直线和平面的位置关系

1、直线和平面的位置关系一、选择题(本题每小题5分,共60分1.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,要使一根长为2m 的细杆的影子最长,则细杆 与水平地面所成的角为 ( A .15°B .30°C .45°D .60°2.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线AC 1与底面ABCD 所成的角的正切等于( A .1B .2C .22 D .33 3.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线AC 1与面ABCD 、面BCC 1B 1所成的角分别 为、,面对角线BC 1与面ABCD 所成的角为,则有 ( A .sin =sin

2、 sin B .cos =sin cos C .cos =cos cos D .sin =cos sin 4.空间四边形的与各顶点等距离的截面共有 ( A .7个 B .4个 C .3个 D .1个5.图中给出的是长方体形木料想象沿图中平面所示位置截长方体,若那么截面图形是下面四个图形中的 A B C D6.Rt ABC 的斜边BC 在平面内,A ,设A 在上的射影为A ,则由A 'B ,A 'C ,BC 组成的图形是( A .直角三角形B .锐角三角形C .线段或锐角三角形D .线段或钝角三角形7.正方体最长的对角线所在的直线与正方体各条棱所成的角的弧度值的种数是 ( A .

3、1B .2C .3D .48.空间五个点,其中任意两点的连线都与其他三个点确定的平面垂直,则这五个点( A .存在,且其中任意四个点不共面. B .存在,其中可能有四个点共面.C .不存在,但在任意两个点确定的10条直线中可以有8条分别与另外三个点确定的平面垂直.D .不存在,且在任意两个点确定的10条直线中至少有7条分别与另外三个点确定的平面垂直.9.设P 是平面外一点,且P 到平面内的四边形的四条边的距离都相等,则四边形是( A .梯形B .圆外切四边形C .圆内接四边形D .任意四边形 10.若a ,b 是异面直线,P 是a ,b 外的一点,有以下四个命题:过P 点可作直线k 与a ,b

4、 都相交; 过P 点可作平面与a ,b 都平行; 过P 点可作直线与a ,b 都垂直;过P 点可作直线k 与a ,b 所成角都等于50.这四个命题中正确命题的序号是 ( A .、 B .、 C . D .、11.若一个长方体共点的三个表面的对角线长分别为a 、b 、c ,则长方体的对角线长是( A .222c b a +B .2222c b a + C .ca bc ab + D .2(3ca bc ab +12.已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2:3:4,此棱锥的侧棱与底面所成的角相等,则底面四边形的最小角是 ( A .11180B .60C .13180D .无法确定的二、填

5、空题(本题每小题4分,共16分13.若两直线a ,b 在平面上的射影a ',b '是平行的直线,则a ,b 的位置关系是 . 14.正方形ABCD 在平面的同侧,若A 、B 、C 三点到的距离分别为2,3,4,则BD所在直线与平面的位置关系是 . 15.设正方体1111D C B A ABCD -,恰好到其中5个面所在平面的距离都相等的点共有 个,平面M 与各条棱所成的角都等于,则=sin .16.在体对角线长为l 的长方体中,体对角线在相邻三个面内的射影长的和的最大值等于_ .三. 解答题(共74分17.(10分已知四边形ABCD 中,ABC=BCD=CDA=DAB=90&#

6、186;,求证:四边形是矩形.18.(12分如图,P 是ABC 所在平面外一点,M ,N 分别是PA 和A B 的中点,试过点M ,N 做平行于AC 的平面,要求:(1画出平面分别与平面ABC ,平面PBC ,平面PAC 的交线; (2试对你的画法给出证明. 19.(12分有一条东西方向的河流,在岸边设探照灯P ,PO 垂直于地面XOY ,灯光PA射向正东北方向,且与地面成60º角,求灯光PA 与河岸OX 所成角的余弦.C20.(10分直角三角形ABC中,A=90º,AB=2AC,Q为AB上一点,QB=54AC,P为平面ABC外一点,且PB=PC,求证:PQBC.21.(1

7、4分若直线L与平面内三条两两相交的直线a,b,c所成的角相等.求证:L. 22.(16分正方形ABCD中,AB=2,E、F分别是边AB及BC的中点,将AED及DCF折起(如图,使A、C点重合于A'点.(证明A'DEF;(求三棱锥A'EFD的体积;(求A'D与平面DEF所成角的正切值. 参考答案 一、 选择题（本题每小题 5 分，共 60 分） BCDA 3解 ADAA BDBB 取 AB=1，AD=2， AA1 = 1 ，验算即得仅 D 适合 3 ，因此所成角的弧度数只有 1 种 3 7解 由于所成角的余弦值都是 8解 取锐角ABC，设其垂心为 H，过 H 作直

8、线 k，使 k 与平面 ABC 垂直，设 CP 是ABC 的一条高，在 l 上取一点 D，使DPC 是锐角三角形，并作 CQ DP，CQ 与 l 交于 E，则 A、B、C、D、E 这五个点 10 解 当直线 a 与 P 点确定的平面 与 b 平行时，过 P 点所作的与 a 相交的直线都在 内，不可能与 b 相交，因此命题不正确；同样，在这种情况下，过 P 点作与 b 平行的平面恰是 ， 通过 a 与 a 并不平行，因此命题也不正确 12解 因为棱锥的各侧棱与底面所成角相等，所以顶点在底面内的射影是底面四边形的外接圆圆心，底 设 B： 3： 由于 A+C=180 ， 因此 A=60 ， C=12

9、0 ， B=D=90 ， 面四边形 ABCD 是圆内接四边形。 A： C=2： 4， 最小角为 A=60 二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分） 13解 14解 平行或异面 BD/ ；由图可知 B，D 两点到平面 的距离都是 3，故 BD/ C D 中任意两点的连线与其他三点确定的平面垂直 o o o o o B A 15解 6； 3 . 提示：正方体的中心 O 关于六个面的对称点均合条件，故所求的点共有 6 个；平面 M 有 3 无数个，其中一个是平面 AB1C ，恒有 sin = 3 . 3 16解 6l . 2 设长方体中过同一个顶点的三条棱长分别是 x，y，z，则体对角线 l=

10、 2 2 2 2 2 2 2 2 x2 + y2 + z 2 注意到由 a +b 2ab，b +c 2bc，c +a 2ca 可导出 2（a +b +c ） 2（ab+bc+ca） x 2 + y 2 = a, y 2 + z 2 = b, z 2 + x 2 = c 代入上式， 3 2+y2） 便得 （x ） 2， 2 3 a2+b2+c2） （a+b+c） 以 （ +（y2+z2）+（z2+x2） 即 6l2 （ （ x2 + y2 + y2 + z2 + z2 + x2 x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 ）2 ， x 2 + y 2 + y 2 + z

11、2 + z 2 + x 2 6l 6 不等式左端即体对角线在相邻三个面上的射影的和 三、解答题（共 74 分） 17证明 若四点 A，B，C，D 不在同一平面内，设 A 点在平面 BCD 内的射影（垂足）为 O，则 AOBC， 又BCAB，BC面 AOB，BCOB； 同理 DCOD BD 但 OB 2 = BO 2 + DO 2 , BD 2 = AB 2 + AD 2 ; < AB, OD < AD, OB 2 + OD 2 < AB 2 + AD 2 , BD 2 BD 2 ，矛盾故四点 A，B， C，D 在同一平面内，即四边形 ABCD 是矩形 18解 （1）过 N 点

12、作 NE/AC 交 BC 于 E，过 M 点作 MF/AC 交 PC 于 F，连结 EF，则平面 MNEF 为平 行于 AC 的平面 ，NE，EF，MF 分别是平面 与平面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交线 （2）NE/AC，MF/AC，NE/MF. 直线 NE 与 MF 共面，NE，EF，MF 分别是平面 MNEF 与平 面 ABC，平面 PBC，平面 PAC 的交线 NE/AC，NE 平面 MNEF，AC/平面 MNEF平面 MNEF 为所求的平面 解 PO平面 XOY，PAO 是灯光 PA 和地面所成的角，从而PAO=60º，AOX=45º。作 ABOY 于

13、 B，AB/OX，故PAB 是灯光与河岸所成的角设 PA=a,则 OA=PAcos60º= 1 2 a,AB=OAsin45º= 2 4 a.在 RtPBA 中 cosPAB= AB 2 = 。 PA 4 5 5 3 ，AB=2AC=2，QA=2- = 。 4 4 4 20证明：取 BC 中点 M，连接 PM，QM，令 AC=1，则 BQ= 2 设直线 a,b,c 都过 L 与平面 的交点 O。在 a,b,c 上分别 A，B，C，使得 OA=OB=OC。在 L 上取一点 P，则 5 3 QC= QA + AC = + 1 = 。QC=QB，QMBC。又PMBC，BC平面 P

14、MQ，BCPQ 4 4 2 1 证明 直线 L 与平面 内的两两相交的直线 a,b,c 所成的角相等，L ，L 与 相交不妨 2 2 POA=POB=POC，POAPOBPOC，则 PA=PB=PC。取 AB，BC 的中点分别为 E，F，则 PEAB， PFBC，且 OEAB，OFBC，又PEOE=E，PFOF=F，AB平面 POE，BC平面 POF.则 LAB，LBC 而 ABBC=B，L 7 P O A E a B b F C c 22证明 A E， A D A F， A D平面 A EF， A DEF （） A D平面 A EF A D 的长为三棱锥 D A EF 的高. A E= A F=1，又 EF = 2 ， （） A D E A F=90°， （）取 EF 中点 G，连 V A EFD = VD AEF