初始条件与边界条件

1、1.2 1.2 初始条件与边界条件初始条件与边界条件特定条件特定条件准确说明对象的初始状态以及边界上的准确说明对象的初始状态以及边界上的约束条件。约束条件。用以说明初始状态的条件称为用以说明初始状态的条件称为“初始条件初始条件”；用以说明边界上约束情况的条件称为用以说明边界上约束情况的条件称为“边界条件边界条件”。偏微分方程偏微分方程特定条件特定条件描述物理现象：描述物理现象：初始条件初始条件弦振动问题弦振动问题：初始条件是指弦在开始振动时刻的：初始条件是指弦在开始振动时刻的位移和速度。如果以位移和速度。如果以 f(x) 和和 g( (x) ) 分别表示弦的分别表示弦的初位移和初速度，则初始条

2、件可以表达为初位移和初速度，则初始条件可以表达为 00|.|ttufxug xt 初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。初始条件用以给出具体物理现象的初始状态。热传导问题热传导问题：初始条件是指开始传热的时刻物体：初始条件是指开始传热的时刻物体温度的分布情况。若以温度的分布情况。若以 f(M) 表示表示 t =0 时物体内时物体内一点一点M的温度，则热传导问题的初始条件可以表的温度，则热传导问题的初始条件可以表示为示为泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态，与时：描述稳恒状态，与时间无关，所以不提初始条件。间无关，所以不提初始条件。 0,|.tu M tf M 不同类型的

3、方程，相应初值条件的个数不同。不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 关于关于t t的的n n阶偏微分方程，要给出阶偏微分方程，要给出n n个初始条件。个初始条件。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而 非系统中个别点的初始状态。非系统中个别点的初始状态。注意：注意：边界条件边界条件边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物边界条件是给出具体物理现象在边界上所处的物理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一理情况。根据边界条件数学表达方式的不同，一般把边界条件分为三类。设般把边界条件分为三类。设 u 是未知函数，是未知函数，S 为边界，则分类如下：

4、为边界，则分类如下：第一类边界条件第一类边界条件：直接给出：直接给出 u 在边界在边界 S 上的值上的值1.Suf 弦振动问题弦振动问题：如果弦的两端是固定的，也就是说：如果弦的两端是固定的，也就是说端点无位移，则其边界条件为端点无位移，则其边界条件为00;0 xx luu 若弦的两端不是固定的，而是按照规律若弦的两端不是固定的，而是按照规律 在运动在运动, ,则其边界条件为则其边界条件为12( ),( )u tu t120( );( )xx luu tuu t 热传导问题热传导问题：当物体与外界接触的表面温度：当物体与外界接触的表面温度 f(M,t) 已知时，其边界条件为已知时，其边界条件为

5、(, )Suf M t 第二类边界条件第二类边界条件：给出：给出 u 沿沿 S 的外法线方向的的外法线方向的方向导数方向导数 2Sufn 弦振动问题弦振动问题：弦的一端（如：弦的一端（如 x=l）可以在垂直）可以在垂直x轴轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为我们称这种端点为“自由端自由端”。在这一端点，边界上的张力沿垂直于在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的轴的方向的分量为分量为0 0，因此在方程的推导中知，因此在方程的推导中知 , , 即即0 xluTx 0 xxlluxun 当该点处的张力沿垂直当该点处的张力

6、沿垂直x轴的方向的分量是轴的方向的分量是 t 的已的已知函数知函数 时，有时，有( ) t ).(tnulx热传导问题热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为即在表面上热量的流速始终为0 0，则由方程推导，则由方程推导过程可知，有边界条件过程可知，有边界条件0 .Sun ,SuM tn 当物体与外界接触的表面当物体与外界接触的表面 S 上各单位面积在单位上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在 S 上有上有 ，这表明温度沿外法线方向的方，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已

7、知的，故边界条件可以表示为向导数是已知的，故边界条件可以表示为dQukdSdtn 第三类边界条件第三类边界条件：给出：给出 u 以及以及 的线性组合的线性组合在边界的值，即在边界的值，即un 3Suufn 弦振动问题弦振动问题：当端点：当端点 x=l 被弹性支撑所支承，设被弹性支撑所支承，设弹性支撑原来位置在弹性支撑原来位置在 u=0，则，则 表示弹性支撑表示弹性支撑的应变。的应变。x lu 由由HookeHooke定律知，在定律知，在 x=l 端张力沿位移方向的分量端张力沿位移方向的分量 应等于应等于 , ,即有即有xlxluTk ux 0,x luux 其中非负常数其中非负常数 k 表示弹

8、性体的倔强系数表示弹性体的倔强系数, ,/.k T 热传导问题热传导问题：如果物体内部通过边界：如果物体内部通过边界S S 与周围的与周围的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的介质有热量交换，这时能测量到物体与接触处的介质的温度介质的温度 。通常情形下，。通常情形下， 与物体在表面与物体在表面S S上上的温度的温度 u 不相同。根据热学中的牛顿实验定律，不相同。根据热学中的牛顿实验定律，物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间物体从一介质流入另一介质的热量与两个介质间的温度差成正比，即的温度差成正比，即 ，其中常，其中常数数 表示两种介质之间的热交换系数。表示两种介质之间的热交换系数。

9、1u1u1()dQh uu dSdt 0h 在物体内部任意取一个无限贴近在物体内部任意取一个无限贴近S S 的闭曲面的闭曲面 ，由于在由于在S S 的内侧热量不能积累，所以在的内侧热量不能积累，所以在 上的热上的热量流速应等于边界量流速应等于边界S S上的热量流速。上的热量流速。 上的热量流上的热量流速为速为 ，其中，其中 k 为热传导系数为热传导系数. . dQukdSdtn 所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件所以当物体与外界有热交换时，相应的边界条件为为1() ,SSukh uun 即即1,SSuuun 其中其中/ .h k 在上面给出的边界条件中，在上面给出的边界条件中， 都是定

10、都是定义在边界义在边界S S上（通常也依赖于上（通常也依赖于t）的已知函数。）的已知函数。当当 时，相应的边界条件称为时，相应的边界条件称为齐齐次次的，否则称为的，否则称为非齐次的非齐次的。 1,2,3ifi 0,1,2,3ifi 注注1注注2 三种边界条件可用一个式子表达：三种边界条件可用一个式子表达：. funuS其中其中0 , 00 , 0 0 , 0第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件1.3 1.3 定解问题的提法定解问题的提法初始条件和边界条件都称为初始条件和边界条件都称为定解条件定解条件。定解问题定解问题是指偏微分方程和相应定解条件的

11、结合体。是指偏微分方程和相应定解条件的结合体。偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为偏微分方程和相应初始条件构成的定解问题称为初初值问题值问题或者或者柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)问题问题。 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 波方程的Cauchy问题由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称由偏微分方程和相应边界条件构成的定解问题称为为边值问题。边值问题。).,(,),( , 0yxfuyxuLaplace方程的边值问题由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成由偏微分方程和相应的初始条件

12、及边界条件构成的定解问题称为的定解问题称为混合问题混合问题。 ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题一个定解问题的一个定解问题的适定性适定性(Well-posedness(Well-posedness) )包含以包含以下几个方面：下几个方面：1 1）解的）解的存在性存在性，即所提的定解问题是否有解；，即所提的定解问题是否有解；3 3）解的）解的稳定性稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，定解条件。也就是说，

13、当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。否则称解是不稳定的。2 2）解的）解的唯一性唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的，即所提的定解问题是否有唯一的解；解；2220,0;22uuaxlttx ,2 2lll0例例 设弦的两端固定于设弦的两端固定于x=0 和和x=l，弦的初始位移，弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。解：解：,02,000,2lxxuutlttlxxl 0;0uuxxl21110nnnikiikiikiuuABcufx xx fFuyuExuDyuCyxuBxuA 222222一般二阶线性偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 线性方程的叠加原理线性方程的叠加原理称形如021222221222112xxBcybxbyayxaxaL的符号为微分算子。 021222221222112xxuuBcyubxubyuayxuaxuauL二阶偏微分方程fcuyubxubyuayxuaxua