探究学习构成了学生新的学习方式

1、【课前准备】教师准备：学案、透明的长方体和圆柱体、投影仪、剪刀 学生准备：（1）每个学生都要准备一个圆柱体和一个长方体、剪刀（2）分组（每组8人，其中有一组是9人，每组由好、中、差搭配）， 并选定组长，由组长汇报结果是什么【案例描述】 一复习过渡、引入新知 师：昨天，我们学习了关于直角三角形的三边数量关系的一个特殊定理， 定理？ 生：勾股定理师：现在完成学案的练习一和练习二练习一：如右图1-1，在Rt ABC中，/ C=90，边a、b、c有什么 关系？（图 1一1）生: c2=b2+a2练习二：在一棵高6米的大树梢上有一只小鸟看见地上有一条小虫， 此时小虫距离大树底部5米，那么小鸟吃到食物要飞

2、行的最短路程是多少米？生：（实物投影显示答案）如图1-2，在Rt ABC中, / ACB=90，AC=6米, BC=5 米，根据勾股定理3阪 C（图 1-2）AB= AC2 BC2 = .6252 二，61cm（5分钟后） 二弓I导探究、解决问题师：现在的时间是分组讨论学案上的问题一，并由小组长作 好记录和汇报结果，注意组长在讲解答案时要具体指出昆虫 所走的路线，并具体画出示意图。问题一：如图2所示，有一个空心的圆柱体，它的高等于 12 厘米，底面圆的半径等于3厘米，在圆柱底面的A点有一只 昆虫，它想吃到上底面上与 A点相对的B点处的食物。（其中n取3）（1）如果这只昆虫是蜜蜂，那么它吃到食物

3、要爬行的最短路程是多少？（2）如果这只昆虫是蚂蚁，那么它吃到食物要飞行的最短路程是多 少？（5分钟后）师：请小组长代表说说讨论的结果第一组答案：（1）（实物投影显示答案）如图2所示，连接AB AD 则线段AB就是蜜蜂所飞行的路线在 Rt ABD中，/ 1=90 °， 根据勾股定理AB=AD2 BD2 = .62 5 .61cm（2）如图2所示，蚂蚁行驶的路线为：A一D 七6+5=11cm师：与第一组答案不同的请举手，现请第三组的组长讲解你们的答案。 第三组：（1）如图2所示，连接AB BC贝懺段AB就是蜜蜂所行的路线在 Rt ACB中，/ ACB=90 ,根据勾股定理 AB=/aC?

4、 +BC? = J乔号=v61cm（2）如图2所示，蚂蚁行驶的路线为：AC B一6+5=11cm师：还有哪个组的答案不同？（这时老师发现学生们没有办法找出蚂蚁爬行的最 短路程，只好作下面的提出示）同学们，现在我们尝试沿AC这条线段把手上的的圆柱体（去掉上下底）剪开，并把它拉直，然后求出蚂蚁在这个平面图形上爬 行的最短路程。（5分钟后）老师展示第七组的答案第七组答案：（1）如图2所示，连接AB AD则线段AB就是蜜蜂所飞行的路线 在 Rt ABD中，/ 仁90°,根据勾股定理 AB= AD2 BD ：,；62 561cm（2）蚂蚁行驶的路线，如图3所示：蚂蚁由圆柱的表面直接由A点爬行到

5、B点, 于是沿线段AC把圆柱剪开得到图4,线段AB就是蚂蚁所行的路线在 Rt ABC 中，/ C=90 ， AC=5cm BC=3tt 宀 3X 3=9cm根据勾股定理得 AB 二,AC2 BC2 =、52 92106cm10.3cm师：还有没有其它意见呢？既然没有，那么我们现在一起看看这三个组的答案。第（1）个问它们求得蜜蜂吃到食物的最短路程都是 一 61cm ;第（2）个问有三种路线和两个答案，但 11cm> 10.3cm，很明显，第七组求得蚂蚁吃到食物的路程是最短的，最短路程是 J06cm。师：现在总结问题一（教师结合手中的圆柱体分析）：（1）A点处飞行的昆虫要吃到B点处的食物，最

6、短路程就是圆柱体中 A、B两点 间的距离，如图2中线段AB的长度；（2） 根据“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论可知，在A点处爬行 的动物要吃到B点处的食物，最短路程就是如图 3中曲线段AB的长度。要想求 出AB的长度，一定要把曲面变成平面，把曲线变成直线，因此还要掌握圆柱的 侧面展开图，所以还要掌握以下两个知识点：圆柱的侧面展开图是一个长方形（如图4所示）；图4中长方形的长等于底面的圆的周长。掌握了圆柱的侧面 展开图后，在圆柱体的侧面展开图上根据勾股定理，就很容易求出线段AB的长度。因此第七组的答案是正确的，请同学们以热烈的掌声祝贺他们。（10分钟后）师：现在请同学们拿出手上的长方体

7、仿照解决问题一的方法分组讨论学案上的问 题二问题二：如图5,在空心的长方体 ABCD-ABCiD中，AB=3cm,BC=4cm,AA12cm,在 长方体的下底面的A点有一只昆虫，它想吃到上底面上 G点处的食物。（1）如果这只昆虫是蜜蜂，那么它吃到食物要爬行的最短路程是多少？（2）如果这只昆虫是蚂蚁，那么它吃到食物要飞行的最短路程是多少？ 师：现在请同学们拿出手上的长方体仿照解决问题一的方法去解决问题二（10分钟后）师：请小组长代表说说讨论的结果第一组：（1）（实物投影显示答案）如图5所示，连接AC AC， 则线段AC就是蜜蜂所飞行的路线在 Rt ABC中，/ ABC=90 ， AB=3cm B

8、C=4cm, AA=CC=12cm根据勾股定理得 AC r$AB2 BC2 二 32 42 二,25 二 5cm在 Rt ACC中，/ ACC=90°, AC=5cm CC=12cm 根据勾股定理得 A® = AC2 CC； = .52 122 二-169 二 13cm（2）如图6所示，蚂蚁爬行的路线为： 爪f E 1如图7,在长方体的表面展开图上连接 AC,AQ =JAA； + AC； =®22 +72 = V193cm师：与第一组答案不同的请举手，现请第五组的组长讲解你 所示，连接AQ、AC,则线段AQ就是蜜蜂所AC=90°, ABfAB3qm BC

9、fbC=们的答案。第五组:竿Rt （1）如图5ABC 中，4cm,AA=CG=12cm 根据勾股定理得C12 = 3A1 C12A1 B1' B11 在 Rt灵AC 中，/ AAG=90。AC1 二A1C12 AA12=5 cm,AQ=5cm22= 169 円13A=12cm,根:据勾月殳定別刖cm , (2)与第一组的答案一样，但CDiA展开图画法不同，如图8所示师：看看还有哪组的答案不同，好，请第六组组长展示你们 所示，连接AC AC,则线段AC就是蜜蜂所行的路线的答案。（1）如图5第六组：Rt ABC中, y ABC=90 , AB=3cm BC=4cm, AA=CC=12cm根

10、据勾股定理得AC hAB2 BC2 =烷3242在 Rt AAC中，/ AAG=90°, AQ=3+4=7cm AA1=12cm 根据勾股定理得在 Rt ACC中，/ ACC=90°, AC=5cm CC=12cm 根据勾股定理得AG =*AC2 CC12 h %2 122 = ：；169 =13cm（2）如图9所示，蚂蚁爬行的路线为：A一E -0一 如图10,在长方体的表面展开图上连接 AC,在 Rt ADG中，/ ADG=90°, AD=12+4=16cm AB= DG=3cm 根据勾股定理得12Ai 4> 124EBiCi（图 10）CAC, = .

11、AD；D.C；二.162 32 = . 266cm师：第六组的同学观察得比较仔细，发现蚂蚁还可以从面ABBA爬到面AiBiCD,做得十分好，值得表杨。还有没有其它答案呢？既然没有， 现在我们一起看看三 组的答案有什么不同，在第（1）个问中，虽然第五组运用的三角形与其它组不 同，但三个组求得的蜜蜂飞行的路程都是一样的。在第（2）个问中，第一组的同学的蚂蚁是由面 ABBA 面BCCB，沿棱AA剪开，求得 AG的长度为7193cm，第六组的同学的蚂蚁是由面 ABBAi 面ABCD，沿棱AB剪开,求得AG的长度为266cm，但.193cm < . 266cm，所以第一组蚂蚁爬行路程比第六组的近。除这两种答案外，还有没有其它答案呢？我们再看看这个长方体， 它 共有六个面，蚂蚁还可以由哪些面从A处爬行到C处呢？请同学们举手回答。（经 老师提点，同学们纷纷举手回答）生：可由面 ADDA *面AiBiCDi师：对，其实蚂蚁爬行的路线除上面两条外，还有第三条路线，就是由面ADDA面AiBiGD，沿棱AD剪开，如图11,在表面展开图上连接AG,根据勾股定理求得 AC . AD2 DC； =、42 i52 二,24icm因明显.i93cm < 24icm < 266cm，所以仍然是第一