数列求和总的底本

1、环球雅思学校GLOBAL lELTS SCHOOL环球雅思学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：1学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T （同步）星级（参考）授课日期及时段教学内容数列求和问题导入V建议用时5分钟！1.回忆数列的概念2，回忆课本中等差，等比数列求和的方法3对等差数列前项和的最值问题有两种方法(1)利用an:当an >0, d<0，前n项和有最大值 可由an >0,且an 1 <0，求得n的值an<0, d>0,前n项和有最小值 可由an < 0，且a. i >0,求得n的值,plpl利用Sn :由Sn ，n2 （a1 d）

2、n二次函数配方法求得最值时 n的值*知识梳理环球雅思学校GLOBAL IELT&V建议用时15分钟！数列求和方法,利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：Snn(a1 an) nan(n 1)d221na(q 1)2、等比数列求和公式：Snd(1n q )a1anq(q 1)1q1q利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法nn3、 Sn1n(n 1)24、Sn1n(n 1)( 2n 1)6k31 22n(n 1):，反序相加法求和（等差数列中已经提到）这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1

3、 an）等差数列求和公式：Sn皿旦na1血卫d2 2三，错位相减法求和（等比数列中方法）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.ng等比数列求和公式：Sn 印（1 qn）1 q(q 1)汽(q 1)四。分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可I环球雅思学校f GLOBAL iELTS SCHQ-QL环球雅思学校Global ielts schq-olXi X2X7的值yiy2牡1 4解：5=

4、1 + 8 di, d i =,又 5 = 1 + 7d?, d 2 =2 7d1d2x1+ x2 + X7 = 7 X4 = 7 X=21,y1+ y2 + +y6 = 3x(1 + 5)= 18,y1 y2X7 = 7 y663. 在等差数列an中，a4 = 15,公差d = 3,求数列an的前n项和Sn的最小值一Sn的最小值解法 1 ：玄4 = a1 + 3d, 15=玄1 + 9,玄1 = 24,Sn = 24n +3n(n21)2(n51)251236,当|n 51 I最小时,6Sn最小,108最小.即当 n = 8 或 n = 9 时，S8 = S9 =解法 2 :由已知解得 a1

5、 = 24, d = 3, an = 24+ 3(n 1), 由 an < 0 得 nw 9 且 a9 = 0,当 n = 8 或 n = 9 时，S8 = S9 = 一 108 最小.填空题1、 已知等差数列公差d> 0,a3a7= 12,a4+a6= 4,则 S2o=2、 数列an中，若a1 ,a2,a3成等差数列，a2,a3,a4成等比数列,as,a4,a5的倒数又成等差数列，则a1,a3,a5成数列3、 已知an为等差数列，a1=1,S10=1OO,an=.令an=log2bn,则的前五项之和S5' =1 1 14、已知数列,6 12 201(n 1)(n 2)则其

6、前n项和Sn=5、 数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于.6、 等差数列an中，前4项和为26,后4项之和为110,且n项和为187,则n的值为环球雅思学校GLOBAL IEJT& SCHOOL7、已知等差数列an的公差d工0,且ai,a3,a9成等比数列，_肌的值是.a2 a4 ai0& 等差数列an中,S6=28, Sio=36(Sn为前n项和)，则Si5等于.9、 等比数列an中，公比为2,前99项之和为56,则a3+a6+a9+a99等于.10、等差数列an中，ai=1,aio=100,若存在数列bn,且 an=log2bn,则 3+b2+b3+b4+b5等

7、于.11、 已知数列1, 口，丄二，丄空，,前n项的和为 .n n n12、 已知a n是等差数列，且有 a2+a3+a1o+an=48,则 a6+a7=.13、等比数列an中，a1+a2+a3+a4=80, a5+a6a7+a8=6480,贝V a1 必为.14、 三个数3、数列 an是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问:求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时，求n的最大值.、1、1成等差数列，而三个数a2、1、c2成等比数列，则：C2等于.a ca c15、 已知|g JX, , Igy成等比数列，

8、且x> 1,y> 1,则X、y的最小值为 .2a216、 在数列an中，an 1n一 ,已知an既是等差数列，又是等比数列，则an的前20项的和为2an 52 口117、 若数列an, a1且an 1an (n N),贝U通项 an=.3 (n 2)(n 1)18、 已知数列an中，a43 2丿2,已1(恵 1)an (n1),则这个数列的通项公式an=.19、正数a、b、c成等比数列，x为a、b的等差中项，y为b、c的等差中项，则的值为.x y20、 等比数列an中，已知 a1 a2 a3=1,a2+a3+a4= 7 ,则 a1 为.4三、解答题1、 在等差数列an中,a1= -

9、250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和，(1)70 < nW 200;(2)n 能被 7 整除.2、 设等差数列an的前n项和为Sn已知a3=12, S12>0,S13V 0.(I )求公差d的取值范围；(1)(n)指出$,S2,S12，中哪一个值最大，并说明理由环球雅思学校GLDBAl. IFLTS SCHOOL4、设数列an的前n项和Sn.已知首项ai=3，且Sni+Sn =2 an1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.115、已知数列an的前n项和Sn -n(n+ 1)(n + 2),试求数列的前n项和.3an26、已知数列 an是等差数列，其中每一项及公

10、差 d均不为零，设aiX 2ai必 ai 2=0(i=1,2,3,)是关于x的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根；(2)设这些方程的另一个根为mi，求证m11 1m21 m3 1,也成等差数列mn 1Cn =0(n=1,2,3)的两个根，当a1=2时，试求C100的值.27、如果数列 an中，相邻两项an和an 1是二次方程Xn 3nXn&有两个无穷的等比数列 an和 an,它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数都有a n 1，试求这两个数列的首项和公比.9、有两个各项都是正数的数列 an,bn.如果a1=1,b1=2,a2=3.且an,bn

11、,an1成等差数列，bn,an1, bn 1成等比数列试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列log 2xn的第m项等于n,第n项等于m(其中m n)，求数列x n的前m+ n项的和。参考答案：填空题1、1802、等比3、2n 1,62 4、3n2(n5、2)2n+2.6、1311.7、8、16249、3210、68211、n 1 “12、2413、4 或 2.14、1或1215、1016、 100 17、71236n 1环球雅思学校GLOBAL lELTB SCHOOL n 2 218、. 2119、2.20、2 或3解答题1、 解：ai= 250, d=2, an= 250+2(n 1)

12、=2 n 252同时满足70< nW 200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列 bn.b1=a70= 112, b2=a77= 98,bn' =a196=140其公差 d' = 98 ( 112)=14.由 140= 112+(n ' 1)14,解得 n' =1919 18A bn的前19项之和S 19(112)214266.2、解：(I)依题意，有 S1212a112(121)?d0213 (13 1)»2a111d0(1)S1313a1?d0,即2a6d0(2)由a3=12,得a1=12 2d(3)247d024将式分别代入(1),(

13、2)式,得d 33d07(n)由 d<0可知 a1 > a2> a3>a12> a13.因此若在1 w nW 12中存在自然数n,使得外>0,an+1 < 0,则Sn就是S,S2,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)> 0, S13=13a7< 0,即卩 a6+a7>0, a7< 0.由此得a6>a7>0因为a6>0,a7<0,故在S1,S2,S12中S6的值最大.3、 (1)由 a6=23 + 5d > 0 和 a7=23 + 6d< 0,得公差 d= 4.(2)由 a6>

14、0,a7< 0, a S6 最大，S6=8.(3)由 a1=23,d= 4,则1Sn =n(50 4n),设 Sn > 0,得 n< 12.5,整数 n 的最大值为 12.24、t a1=3, a S1=a1=3.在 Sn+1 + Sn=2an+1 中，设 n=1,有 S2 + S1=2a2.而 S2=a1 + a2.即 a1 + a2+ a1=2a2. a a2=6.由 Sn+1 +Sn=2an+1, (1)Sn+2 + Sn+1 =2an+2, (2)3,当n 1时， 3n 1,当 n2时.(2) (1), 得 Sn+2 Sn+1 =2an+2 2an+1 , A an+

15、1 + an+2=2an+2 2an+1 即卩an+2=3a n+1此数列从第2项开始成等比数列，公比q=3.an的通项公式an=2此数列的前3(3n1 1)=3n3 1.2n 项和为 Sn=3 + 2 X3 + 2 >32+ 2X3n t=3 + 1a1=2,S1=X X1 + 1) X + 1)=2, a a1= S1.3的 通 项 公 式。 A115、an= Sn Sn 1= n(n+ 1)(n + 2) (n 1)n(n + 1)=n(n +1).当 n=1 时,33贝V an = n ( n +1) 是 此 数 列环球雅思学椅GLOBAL IF UTS SCHOOL1 1a-i

16、a2 an 1 21 1 n(n 1)(12)2 1)(1 1 ) = 1 - 1n n 1n 16、（1）设公共根为p,则ai p22ai iP ai 220 ai i p2ai 2P aj 30 则-，得 dp2+2dp+d=0,d 丰 0 为公差,(p + 1)2=0.p= 1是公共根.（直接观察也可以看出公共根为1）.（2）另一个根为mi ,则mi + （1)= 2ai 12 2d . mi+1 =aiai2d1aii一 即 l，易于证明 是以一-为公差的等差数列.aimi 1 2dmi 127、解牛由根与系数关系 ,a n + a n i = 3n,则(a* i + a* 2) (a

17、* + a* 1 )= 3,即 卩 a* 2 a* = 3. ai,a3,a5 和 32,a4,a6 都是公差为一 3 的等差数列，由 ai=2,ai+a2= 3, . a2= 5.则 a2k = 3k 2, . aioo= 152, a2k 1 = 3k+ 5, . aioi= 148,.Cioo= aioo ? aioi=22496&设首项分别为a和b,公比q和r.则有|q 1,|r|1.依据题设条件，有 a =1,b =2,aqn 1 2 brn1，由1 q1 r上面的， 可得(1 q)2q2n 2=2(1 r)rn1.令 n=1,有(1 q)2=2(1 r),设 n=2.则有(

18、1 q)2q2=2(1 r)r, 由和1i4i6,可得 q2=r,代入 得(1 q)2=2(1 q2).由于 q丰 1,.有 q= -，r =.因此可得 a=1 q=,b=2(1 r)=一 .3939416ab31和9经检验，满足a；bn的要求.qr399、1依据题设条件，有bn2（an_an1）由此可得bnan 1 bnbn 1£ (Jbn ibn Jgbn i )=£ Jg) ： b*0, 2Jbn i。. JST 是等差数列. bn= (* 21)an bn 1bn2 2 2n (n 1) n(n 1)1 ,一?=,. an = _n(n 1)2 2 2 210、2m

19、+n-1注：可按测试标准进行评分（如10分学生得分，时间）环球雅思学校GLOBAL lLTS SCHOOL例题精讲、利用常用求和公式求和例1已知log3x的前n项和.log 2 3解：由log 3 xlog233xlog 3 2由等比数列求和公式得Snxx2x3（利用常用公式）x(1xn)1(1例 2设 Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f (n)Sn(n 32) Sn 1的最大值.解：由等差数列求和公式得Sn1n(n 1)，Sn 2(n1)(n2)（利用常用公式） f(n)Sn=2(n 32)Sn 1 n 34n 64164n 34n150当8，即n= 8时，V8f ( n) ma

20、x1501的通项之积（设制错位）（错位相减）、错位相减法求和例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知， (2n 1)xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn 得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn 1(2n1)xn环球雅思学校GLOBAL IELT SCHOOL再利用等比数列的求和公式得：（1 x）Sn1n 11 xn2x (2n 1)xn1 xn 15 (2n 1)x(2n6 2(1 x)1)xn(1 x)4求数列2； 263, J，前：项的和.2：解：由题可知,设Sn2

21、Sn22222一得（12n422423的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积2n)Sn262362422Sn2n2n2n2n122212： 1n 22n12 223242n12 2n2 n 2： 1（设制错位）（错位相减）2n反序相加法求和例5求证：c° 3cn5C(2n1)C；(n 1)2n证明：设Sn C°3cn5C：(2n1)C：把式右边倒转过来得Sn (2n1)C； (2n1)C； 13C1cn0又由cmc： m可得Sn (2n1)C：(2n1)C：3C：1Cnn+得2Sn(2n2)(C： C：n 1CnC：)2(n 1) 2n（反序）（反序相加）Sn(n1

22、)2n例 6求 sin21 sin22 sin2 3sin2 882 “sin 89的值解：设 S sin21sin 2 2sin2 3sin2 88 2 “sin 89将式右边反序得2 2S sin 89 sin 882 2 2sin 3 sin 2 sin 1（反序）环球雅思学校GLOBAL ILTS SCHOOL又因为 sin x cos(90x),s in2x cos2 x 1+得2S (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )S= 44.5(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89四、分组法求和11求数列的刖n项和：11,4, 2乙aa解：设Sn(1

23、 1)(1-4)(-17)aa将其每-项拆开再重新组合得111Sn(12n 1)(1aaa当a= 1时，Snn(3n1)n2113n 2 ,3n 2)47 3n 2)(3n 1) n2（分组）（分组求和）当a 1时，Snna_1 1a(3n 1)na a1 n (3n 1)na 12例8求数列n（n+1）（2n+1）的前n项和.解：设 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 knSn k(k 1)(2k1)k 1n(2k33k2k)nnk2nSn= 2k3 3kk 1k 1k 1=2(1323n3)3(1222n2) (1 2将其每一项拆开再重新组合得n)n 2( n 1)2 n(n 1

24、)(2 n 1) n(n 1)2 2 2（分组）（分组求和）n(n 1)2( n 2)2环球雅思学校GLOB AU lLT g-CHOOL五、裂项法求和通项常用分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)an(2n)2(2n 1)(2n1)12叮2n11)(5)ann(n 1)( n 2)2n(n 1)(n1Xn 2)ann 2n(n 1)2(n1) nn(n 1)2(n 1)2n，则Sn1(n 1)2n1例9 求数列，一 一,V2 V2V3的前n项和.解：设ann（裂项）则Sn（裂项求和）=(、2、1

25、)(3例10在数列an中,an解:annn1，又bn，求数列bn的前n项的和.an an 1环球雅思学校GLOBAL IEUTS SCHOOL - 0 21 1 8(丿n n1n n122数列b n的前n项和c111 11Sn 8(1)（CJ (C22334“ 18n=8(1 )=n 1n 1（裂项）例11 求证：cosO cosl cosl cos 21解：设S 1cos0 cos1cos1 cos 2si n1tan(n 1) tanncos n cos(n 1)（丄匕)（裂项求和）1cos1cos88 cos89sin 11cos88 cos89（裂项）1（裂项求和）cos88 cos8

26、9tan 1 ) (tan 3tan 2 ) tan 89ta n88 cosO cosl cosl cos 21(tan 1 tan 0 ) (tan 2 si n11sin1(tan 89tanO ) = 1sin 1cot1 = cos1sin 1原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在 起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178 ° + cos179° 的值.解:设 Sn= cos1 ° + cos2°+ cos3° + + cos178° + cos179°t cosncos(180n )（找特殊性质项）二 Sn=(cos1 ° + cos179°)+ ( cos2° + cos178°) +(cos3°+ cos177 °) + + (cos89° + cos91°)+ cos90o（合并求和）