椭圆与双曲线的对偶性质100条

1、|PFi|2 2亍甘1.10.11.切点弦2 2”x y右P)(xo, yo)在椭圆2 a b22若P)(xo, yo)在椭圆2 a bP1P2的直线方程是竽辔b2=1上，则过P0的椭圆的切线方程是2aX0Xy°y甘1.=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pi、P2,则12. AB是椭圆2a22£丄a2 b2=1.=1的不平行于对称轴且过原点的弦,M为AB的中点，则kOM kAB =b22 .a13 .若2 2P°（X0, y°）在椭圆务与=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是a b2 2X)xy°y_x。y。2.2 -a ba2 b214

2、.若 F0 ( Xo, yo)在椭圆一2 2X% = 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a b22丄y_a2 b2_x°xy°y_2ab215 .若PQ22X y22=1（ a > b > 0 ）上对中心张直角的弦，则a b丄丄2 2 r1 r2二丄a21了(|0十二|OQ|).椭圆与双曲线的对偶性质100条1. | PF1 | PF2 | = 2a2 22 标准方程：笃与=1a2 b23.er 1d14 .点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角5. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两

3、个端点.6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 .7 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 .设AA?为椭圆的左、右顶点，则厶PF1F2在边PF2 （或PF1）上的旁切圆，必与A1A2 所在的直线切于A2 （或A1）.A （-a,0） , A2（a,0）,与y轴平行的直线x2 y29 .椭圆2 =1 （a> b > 0）的两个顶点为a b交椭圆于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是2 216 .若椭圆笃爲=1 ( a > b > 0 )上中心张直角的弦L所在直线方程为a b4242Ax By=1(AB®则右存八B2；LaaA

4、A b罟22222. 22222 a -b 217.给疋椭圆 C1 : b x a y 二ab (a> b > 0) , C2: b x a y =( 22 ab),a +b则(i)对G上任意给定的点F0(x°, y°),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2 . 2 2 . 2#a -ba -b、M( (22 x0， 22 y0).aba b(ii)对C2上任一点P0(X0',y0')在C1上存在唯一的点 M',使得M的任一直角弦都经过P。'占x2 v2。二 2=1 (a > 0,. b > 0)上一点，P1P2 为曲

5、线 C 的 a bk1, k 2,则直线 P1P2 通过定点 M (mx0,-my0) (m = 1)的1&设P0(xo, yo)为椭圆(或圆)八、-动弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为1 m b2充要条件疋k1 k?2 .1 -m a2219.过椭圆 冷 =1 (a> 0, b> 0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交a bb2x(常数)椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC尸a y。2 220.椭圆笃岂-1 (a> b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点a bF1PF2 =，则椭圆的焦点角形的面积为2

6、 丫 a f22 b2 丫 SF1PF2 =b tan： , P( . c -b tan tan；).'22c2c 22 2xy21若P为椭圆 2 =1 ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，ab”/任 a -ca PPF1F2 =，,PF2F1 =.：,则tan cot .a c 222 222.椭圆2 1 (a>b> 0)的焦半径公式：a bIMFjna e ,|M FzFa-esFH-c,。)，F2(c,0) M (x°, y°).2 2若椭圆X- 勞=1 (a> b> 0)的左、右焦点分别为

7、Fi、F2,左准线为L,则当a2 b2.2 -1时，可在椭圆上求一点 P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项2 2P为椭圆7 =1 (a>b> 0) 上任一点，Fi,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Va2 b223.Ov ew24.2a -1 AF2闫PA| | PF1 2a | AF11，当且仅当A, F2, P三点共线时，等号成立.2 2x y25.椭圆 2=1 (a> b> 0) 上存在两点关于直线 l : y=k(x-X0)对称的充要条a b/ 22、2件是 2 . (a -b ) 件是X022 2a +b k26. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切

8、线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，半径互相垂直.则该点与焦点的连线必与焦Jx = a cos28 P是椭圆yE(a> b> 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条2 1件是e21+s in ®2 2a2 b2 交于 P,Q,则 AP =BQ.x2 y230 .在椭圆2 = 1中a b29.设A,B为椭圆k(k 0,k")上两点,定长为2m ( o v12 2二22，其中 tan :-二cos ： sin :-A22 ab231.设Sx为椭圆一动,记a|AB|= I2

9、aI 2)max=(cc2e32.椭x2 圆'a2B2ab2.C移33 椭圆2 _2. 22 2其直线AB与椭圆X2-y2 1相a bm < a)的弦中点轨迹方程为b2x2,2 2，当 y = ° 时，：=90“. a y2 2y22 =1 (a> b> 0)的通径，定长线段b,M(X0,y°)是 AB 中点，2 2二a -b ,e );当 I 宀：£时，有(x°)maxaL的两端点A,B在椭圆上则当IGS时，有:b、4b2-|2,(X0)m°.2y2=1与直线A x By CO有公共点的充要条件是b2 2(xy) 岂

10、弹 1与直线 Ax By C = 0有公共点的充要条件是 a2b2 - 一 一、2A a B b - (Ax0 By。C).2 234. 设椭圆 务占=1 (a> b > 0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上a b任意一点，在 PF1F2 中，记.F1PF ： ,PF1F F1F2 ，则有s i n cesin：s i n a35. 经过椭圆b2x2圆上任一点的切线相交于2x , y36. 已知椭圆-a11 |oT|F |OQ |a2y2 =a2b2 ( a>b>0)的长轴的两端点 A1和A?的切线，与椭P1 和 P2,则 | PA | |PA2 |

11、=b2.22=1( a> b> 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP _ OQ . b22 2； (2) |OPf+|OQ|2 的最大值为 42a b 2 ; (3) S OPQ 的最小b1"2-2a b值是22 a b37. MN是经过椭圆b2x2 a2y2 =a2b2 (a>b>0)过焦点的任一弦，若 AB是经过椭 圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|2 = 2a|MN |.38. MN是经过椭圆b2x2 a2y2二a2b2 (a>b> 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O2 1 1 1的半弦OP _ MN，则一2二=厶厶.a|MN |

12、 |OP| a b2 2x y39. 设椭圆 2 =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的a b任一点，过M弓I一条直线与椭圆相交于 P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的a2b2两顶点)的交点N在直线I : x (或y)上mm40. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.AiP41. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q,A2为椭圆长轴上的顶点， 和A2Q交于点 M，A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄N

13、F.2x42.设椭圆方程a2y2 =1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线 I : y = kx的共 b轭直线y = k x上，而且kk =b2 a22xy_43.设A、B、C、D为椭圆2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 ，：，a b直线AB与CD相交于P且 P 不在椭圆上，则 |PA|PB|-b2c0S" a2sin2'_ 2 2 2 2| PC | |PD | b cos 鳥-a sin :244. 已知椭圆 =1 (a>b>0)，点P为其上一点Fi, F 2为椭圆的焦点， RPF?a b的外(内)角平分线为I，作Fi、F2分别垂直I于R、

14、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成 的轨迹方程是 x2 y2 = a2(b2y2 (a -ce)(x c)2 (x2 y2 ex)2 = ce(x c)2).45. 设厶ABC内接于椭圆 别交直线AC、BC于E和F, 的中点x2丨，且AB为丨的直径，I为AB的共轭直径所在的直线，I分 又D为I上一点，贝U CD与椭圆】相切的充要条件是 D为EF2 2x y46.过椭圆一22=1a b(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦| pf | eMN的垂直平分线交 x轴于P,则I MN I 2y2b2x12 =1 (a> b>0)上任一点，过A作一条斜率为

15、bx247 .设 A (X1,y1)是椭圆 一2 +ad是原点到直线的直线L ,又设2a yiL的距离，1上分别是 A至U椭圆两焦点的距离，贝y2 2XV-、a> b > 0)和2=丸(), 一直线顺次与a br2d =ab.2 248.已知椭圆U1 (2 . 2 (a b它们相交于 A、B、C、D四点，则|AB | =|CD | .2 2x y49 .已知椭圆一2石=1a ba> b> 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O),2, 22, 2a -ba -bX0 :a2250 .设P点是椭圆笃爲=1a ba> b >

16、; 0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点2b22.(2) S pffb2 tan1+cos日作1 2251. 设过椭圆的长轴上一点B ( m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q两点，A为椭圆长轴 的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : X=n于M, N两点，则2a -ma.MBN =9022 .a + m b (n +a)2 252. L是经过椭圆 笃爲=1 ( a> b > 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是a b椭圆两个焦点，e是离心率，点P L ,若.EPF =，则：是锐角且ab:-arcsine (当且仅当| PH |时取等号).c记.

17、F1PF2，则（1）|PFi|PF2|2253. L是椭圆 务再=1 ( a > b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点 a be是离心率， EPF二：-,H是L与X轴的交点c是半焦距，则:是锐角且:<arcsine (当且仅当| PH |二辿 时取等号).c，点 P L ,sin： - e或22x y54. L是椭圆二 2 =1 ( a>b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交 a b点，点P L , EPF =，离心率为e,半焦距为c,则为锐角且sin乞e2或:-arc si ne (当且仅当 | PHc2时取等号).c2 255.已知椭圆与每

18、=1a b(a> b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于 A、B两点，将A、B与椭圆左焦点（加2 _ b2 ）2F1连结起来，则b2 <| F1A | | F1B I乞-一L （当且仅当AB丄x轴时右边不等式取等号，当且仅当2 256 .设A、B是椭圆% 当=1a bNPAB" ,NPBA = P ,NBPA = Y2ab |cos： |(1)|PA |= 2_7 .(2) tan a tan a -c cos 1222aA、Fi、B三点共线时左边不等式取等号)a>b>0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，a2

19、b2,二 1 -e .(3) S pab 22 cot .b -a57.设A、B是椭圆 务占=1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)a2 b22部的两点，且Xa、Xb的横坐标Xa xa , (1)若过A点引直线与这椭圆相交于、外P、Q两点，则N PBA=NQBA ( 2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则 PBA QBA =180.2 258设A、B是椭圆 笃爲=1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外a b部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，贝U P、2Q不关于x轴对称)，且.PBA二/Q

20、BA，则点A、B的横坐标 x、Xb满足Xa x a ； (2)若过B点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，且.PBA . QBA=180：,则点A、B的 横坐标满足xA xB = a2.2 2=1的长轴的两个端点，QQ'是与AA垂直的弦，则直线AQx v59.设代A是椭圆2a b与AQ的交点P的轨迹是双曲线2 2_r_12 , 2a b60.8ab2a2 b22 2 过椭圆2 V? = 1 (a2 b22 2AB | | CD |乞7口.a2 2 到椭圆 冷爲=1 ( a> b> 0)两焦点的距离之比等于 仝兰(c为半焦距)的动a2 b2ba> b > 0 )的左

21、焦点 F作互相垂直的两条弦 AB、CD则点M的轨迹是姊妹圆(x _a)2 y2 =b2.2 2(c为半焦距)x ya -c62.到椭圆2 =1 ( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于 -a bb的动点m的轨迹是姊妹圆(X二a)2亠y2 = (b)2.eea>b> 0)的两准线和x轴的交点的距离之比为a 22 b 2半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(Xp) y =(丐)(e为离心率).ee2x64.已知P是椭圆飞a2每=1 ( a>b>0) 上一个动点，A', A是它长轴的两个端点,b2''x2 b2y2且AQ_AP,AQ_AP，则Q点

22、的轨迹方程是 r =1 .a a65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项.2 266. 设椭圆 与*占=1 ( a>b>0)长轴的端点为 A, A', P(X1, yj是椭圆上的点过 a bb2x-i'作斜率为丄的直线I，过A, A分别作垂直于长轴的直线交 I于M , Ma y1(1) | AM | A M |=b . (2)四边形MAA M面积的最小值是2ab.2 267. 已知椭圆2 7 =1 ( a> b>0)的右准线I与x轴相交于点E ,a b的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线I上，

23、且BC _ X轴，则直线 的中点.过椭圆右焦点AC经过线段EF2 268. OA、OB 是椭圆(X 2a)a22 =1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦，O为坐标b，-2 2 .r).(2 )以 P A、P B a2b2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 2 2 .2 / ab +a m、2 丄 / b n 、2 （x 22 ）'（y 22）a +ba +b70.如果一个椭圆短半轴长为2 2 2n (a -b )_ a2b4=（a2+b2）2b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为d2，那么（1） did?二b2，且Fi、F2在L同侧 直线L和椭圆相切.（2） di

24、d2 b2，且Fi、F2在L同 侧:二直线L和椭圆相离，（3） did2 : b2，或Fi、F2在L异侧=直线L和椭圆相交.(x = m且 y二 n).2ab2原点，则（1）直线AB必经过一个定点（二2 ,0） .（2）以O A、O B为直径的两圆的另一a +b2 2 个交点Q的轨迹方程是（x_具）2 丁2二匕竺）2（x"）.a ba b22（x_a）y69. P（m, n）是椭圆 22=1 （a>b>0）上一个定点，P A、P B是互相垂直ab2 2 2 2 2a2 b2的弦，则（1）直线AB必经过一个定点（2ab m（a 一b）n（b -a ）2 271. AB是椭圆

25、 笃爲=1 （a> b>0）的长轴，N是椭圆上的动点，过 N的切线与 a b过A、B的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2 4a2y2 =1（y = 0）.2 2x y72 设点P（X0,y°）为椭圆 2 -1 （ a > b > 0 ）的内部一定点，AB是椭圆a b2 2x y 亍=1过定点P（X0,y。）的任一弦，当弦 AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a b(| PA| |PB|)max(| PA| |PB|)min2 2 2 2 2 2ab (ay° bx0).当弦 abb2a2b2 -(a2y。2 b2x

26、。2)垂直于长轴所在直线时b273.椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74. 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75. 椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76 椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）. 注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78椭圆焦三角形中79. 椭圆焦三角形中80. 椭圆焦三角形中 到同侧焦点的距离成比例81椭圆焦三角形中 与同侧焦点连线段成比例82. 椭圆焦三角

27、形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 距离为椭圆长半轴的长.84. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点,则椭圆中心与垂足的,垂足就是垂足同侧焦85.椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的

28、比为定值e.86. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线87. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线88 椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.x2 y89. 已知椭圆 r 牙=1(a .o,b 0)(包括圆在内)上有一点 P,过点P分别作直线a by=bx及y=-bx的平行线，与直线 OP分别交于R,Q,0为原点，则：.aa2 2 2 2 2 2(1) |0M |0N | -a ； (2) |0Q |0R| -b .bb90. 过平面上的 P点作直线 h : y二一 x及I2: y - - - x的平行线

29、，分别交 x轴于aaM , N ,交y轴于R,Q . ( 1 )若|O M f + |O N* a则P的轨迹方程是2 2x y22222 =1(a 0,b 0) .(2)若 |0Q |2 |0R|2二 b2 ,贝U P 的轨迹 方程是a b2 2x y22 =1(a0,b0).a b2 291 点P为椭圆 笃 -y2 = 1(a 0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过a bbP引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y =-一 x于Q, R，记 0MQ aab与0NR的面积为S1,S2，则：S,，S2二巴.292.点P为第一象限内一点，过 P引x轴、y轴的平行线，交

30、y轴、x轴于M,N ,bab交直线y =-一 x于Q, R，记=0MQ与二0NR的面积为3 , S2,已知3 S 一，则P a22 2的轨迹方程是笃y =1(a0,b0).a b双曲线1. l|PFi|-|PF2#2a2 标准方程:a2b2=i2 2 卡計.I0.若F0(X0,y°)在双曲线22x y =ixoxy°yii.若F0(x0,y°)在双曲线2.2ab22xy2 .2 =i a b(a > 0,b > 0)(a> 0,b > 0)切点为Pi、P2,则切点弦PiP2的直线方程是x°xy°yI2.AB是双曲线2xa

31、2 b2y_2-I上，则过Po的双曲线的切线方程是外，则过Po作双曲线的两条切线2.2= i.a b(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB|PFi|di4 .点P处的切线PT平分 PFiF2在点P处的内角5. PT平分 PFIF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8 .设Ai、A2为双曲线的左、右顶点，则PFiF2在边PF2 (或PFi)上的旁切圆，必与AiA2所在的直线切于A2 (或Ai).2 29.双曲线

32、 冷-与=i (a>0,b>0)的两个顶点为 A(-a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的 a b直线交双曲线于 P仆P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是的中点，贝V koM kABI3.若F0(x°, y°)在双曲线2 x 2 a2y_b2=i (a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是 2ax°x y°yb2a2b2I4.若P)(x0,y0)在双曲线2x2a2Lb2=i (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程X0Xy°y_ a2 _ b22 2x y15 .若PQ是双曲线2 =

33、1( b > a > O )上对中心张直角的弦，则b=g).(b > a > 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为11112 22 -二(r1 H OP |，r2r1r2a b2216 .若双曲线一22=1a b冲 11A2 O2,2ja4A2 +b4B2Ax By=1 (AB = O),则(1) 2 = A B ;(2) L 戸a b|a A -b B |2 22 22 22 22 23 b 217.给定双曲线 G ： b2x2 _a2y2 二 a2b2 (a> b>O) , C2: b2x- a2y= ( 22 ab)2,a - b则(i)对C1上任意给

34、定的点FO (xO, yO),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2 ,2 2 ,2a +ba +bM( (22 XO，_ 2 2 yO ).a -ba -b(ii)对C2上任一点P'o(Xo',yo')在G上存在唯一的点 M',使得M '的任一直角弦都经过P。'占八、-2 21&设F0(Xo, y°)为双曲线笃爲=1 a b弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2,贝y直线1 m b22 .(a> 0,b >0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且P1P2通过定点M (mx0, -my0) (m = 1)的充

35、要条件是K k21 -m a22xy19.过双曲线牙=1 (a>O,b>o)ab上任一点 A(xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBc _ - 2a yob Xo (常数).2 220双曲线令-古(a> 0,b> o)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意点F1PF2 =,双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2y2=b co t -2a f 2 丄 22 ； b/P( . c b tan ， cot-).c 2 c 22y2 =1 (a> O,b> O )右(或左)b2是焦点,PF1F ： ,PF2F

36、，则 =tan，cot -(或c + a 222 c2x21 .若P为双曲线a支上除顶点外的任一点,Fi, F 2'3 -tan二 cot).c a 222 222.双曲线笃 =1a b当M (Xo, yo)在右支上时,当M (Xo,yo)在左支上时,X2 y2(a>0,b>o)的焦半径公式：(Fi(-c,O) , F2(c,0)| MF1 1= ex3 a ,| MF2 exj - a .| MF1 l -exO a , | MF2 | - -e - a .23若双曲线 2 =1 (a>O,b>O)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当a b1v e

37、< 2 * 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中2224. P为双曲线 笃笃=1 (a> 0,b> 0) 上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定 a b点，则| AF2 | -2a <| PA | | PF1 |,当且仅当A, F2, P三点共线且P和代F?在y轴同侧时，等号成立2 2x y25.双曲线 2 =1 (a> 0,b>0)上存在两点关于直线I : y = k(x-x0)对称的充要a b/2 丄-2、2条件是X。2弋篦.a -b k6. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相

38、应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 7. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直28. P是双曲线充要条件是x = a sec(a> 0, b> 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的y = btan11 -tan2 '29.设A,B为双曲线2 2x y2 =k (a>0,b>0, k 0,k")上两点，其直线 AB 与a b2x双曲线一2a2y2 =1相交于b2P,Q ,则 AP 二 BQ .230 .在双曲线一2岭T中，定长为一 b2m ( m ) 0 )的弦中点轨迹方程为a221 -刍 *)m

39、2严气,其中cos ： sin :2a2 2b x t2 2，当 y a y=0时,- - 90".b22x31 .设S为双曲线a2y_b2线上移动，记|AB|= I ,2c 2e2 232 .双曲线 与告=1 (a> 0,b > 0)与直线 Ax By C = 0有公共点的充要条件是a ba2 2 J, 2._2A a - B b 二 C .2 233.双曲线(x 一：0)2 严 1 (a> 0,b > 0)与直线 Ax By C = 0有公共点ab2 2 2 2 2的充要条件是 A a - B b - (Ax0 - By° - C).七 =1 (

40、a> 0,b> 0)的两个焦点为 F1、f2,P (异于长轴端点)为双b2=1 (a> 0,b> o)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲AB 中点，则当I _"S时，有(x0)min =M(X0, y°)是I 222ca(c =a b ,e );当 I ： GS时，有(x0)min 二 .4b I a2bx234.设双曲线-a曲线上任意一点，在 PF1F2中，记乙F,PF2 F,-卩卩汀2=2,斤卩2卩=容，则有sin 二ce.(sin 語一sin -) a2 2Xy35.经过双曲线 牙=1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 Ai和A

41、?的切线，与双曲线ab上任一点的切线相交于Pi和P2,则| PA | | PA2 | = b2.2x36.已知双曲线一2 a1且 OP _OQ. (1)、|OP |22厲2S OPQ的最小值是 身2 .b -a2爲=1 (b> a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点, b2D |OQ|2 a22 2g; (2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为 fa b2 ； (3) bb- a22、乙12 - | 2 - 1a b是经过双曲线中心 O且平行于 MN的弦,2 2X丄_12 _- 1 a b237. MN是经过双曲线38. MN是经过双曲线中心O的半弦OP _ MN

42、,(a> 0,b > 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB则 | AB |2 = 2a| MN |.(a> b> 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线则a|MN | |OP|2 239. 设双曲线仔 每a b一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点,2交点N在直线I : x =上.m40. 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交=1 ( a>0,b>0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，M、N两点，贝U MF丄NF.P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的

43、顶 点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.连结AP41 .P、和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点2x42.设双曲线方程a共轭直线y = k x上，而且kk2 每=1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线 l : y = kx的 b=2 .a43.设 A、B、C、D2 2xy22=1 ( a>0,b > o) 上四点ab直线AB与CD相交于P,且2 . 2 |=：-a sin2.sin -为双曲线,AB、CD所在直线的分别为，：，|PA | |PB | _ b2 cos2 1|PC | |

44、PD | b2 co孑:-a"2 244.已知双曲线令 yra2 b2F1PF2的外(内)角平分线为不在双曲线上，则=1 (a>0,b>0),点P为其上一点l，作F1、F2分别垂直I于R、S,F1,F 2为双曲线的焦点,P跑遍整个双曲线时,R、S形成的轨迹方程是x2 y2 a2(a3b(x _c)(a2 b2)x_b2c2 a4c2(x_c)y2 = (ab3c2y2)2).45 .设 ABC三顶点分别在双曲线 丨上，且AB为丨的直径，I为AB的共轭直径所在 的直线，I分别交直线AC、BC于E和F,又D为I上一点，贝U CD与双曲线-相切的充要条件是D为EF的中点.2 2

45、46.过双曲线 笃-爲=1 (a> 0,b>0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,Na b两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P,则If匸！ =e| MN |22 2X y47 .设A ( X1 ,Y1)是双曲线 2 =1( a> 0,b >0)上任一点，过A作一条斜率为bL的距离，b2x1的直线L,又设d.r2d =ab.a是原点到直线2a Yi九“分别是 A到双曲线两焦点的距离，则48.已知双曲线次与它们相交于A、49.已知双曲线2 21丄=1 a2 b2B、C、D 四点,AB |2 2x y .22=1 (a> 0,b> 0)a b(a> 0

46、,b>0)2 2和务当=人(Ohcl ), 一条直线顺 a b=|CD | .,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与50.a2 + b2x轴相交于点P(x0,0),则x0或x0 <a2 2设P点是双曲线才計1 ( a> " 0)上异于实轴端点的任一点"F2为其焦点记 F1PF2 "，则(1)|PF1|PF2|=1 2b . .(2) S PF1Fb2cot-.1cos 日1 2251. 设过双曲线的实轴上一点B ( m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : X

47、二n于M , N两点,2则.MBN 二 90；二= 一_ .a +mb (n +a)2 252. L是经过双曲线 笃-占=1 (a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线， A、B是a b1 双曲线实轴的两个焦点，e是离心率，点P L ,若.EPF二匚，则是锐角且sin 或e1ab：-arc sin (当且仅当| PH | 时取等号).ec2 2x Y53. L是经过双曲线 2=1 (a> 0,b> 0)的实轴顶点 A且与x轴垂直的直线，E、a bF是双曲线的准线与 x轴交点，点P L , e是离心率， EPF二：-,H是L与X轴的交点11abc是半焦距，则是锐角且sin

48、 或:<arcsin (当且仅当|PA| 时取等号).eec2254. L是双曲线 务-占=1 (a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲a b线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点 P L , EPF，离心率为e,半焦距为11b f22c,则为锐角且sin 2或- arc sin 2 (当且仅当| PF1 | a c时取等号) eec2 255. 已知双曲线 令-占=1 (a> 0,b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交 a b于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则| F1A | | F1B |_ 如 2b）（当且仅

49、当AB丄x轴时取等号）.2 256 .设A、B是双曲线一22 =1a bPAB =二， PBA，BPA =22ab |cos： |（a>0,b>0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点,e分别是双曲线的半焦距离心率，则有22a2b2(1) | PA |222.(2) tan : tan ： =1_e .(3) S PAB 22cot .|accos“b +a,c、2 2x y57. 设A、B是双曲线2日（a>0,b> 0）a b点的区域）、外部的两点，且 xA、xB的横坐标xA xB这一支相交于 p、Q两点，则.PBA=/QBA ; （2）P、Q 两点，贝 U PBA .

50、QBA =180；.2 2x y58. 设 A、B 是双曲线一2 -1 （a> 0,b> 0）a b实轴上分别位于双曲线一支内（含焦2-a ,（ 1）若过a点引直线与双曲线 若过B引直线与双曲线这一支相交于实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，（若BP 交双曲线这一支于两点，则 P、Q不关于x轴对称），且.PBA QBA，则点A、B的横 坐标Xa、Xb满足xa xa ； （2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，且f2 PBA QBA =180',则点A、B的横坐标满足Xa x a .2 2

51、'x y''59. 设代A是双曲线 2 =1的实轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，贝U直线a b2 2''x yAQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线 2 =12 260.过双曲线令 = 1a ba b（a> 0,b> 0）的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则8ab2市 W |CD|.2 261. 到双曲线笃-气ha2 b2222动点M的轨迹是姊妹圆（x二ec）亠y = （eb）.2 262. 至U双曲线 与-告=1 （ a>0,b>0）的实轴两端点的距离之比等于a b距）的动点M的轨迹是姊妹圆（x二a）2亠y2二b2.占=1

52、（a> 0,b > 0）的两准线和x轴的交点的距离之比为c a （a> 0,b >0）两焦点的距离之比等于 - b（C为半焦距）的cab（C为半焦X263到双曲线孑-b为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（x _a）2 y2 =（卫）2 （e为离心率）.x264已知p是双曲线?-be% =1 （a>0,b>0）上一个动点，A , A是它实轴的两个端2 , 2 2x b y 点，且AQ _ AP , AQ _ A P，则Q点的轨迹方程是 41.a a65. 双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项2 2x y66. 设双曲线 2 =1 (a>