线性代数难题之二(1)

1、代数难题29.题目设n阶可逆矩阵A满足A=A，求A的特征值。知识点特征值与特征向量 矩阵的行列式解题过程解：因为A=A所以AA=0 所以det(AA)=detA(AE)=det(A)det(AE)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)0 所以det(AE)=0 所以A的特征值为1.常见错误设存在，使Ax=x成立则 det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x) (错误在于向量取行列式)所以 有成立.又因为A=Adet(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.由于A为可逆矩阵，det(A)0.所以 det(A)=1当n为奇数时，=1.当n为偶数时，=1.相

2、关例题设A为n阶矩阵,若A=E，试证A的特征值是1或-1.10.题目设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0.知识点正交矩阵的定义：AA=E单位矩阵的性质：EA=AE=A E=E 矩阵运算规律 转置矩阵的性质：(A+B)=A+Bdet(A)=det(A) det(AB)=det(A)det(B) det(-A)=(-1)det(A)解题过程 A是正交矩阵EA= AAA= AAEA=( AE)Adet(A)=1det(EA)=det(AE)A)=det(AE)det(A)=det(AE)det(EA)=det(EA)=det(EA)det(AE)= det(EA)= d

3、et(AE)= (1) det(AE)n为奇数(1)= 1det(AE)=0det(EA)=0常见错误误以为det(EA)= det(E) det(A)，于是det(EA)=1det(A)=11=0det(A)=1 =1(其中,为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).det(EA)=（1-）（1-）（1-）.det(E-A)=det(A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)且det(A-E)= （-1）（-1）（-1）.（1-）（1-）（1-）=（-1）（-1）（-1）= (-1)（1-）（1-）（1-）n为奇数(1)= 1（1）（1）（1）=0det(EA)=0以上

4、证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。相关例题证明：若A为正交矩阵，则det(A)=1. 11题目试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。 （1） 知识点 线性方程组解的结构解题过程解：B= (1)当ab0,且a0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为： (2)当a-b=0，且a0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。其解可由，解得，代入第一个方程得到；一般解为：（3）当a=0，b 为任意数，此时增广矩阵可化为：可见，r

5、ank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解，常见错误 在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。 如，当ab时，就说原方程有唯一解，没有指出a0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b0，等等。相关例题 确定a,b的值，使下列方程组 （1） 有唯一解；（2） 无解；有无穷多解，并求出通解。12.题目若线性无关，其中全不为0. 证明线性无关.知识点 向量线性相关解题过程 证法一：（从定义出发） 设存在常数，使得 已知，代入上式，得化为： 由题意知：线性无关由定义，知线性无关证毕证法二：（由初等列变换，秩相等）由于初等变换不改变矩阵的秩，

6、所以由线性无关，知的秩为3，所以秩也为3，推出线性无关证法三：（反证法）假设线性相关.则存在不全为0的常数，使得已知，代入上式，得化为： （否则，由得）即 线性相关, 与题目已知条件矛盾.所以假设不成立, 即 线性无关.13.题目 设是的解且线性无关，试证的任一解可表示为，其中知识点 基础解系 方程组解的结构 解题过程证明 由因为 线性无关，所以线性无关，也线性无关，且所以 是的基础解系因为的任一解可以表示为：的任一解可以表示为： 其中是的一个特解扩展式，取，得化简得令，则的解可以表示为且命题得证另外取时化简得此时令则的解可以表示为且此时命题也成立常见错误不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解.14.题目 设是矩阵A的两个不同的特征值，分别属于的特征向量，证明不是矩阵A的特征向量.知识点特征值 特征向量解题过程用反证法.设 是A的对应的特征向量，则有 (1)已知 ，所以 (2)由(1)(2)知 (3)因为线性