山东省青岛市市南区2024-2025学年上学期九年级期末质量监测九年级数学试题 （原卷版+解析版）

2024—2025学年度第一学期期末学业水平质量检测九年级数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！本试题共有25道题，其中1~9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17~25题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分）1.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（）A. B.C. D.2.下列命题错误的是（）A.正方形的对角线互相垂直 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是矩形 D.菱形的四条边相等3.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，雷达在与发射点相距的海平面处测得其仰角为，则此时雷达测得火箭上升的距离为（）A. B. C. D.4.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A. B.且 C.且 D.且5.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点，窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为2，为1，实地测得为5，则井深为（）A.8 B.9 C.10 D.116.若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A. B.C. D.7.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（）A B.C.或 D.或8.如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为，则表高为（）A B. C. D.9.抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）10.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．11.实践课上，小明在一张面积为的矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______．12.某手机厂商一月份生产手机50万部，计划二、三月份共生产手机132万部，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意列出方程为______．13.如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则______．14.如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则点的坐标为______．15.如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为______．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16.已知，线段，求作：菱形，使，对角线．四、解答题（本大题满分71分，共9小题）17.（1）解方程：（2）计算：18.湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔（图所示），被称为“药师塔”．课题测量药师塔的高度测量工具测角仪等测量示意图测量过程如图，为了测量药师塔的高度，采用了如下的方法：先从与塔底在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从沿水平方向继续前行若干米后至点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为．说明点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．要求结果精确到．（参考数据：，，）（1）求坡顶到的距离；（2）计算药师塔的高度．19.2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______；（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．20.图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．（1）求出与的函数关系式；（2）这次训练，该运动员跳水最大竖直高度为______米；（3）比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由．21.如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，当时，的取值范围为______；（3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标．22.如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点．（1）求证：；（2）若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由．23.“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒．（1）直接写出关于的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？（3）在日销售利润不低于元的前提下，该超市购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？24.如图，的面积为2，为边上的中线，点是的等分点；点是的等分点；点是的等分点．其中、、为正整数，．（1）的面积为______；（2）求四边形的面积，并说明理由；（3）四边形的面积为______；（4）的面积为______．25.已知：把和按图方式摆放（点与点重合），点、，在同一条直线上．，，，．如图，从图1位置出发，以的速度沿方向向点匀速移动，在移动的同时，点从点出发，以的速度沿方向向点匀速移动．当与重合时，与点都停止移动．关于的对称点为，交于点，交于点，设移动时间为．解答下列问题：（1）为何值时，？（2）设面积为，求与的函数关系式？（3）是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．

2024—2025学年度第一学期期末学业水平质量检测九年级数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！本试题共有25道题，其中1~9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17~25题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分）1.我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，则它的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．【详解】解：该几何体左边是一个圆柱，从上面看，看到的是一个长方形，该几何体右边下部分是正方体，上部分是圆柱，看到的是一个正方形内里镶嵌一个圆，即该几何体的俯视图是：．故选：A．2.下列命题错误是（）A.正方形的对角线互相垂直 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是矩形 D.菱形的四条边相等【答案】C【解析】【分析】本题考查的是平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质定理，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A、正方形的对角线互相垂直，正确，不符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，符合题意；D、菱形的四条边相等，正确，不符合题意；故选：C．3.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，雷达在与发射点相距的海平面处测得其仰角为，则此时雷达测得火箭上升的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角的正切的定义求解，即可解题．【详解】解：，仰角为，，故选：A．4.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（）A. B.且 C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与x轴的交点，先根据二次函数的定义得出，再根据二次函数的图象与轴有交点，得出方程有实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可解答．【详解】解：∵是二次函数，∴，∵二次函数的图象与轴有交点，∴方程有实数根，∴，解得：，综上：k的取值范围是且，故选：D．5.四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点，窥衡杆与四分仪的一边交于点．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为2，为1，实地测得为5，则井深为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形性质，证明，根据相似三角形的性质建立等式求解，再结合矩形性质，即可解题．【详解】解：由题知，，，，从四分仪中读得为2，为1，实地测得为5，，，解得，四边形矩形，．故选：A．6.若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．【详解】解：若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是，故选：．7.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，∴矩形与矩形的位似比为，∵点、坐标分别为和，∴点的坐标为，∴点的对应点的坐标是或，即或，故选：．8.如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，；夏至日影最短，．若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为，则表高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设表高，判断出，根据，构建方程求解．【详解】解：设表高．∵冬至日影最长，；夏至日影最短，．则，，，解得：．∴表高．故选：B．9.抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据当时，，即可判断⑤．【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点，，，根据图象可得，，∴，故①正确，∵抛物线对称轴为直线，经过点，∴和关于对称轴对称，时，，∴，故③错误，，∴，故④错误，∵抛物线与轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴，，故②正确，当时，，当时，，∴，∴，即，（），故⑤正确，故正确的有3个，故选：C．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）10.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．【答案】9【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“利用一元二次方程的根与系数的关系求解方程的根或方程中未知系数的值”是解本题的关键．设该方程的另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系可得：，再解一次方程即可得到答案．【详解】解：是一元二次方程的一个根，设该方程的另一个根为，则，，所以该方程的另一个根是9．故答案为：9．11.实践课上，小明在一张面积为矩形卡片上绘制了图1所示的青岛市地形图，他想知道该地形图的面积，采取了以下办法：将矩形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝矩形区域抛掷小球，记录落在该地形图上的次数（球抛在地形图最外围的界线上或矩形区域外不计入试验结果），并将若干次试验结果绘制成图2所示的折线统计图，据此估计该地形图的面积约为______．【答案】100【解析】【分析】本题考查了几何概率，由频率估计概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由题意可得小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，求解即可得出答案．【详解】解：根据题意可得：小球落在该地形图上的概率为0.5，设该地形图的面积为，则，解得：，∴该地形图的面积大约为，故答案为：100．12.某手机厂商一月份生产手机50万部，计划二、三月份共生产手机132万部，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意列出方程为______．【答案】【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．设二，三月份每月的平均增长率为，根据“计划二，三月份共生产132万台”，即可列出方程．【详解】解：设二，三月平均每月增长率为，根据题意列出方程为：，故答案为：．13.如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案为：．14.如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，若点的坐标为，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，先求出反比例函数的解析式，设，则，根据可得，求得的值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵点的坐标为且在反比例函数的图象上，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，∵四边形是正方形，∴，又∵点在反比例函数图象上，不妨设，则，∴，解得，，∵，∴，∴，故答案为：．15.如图，正方形的边长为，为中点，为射线上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点，证明，推出，，可得，推出平分，因为关于对称，所以，推出，可知当点在上时，的值最小，最小值为线段的长.【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，在的延长线上取一点，使得，连接，过点作于点，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴平分，∵，∴关于对称，∴，∴，∴当点在上时，的值最小，最小值为线段的长，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16.已知，线段，求作：菱形，使，对角线．【答案】作图见解析【解析】【分析】在平面内任选一点，以为端点作射线，再用作两个角相等的方法作，再作的角平分线，再由作两条线段相等的方法在的角平分线上截取，最后作线段的垂直平分线，交两边于点，连接、即可得到答案．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查作菱形，涉及基本尺规作图中作两个角相等、作角平分线、作两条线段相等、作垂直平分线，熟练掌握五种基本尺规作图的方法步骤是解决问题的关键．四、解答题（本大题满分71分，共9小题）17.（1）解方程：（2）计算：【答案】（1）（2）0【解析】【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项，再配方得，最后开方，即可作答．（2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方和乘法，最后运算减法，即可作答．【详解】解：（1），∴则∴∴（2）18.湛山寺位于青岛市湛山西南、太平山东麓，在寺庙的后方东侧，有一座八角七级砖塔（图所示），被称为“药师塔”．课题测量药师塔的高度测量工具测角仪等测量示意图测量过程如图，为了测量药师塔的高度，采用了如下的方法：先从与塔底在同一水平线上的点出发，沿斜坡行走米至坡顶处，再从沿水平方向继续前行若干米后至点，在点测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为．说明点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．要求结果精确到．（参考数据：，，）（1）求坡顶到的距离；（2）计算药师塔的高度．【答案】（1）坡顶到的距离为米；（2）药师塔的高度约为米．【解析】【分析】（）过点作，垂足为，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（）延长交于点，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答；本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【小问1详解】解：如图，过点作，垂足为，∵斜坡的坡度，∴，设米，则米，在中，由勾股定理得：（米），∵米，∴，解得:，∴米，∴坡顶到的距离为米；【小问2详解】解：如图，延长交于点，由题意可得，米，∵塔底的俯角为，，∴，∴，∴米，在中，，∴（米），∴（米），∴药师塔的高度约为米．19.2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到（冲浪）的概率是______；（2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图是解题的关键．（1）直接运用概率公式求解即可；（2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果有2种，最后由概率公式求解即可．【小问1详解】解：体育老师想从中随机抽取一张，恰好抽到（冲浪）的概率是；故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的结果数为2，体育老师抽到的两张卡片恰好是（霹雳舞）和（滑板）的概率．20.图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．（1）求出与的函数关系式；（2）这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为______米；（3）比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由．【答案】（1）（2）米（3）远【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式．（1）将点，代入根据待定系数法求出解析式，即可求解；（2）将（1）中解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标即可求解．（3）求出中，当时，x的值，进行比较即可．【小问1详解】解：将点，代入可得：，解得：，故与的函数关系式为．小问2详解】解：∵，∴当时，，故这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为米．【小问3详解】解：在中，令，则，解得：（舍去），，∴比赛当天这次跳水入水点水平距离比训练时入水点的水平距离是远．21.如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象回答，当时，的取值范围为______；（3）轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）或；（3）点的坐标或．【解析】【分析】（）把代入得，可得反比例函数的解析式为，然后求出，最后把，代入求出解析式即可；（）根据函数图象即可得到不等式的解集；（）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可；本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键．【小问1详解】解：把代入得，∴，∴反比例函数的解析式为，把代入得，，∴，把，代入得，，∴，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或，故答案为：或；【小问3详解】解：设，由得，当时，，当时，，∴，，当时，，∴，∴点的坐标为，当时，，∴，∴点的坐标为，综上可知：点的坐标或．22.如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点．（1）求证：；（2）若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）四边形是菱形，理由见解析【解析】【分析】（）利用矩形的性质可证，得到，进而证明即可求证；（）由得，即可得四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，得到，即得，再根据三线合一可得，即可求证．【小问1详解】证明：∵四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：四边形是菱形，理由如下：由（）得，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴为等边三角形，∵是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键．23.“元宵节”吃元宵是中国传统习俗，在“元宵节”来临前，某超市购进一批某品牌的元宵，每盒进价是元．根据销售经验，当每盒售价定为元时，日销售量为盒．每盒售价每提高元，日销售量就会减少盒．设每盒售价为元，日销售量为盒．（1）直接写出关于的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大？最大利润是多少？（3）在日销售利润不低于元的前提下，该超市购进这批元宵的进货总成本最低为多少元？【答案】（1）（2）当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元（3）该超市购进这批元宵的进货总成本最低为元【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，解一元二次方程，根据题意列出函数关系式，再根据二次函数以及一次函数的性质求最值是解答本题的关键．（1）根据销售量等于原来的销售量减去减少的销售量列式求解即可；（2）根据题意表示出日销售利润，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）先根据日销售利润不低于元求出售价的范围，设该超市购进这批元宵的进货总成本为元，根据题意用表示出，再根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：根据题意，得；【小问2详解】解：根据题意，得，，当时，有最大值，最大值为，答：当每盒售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元；【小问3详解】解：根据题意，得，解得：，，，当时，日销售利润不低于元，设该超市购进这批元宵的进货总成