第4章 振动学基础作业

1、第4章 振动学基础思 考 题4.1 什么是简谐振动？试分析以下几种运动是否是简谐振动？(1) 拍皮球时球的运动；(2) 一小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动；（3）一质点分别作匀速圆周运动和匀加速圆周运动，它在直径上的投影点的运动。答：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或者角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就叫简谐运动。也可从动力学角度来说明：凡是物体所受合外力（或合外力矩）与位移（或角位移）成正比而方向相反，则物体作简谐振动。（1）不是简谐振动。从受力角度看，它受到地面的作用力，虽然是弹性力，但这外力只是作用一瞬间，而后就只在重力作用下运动。从运动规律来看，

2、虽然是作往复运动，但位移时间关系并不是余弦（正弦）函数，而是作匀变速运动。（2）是简谐振动。当小球在半径很大的光滑凹球面底部的小幅度摆动，若其角位移，则其运动方程满足微分方程，所以是简谐振动。（3）作匀速圆周运动的质点在某一直径（取作x轴）上投影点对圆心o的位移随时间t变化规律遵从余弦函数，若设圆周半径为A，角速度为，以圆心为坐标原点，质点的矢径经过与x轴夹角为的位置开始计时，则在任意时刻t，此矢径与x轴的夹角为，而质点在x轴上的投影的坐标为，这正与简谐振动的运动方程相同。可见，作匀速圆周运动的质点在直径上的投影点的运动是简谐振动。质点作匀加速圆周运动，在直径上的投影x不是等周期性变化的，而是

3、随着时间变化的越来越快，所以其投影点的运动不是谐振的。4.2 分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的。若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然在自己的平衡位置附近作往复运动即作振动；若系统在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用或者说，若一个系统的运动微分方程能用+=0描述时，其所作的运动才是谐振动（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。4.3 如果把一弹簧振子和一个单摆拿到月球上去，振动的周期如何

4、改变？答：在月球上，弹簧振子的振动周期不变，仍为，但单摆的周期要改变，即,4.4 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度：；加速度：；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。4.5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时

5、，另一个质点2在 处，且向右运动。这两个质点的位相差为多少？质点从运动到处所需要的最短时间为多少？答：质点从运动到处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：。4.6 什么是振动的相位？一个弹簧振子由正向最大位移开始运动，这时它的相位是多少？经过中点，到达负向最大位移，再回到中点向正向运动，上述各处相应的相位各是多少？答：相位是反映质点振动状态的物理量，其值为，一个弹簧振子正向最大位移开始运动时的相位为零；经过中点时的相位为；达到负向最大位移时的相位为；再回到中点向正向运动时的相位为（或）。图4.1 思考题4.7图图5 鞍点4.7 一个简谐振动的振动曲线如图所示。此振动的周期为（ ）(A)12

6、s； (B)10s；(C)14s； (D)11s。答：（A）。图4.2 思考题4.8图图4.3 思考题4.9图4.8 一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 A/2,且向x轴的正方向运动；代表此简谐振动的雄转矢量图为（ ）答：（B）。4.9 一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初位相应为（ ）(A) 6； （B）5/6； （C）-5/6； （D）-6；答：（C）。4.10把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度,然后由静止放手任其振从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为（ ）(A) ； (B

7、) ； （C）0； （D /2。答：（C）。4.11如图所示，质量为m的物体由倔强系数为k1和k2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动,则系统的振动频率为（）图4.4 思考题4-11图（A）（B）（C）（D）答：（B）。图4.5思考题4-12图4.12一倔强系数为k的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，如图所示。则振动系统的频率为（ ）(A) (B)(C) (D)答：（B）。4.13一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E1变为（ ）(A) E1/4; (B) E1/2； (C)2

8、E1; (D) 4 E1。答：（D）。4.14. 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？(A) (B) 图4.6 思考题4.15图图5 鞍点x t O A/2 x1x2(C) (D) 答：（B）。 4.15图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) (C) (D) 0 答：（B）。习 题4.1质量为kg的小球与轻弹簧组成的系统，按 (SI)的规律作振动。求:(1) 振动的角频率、周期、振幅、

9、初相、最大速度及最大加速度；(2) t=1s，2s，5s，10s等各时刻的相位；(3) 分别画出该振动的x-t图线、v-t图线和a-t图线。解：（1）与振动方程的标准形式相比可知：角频率 ;初周相 ;振幅 .习题4-1解图可求得 最大速度 最大加速度(2)相位为将代入，则相位分别为。（3）该振动的图，图和图如图所示。4.2有一轻弹簧，当下端挂一个质量ml=l0g的物体而平衡时，伸长量为4.9cm，用这个弹簧和质量m2=16g.的物体连成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x轴的正方向，将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v05cm/s并开始计时，试求m2的振动周期和振动的数值表达

10、式。解：设弹簧的原长为l，悬挂m1后伸长，则 , 取下m1挂上m2后, 时 解得 或 应取 也可写成 振动的表达式为 习题4-3解图4.3一质点作简谐振动，其振动方程为(SI), 试用旋转矢量法求出质点由初始状态(t=0的状态)运动到x=-0.12m, v0的状态所需最短时间t。解：旋转矢量如图所示。由振动方程可得 ， 4.4一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满

11、足何条件？两者在何位置开始分离？习题4-5解图解：（1）小物体受力如图所示。设小物体随振动物体的加速度为a，按牛顿第二定律有（取向下为正）当，即时，小物体开始脱离振动物体，已知 系统的最大加速度为，此值小于g，故小物体不会离开。(2) 如使，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由求得即在平衡位置上方19.6cm处开始分离，由，可得 图4.7 习题4.5图4.5. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和可得： 所以： 代入频率计算式，可得：4.6一物体放置在平板上，此板沿水平方向作谐振动。已知振动频率为2Hz

12、，物体与板面最大静摩擦系数为0.5。问：要使物体在板上不发生滑动，最大振幅是多少？解：因为，所以，物体随板一起振动所需力为此力由板对物的静摩擦力提供，此力的最大值为物体在板上不发生滑动的条件是，即4.7. 有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作筒谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。解：振动方程：我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率： ，周期：（2）根据初始条件： 可解得：所以得到振动方程：4.8在直立的U形管中装有质量为m=240g的水银（密度为=13.6g/cm3），管的截面积

13、为S = 0. 30cm2,经初始扰动后，水银在管内作微小振动，不计各种阻力，试列出振动微分方程，并求出振动周期。解：设U形管左臂水银下降x，则右臂水银面比左臂高出2x，两臂水银压力差为。由力学的分析可得 即 令，则。这是简谐振动的微分方程。图4.8 习题4.9图4.9一定滑轮的半径为R,转动惯量为J，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示，设弹簧的倔强系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力，现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率。解：如图4.9所示，取坐标，平衡位置为原点，向下为正，在平衡位置时弹簧

14、已伸长 设m在位置x时，有（）。由牛顿第二定律和转动定律列方程得联立解得 由于系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为 4.10边长l = 0.l0m，密度=900kgm-3的正方形木块浮在水面上。今把木块恰好完全压人水中，然后从静止状态放手。假如不计水对木块的阻力，并设木块运动时不转动。（l）木块将作什么运动(2) 求木块质心（重心）运动规律的数值表达式。（水的密度=1000kgm-3并取竖直向上方向为x轴的正方向）解：（1）如图（a）所示，选平衡时木块的重心C所在处为原点，向上为轴正方向，此时木块本身的重力等于水对木块的浮力。 当木块上移时，如图 (b) 所示，则木块所受的浮力减少，重

15、力不变，故合力为根据牛顿第二定律，有 将 令（2）设木块平衡时露出水面的高度为a，浸入水中的深度为此时木块本身的重力等于水对木块的浮力，即今把木块恰好完全压人水中，然后从静止状态放手，即所以 （SI制）4.11在竖直面内半径为R的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处，然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动。试证：(1)此物体作简谐振动；(2)此简谐振动的周期解：（1）当小物体偏离圆弧轨道最低点角时，其受力如图所示。切向分力为 (1)习题4-11解图因角很小，所以牛顿第二定律给出 (2)即 (3)将式(3)和简谐振动微分方程比较可知，物体作简谐振动，其振动方程为

16、 (4)（2）由式(3)，式(4)知 所以周期 4.12一质点作简谐振动，其振动方程为 (SI)(1) 位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？(2) 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(3) 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？解：（1）（2）势能 总能量 由题意 , （3）周期从平衡位置运动到的最短时间为 ，4.13已知两个在同一直线上的简谐振动的振动方程分别为(SI)，(SI)。求（1）它们合成振动的振幅和初相；（2）另有一同方向的简谐振动 (SI) 。问为何值时，的振幅为最大？为何值时，的振幅为最小？(3) 用旋转矢量图示法表示（1）、（2）的结果。解：（1

17、）习题4-13解图（2）当时，与的合成振幅最大为0.12m。当时，与的合成振幅最小为0.01m 。（3）用旋转矢量图表示（1），（2）两小题结果如图所示。4.14. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为 。若第一个振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知 （m）所以 设角为，则即 即，这说明与间夹角为，即二振动的位相差为4.15. 摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？解：根据阻尼振动的特征，振幅为 若已知，经过后，振幅变为，可得：那么当振幅减为 可求得t=21s。4.16. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的90%，求:（1）求振子在水中的振动周期（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？解：（1） 有阻尼时 （2）略