八年级上册数学期末复习：几何常用模型

1、八年级几何模型整理一几种常见的三角形角度模型1.“8”字模型结论：A+D=B+C。模型分析：8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到【例1】如图，线段ABCD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图的图形称之为“字形”。如图，在图的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系_；（2）应用（1）的结果，猜想P与D、B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。2.飞镖模型如图所示角度结论：D=A+B+C。长度结论：AB+AC >BD+CD模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时

2、用到1.如图,BE平分ABD,CF平分ACD,BE、CF交于G,若BDC=140,BGC=110，则A=_.2.如图A70°，点P、O分别是ABC、ACB的三等分线的交点，则OPC_.【例2】（1）如图，在ABC中，A=50°，BP平分ABC，CP平分ACB。求BPC的度数；（2）如图，若BP、CP分别为ABC的外角ABC、ECB的平分线，且A=50°，求BPC的度数；（3）如图，若CP平分ACE，BP是ABC的平分线，A=50°求P。【方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结论：（1）如图，若点P是ABC和ACB的平

3、分线的交点（即三角形两内角平分线相交所成的角），则P90°A；（2）如图，若点P是ABC和外角ACE的平分线的交点（即三角形一内角平分线和一外角平分线相交所成的角），则PA；（3）如图，若点P是CBF和BCE的平分线的交点（即三角形两外角平分线相交所成的角），则P90°A3.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若BON=60，则BM=CN；如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若BON=90，则BM=CN；然后运用类比的思想提出

4、了如下命题：如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若BON=108，则BM=CN；任务要求：(1)请你从,三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索：、如图d,在正n(n3)边形ABCDEF中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)、如图e,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,若BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立。请说明理由。例1如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角A

5、BC 的平分线 BP 交于点 P，若BPC=40°，则CAP= 。2.如图，在凸六边形ABCDEF中，已知ABCDEF，试证明：该六边形必有两条对边是平行的 3.如图所示，六边形ABCDEF中，AD，BE，CF，求证：AFCD4.如图，求1+2+3+4+5+6+7的度数。二角平分线模型模型 1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。结论：PB=PA。模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。模型实例(1

6、).如图，CP、BP分别平分ABC的外角BCM、CBN.求证：点P在BAC的平分线上.模型 2 截取构造对称全等如图，P 是MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：OPBOPA。模型分析:利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在ABC 中，AD 是ABC 的外角平分线，P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较 PB+PC 与 AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图所示， AD 是ABC 的内角

7、平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。 例 1 如图，已知在ABC 中，C=2B，AD 平分BAC 交 BC 于点 D。求证：AB=AC+CD。2.如图，在ABC中，BAC60°，ACB40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线上.求证：BQAQABBP模型 3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MO 的平分线上一点，APOP 于 P 点，延长 AP 于点 B。结论：AOB 是等腰三角形。模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角

8、相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来模型实例如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，A=90°，AB=AC，BD 平分ABC，CEBD，垂足为 E。求证：BD=2CE。模型 4 角平分线+平行线 如图，P 是MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。 结论：POQ 是等腰三角形。模型实例如图所示，在ABC 中，EFBC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分ABC、ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系。三中点模型模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析 如图，AD 是ABC 的中线，延长 AD 至点

9、 E 使 DE=AD，易证：ADCEDB（SAS）。如图，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE=FD，易证：FDBFDC（SAS）。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。模型实例如图，在ABC中，D为BC的中点(1)求证：ABAC>2AD；(2)若AB5，AC3，求AD的取值范围 (1).如图,AD是ABC的中线,E是AC上的一点,BE交AD于F,已知AC=BF,DAC=35,EBC=40，则C=_.(2).已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分 (方法1

10、：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH)(3).已知：如图3，AD是ABC的中线，BAC=ACB，点Q在BC的延长线上，QC=BC，求证：AQ=2AD.(4).如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接BE 并延长 AC 于点 F，AF=EF。求证：AC=BE。四直三角形中点例1.如图，已知AOB90°，OM是AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PCPD. 例2.D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1) 当绕点D转动时，求证DE=DF

11、。(2) 若AB=2，求四边形DECF的面积。1.已知RtABC中，AC=BC，C=90°，D为AB边的中点，EDF=90°，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，, , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明五截长补短如图，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。截长法：如图，在 EF 上截取 EG=AB，再证明GF=CD 即可。补短法：如图，

12、延长 AB 至 H 点，使 BH=CD，再证明 AH=EF 即可。截长补短(1).如图四边形ABCD中，ABAD，BAD60°，BCD120°求证：ACBCDC(2).如图，ABC+BCD=180°，BE、CE 分别平分ABC、BCD。求证：AB+CD=BC。(3).如图，已知ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上一点，连接 AD，E 为 AD 上一点，且满足 AB=AE，连接 BE，交 AC 于点 F.求证：AD=AF+CD(4).已知，AD为ABC的高，点H为AC的垂直平分线与BC的交点，且HCAB 如图1，求证：B2C； 如图2，若AF平分BAC，求证

13、：ACABBF； 在(2)问的条件下，求证：ACFC2DF 六.三垂直全等模型如图，D=BCA=E=90°，BC=AC。结论：RtBCDRtCAE。模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图和图就是我们经常会见到的两种弦图。模型实例1.在ABC中，ACB90°，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于点D，BEMN于点E。（1）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，求证：D

14、E=ADBE；（3）当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不用证明。2.如图，BCA，CACB，C，E，F分别是直线CD上的三点，且BECCFA，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明 3.如图，点C在线段AB上，DAAB，EBAB，FCAB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，AFB=51°，则DFE=七手拉手模型模型分析手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。通常以两个等边三角形、两个等腰直角三角形或两个正方形等图像的形式出现如图，直线 AB 的同一侧作ABD 和BCE

15、都为等边三角形，连接 AE、CD， 二者交点为 H。求证：（1）ABEDBC；（2）AE=DC；（3）DHA=60°；（4）AGBDFB；（5）EGBCFB；（6）连接 GF，GFAC；（7）连接 HB，HB 平分AHC。1、由正多边形的定义知等边三角形的三条边都相等，每个内角都等于60°。如图，ABC、CDE都等边三角形。（1）试确定AE、BD之间的大小关系；（2）若把CDE绕C点按逆时针旋转到图的位置时，上述结论仍成立吗？请说明理由。(2)如图D是ABC外一点ABACBDCD，ABD60°求ACD的度数 (3)如图， ABC 是正三角形，ADC=120

16、6;,求证：BD=AD+CD.(4)如图，点是等边内一点，将绕点按顺时针方向旋转得，连接求证：是等边三角形；当时，试判断的形状，并说明理由；探究：当为多少度时，是等腰三角形？八半角模型如图，已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若EAF=45°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系(1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120°，BADC90°.E，F分别是BC，CD上的点，且EAF60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明1.问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF45°

17、;，试判断BE、EF、FD之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE绕点A逆时针旋转90°至ADG，从而发现EFBE+FD，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，BAD90°，ABAD，B+D180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当EAF与BAD满足 关系时，仍有EFBE+FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD已知ABAD80米，B60°，ADC120°，BAD150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，EAF75°且AEAD，DF40米，现要在E、F之

18、间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：1.41，1.73）构造等腰三角形的常用方法角平分线平行线等腰三角形 角平分线垂线（或高）等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形 将2倍角转化为相等角构造等腰三角形(1).等腰三角形一边上的高等于某边的一半，则它的顶角度数为(2).请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) (3)定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”。请你在图1,图2中用两种不同的方法画出顶角为36的等腰三角形的“三阶等腰线”,并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种).如图3,ABC中,B=36,AD和DE是ABC的“三阶等腰线”,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD