平面 AMN与平面 ABCD所成的角（锐角）为，则( AA1, NA1 )AA1 NAA1 Darccos554点 O 是边长为 4的正方形 ABCD 的中心，点 E ， F 分别是 AD ， BC 的中点沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角DACB（）求EOF 的大小；（）求二面角 E OFA 的大小DCDEOFECOFABAB解法一：（）如图，过点E 作 EG AC，垂足为G，过点F 作 FH AC，垂足为H，则EGFH2，GH22

5、 DCDHEMFEHCOMGOFAGBAB因为二面角 DAC B 为直二面角，EF 2GH 2EG 2FH 22EGFH cos90(22) 2(2) 2(2) 2012.又在EOF 中， OEOF2，cosEOFOE 2OF 2EF 22222(2 3)212OE OF22 22EOF 120 （）过点 G作 GM垂直于 FO的延长线于点 M，连 EM二面角 DAC B 为直二面角，平面DAC平面 BAC，交线为 AC，又 EG AC，平面，由三垂线定理，得EGBACGM OFEM OF学习必备欢迎下载 EMG 就是二面角 EOFA 的平面角在 RtEGM中，EGM90，EG2，GM1 OE

6、1，EG2 tanEMG2 EMGarctan 2zGM所以，二面角EOFA 的大小为 arctan2 D解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz，E则 OE(1,1,2)，OF(0, 2,0) COE OF1OFycosOE,OFAxB| OE|OF |2EOF120 （）设平面OEF的法向量为 n1(1, y, z) 由 n OE0, nOF0, 得111 y0,2z 0, 解得 y 0, z2 2y2所以， n1(1,0,2 ) 2又因为平面 AOF的法向量为 n2(0,0,1) ，cosn , n2n1n23n1 , n2arccos 31| n1 | n2 |33所以，二面角EO

7、FA 的大小为 arccos3 35 斜三棱柱11 1a 的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱1A 1C1ABC A B C 的底面是边长为AA与底面相邻两边AB、 AC都成 450 角，求这个三棱柱的侧面积。B1MACB1于 M，连结0解：过点 B 作 BM AACM，在 ABM和 ACM中， AB=AC， MAB= MAC=45，0MA为公用边， ABM ACM， AMC= AMB=90， AA1面 BHC，即平面 BMC为直022a+a=(1+2 )a ，且棱长为 b， S截面，又 BM=CM=ABsin45=a， BMC周长为2x22学习必备欢迎下载侧 =(1+ 2 )ab点评：本题易错

8、点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过 BC作平面与 AA1 垂直于 M”；三是由条件“ A1AB= A1AC AA1 在底面ABC上的射影是 BAC的平分线”不给出论证。6如图在三棱柱 ABC- A'B'C ' 中，已知底面ABC是底角等于 30，底边 AC=43 的等腰三角形，且 B'CAC,B'C 22 ，面B' AC与面 ABC成45，A' B与AB'交于点 。E1)求证： ACBA' ；2) 求异面直线 AC与 BA'的距离；3) 求三棱锥 B' BEC 的体积。正解

9、： 证：取 AC中点 D，连 ED，E是 AB'的中点，ED/1B' C22B' CAC ,DEAC又ABC 是底角等于30的等腰，BDAC, BNDEDAC面BDE ,ACBE,即 ACBA'解：由知EDB 是二面角 B' ACB的一个平面角，EDB 45， ED2 , BD AD tan 30 2 3323在DBE 中： EB 2ED 2BD 22EDBD cos45242 2222EB2 ,BDE 是等腰 Rt, EDBE, ED 是异面直线AC 与 BA'的距离，为 2连 A'D,EDEA' ED2, A'DBD,

10、 又AC面 BED，A' D面BED ,A' DAC ,A' D面 ABC且A' D2VB' ABC1S ABCA'D11 (BDAC)A' D833323VB' BECVC BEB'1VC ABB''1VB'ABC '43223误解： 求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。7如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中， AB=3， AA1=4,M 为 AA1 的中点，P 是BC上一点，且由P学习必备欢迎下载沿棱柱侧面经过棱CC1 到 M点的最短路线长为29 ，设这条最短路线与C1C

11、 的交点为N。求4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；5) PC和 NC的长；6) 平面 NMP和平面 ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）正解： 正三棱柱ABC-A1B1C1 的侧面展开图是一个长为9，宽为4 的矩形，其对角线长为924297如图 1，将侧面 BC1 旋转 120使其与侧面 AC 在同一平面上， 点 P 运动到点 P 的位置， 连接 MP，则 MP就是由点 P 沿1111棱柱侧面经过 CC 到点 M的最短路线。1设 PC x ，则 P1C x ，在RtMAP1中，（3)22229,x2 xMCP1C24,NCMA P1A 55连接 PP（1如图2），则 PP1 就是 NMP与平面 ABC的交线，作 NHPP1