力矩转动定律转动惯量

1、4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版1PzOFrdsinFrFdM : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M用来描述力对刚体的转动作用用来描述力对刚体的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF*矢量叉乘矢量叉乘 参见参见 P3394- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版2讨论讨论（1）合外力矩等于各外力分力矩的矢量和合外力矩等于各外力分力矩的矢量和321MMMMOr1r2F22F11F33r3332211FrFrFrM333222111sinsinsinrFrFrFM4-

2、-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版3O（2）刚体的合内力矩刚体的合内力矩1r2r2121Fd12F21M12M刚体内所用力与反刚体内所用力与反作用力互相作用力互相抵消，抵消，即即刚体内合内力矩刚体内合内力矩为零为零0sinsin1221111222211221dFdFrFrFMMMjiijFF质点间内力作用力和反作用力质点间内力作用力和反作用力（3）由由(1)(2) 合力矩合力矩= =合外力矩合外力矩eMM 4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版4Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFFttsinM（

3、1）刚体上的一个质点）刚体上的一个质点m 绕绕定轴转动定轴转动2tmrrFM（2）刚体）刚体OzjmjrjFejFi2jjjjrmMMie质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版52jjjjjjjrmMMMie0jijM)rmMjjj2(2jjjjrmMMie外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi其中其中 只与刚体的形状、质量分布及转轴位置有关，只与刚体的形状、质量分布及转轴位置有关，即只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫即只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置

4、有关，叫做做转动惯量，转动惯量，J表示。表示。对于绕定轴转动的刚体，对于绕定轴转动的刚体，J为恒量为恒量2iirm4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版6刚体刚体定轴定轴转动的角加速度与它所受的转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正比，与刚体的比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjj2(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrJd2定轴转动定律定轴转动定律解决质点运动问题的基本定律：牛顿第二定律解决质点运动问题的基本定律：牛顿第二定律解决刚体定轴转动问题的基本定律：转动定律解决刚体定轴

5、转动问题的基本定律：转动定律JMamF4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版7讨论讨论转动定律转动定律JM （4 4）J J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。 （3 3）J 和质量分布有关；和质量分布有关；（2 2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；的力矩为正；惯性惯性大小的量度；大小的量度； 转动惯量转动惯量J是是转动转动（1 1） M 一定，一定，JmrrmJjjjd224- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第

6、五版第五版8三转动惯量三转动惯量理论计算理论计算（分立）2iirm（连连续续） dmr2 2单位：单位：kg m2 Jv 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版9刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关有关（2）与刚体的几何形状与刚体的几何形状有关有关说说

7、 明明4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版10求一质量为求一质量为 m，长为，长为l 的均匀细棒的转动惯量。的均匀细棒的转动惯量。 （1 1）轴通过棒的一端并与棒垂直。）轴通过棒的一端并与棒垂直。（2 2）轴通过棒的中心并与棒垂直；）轴通过棒的中心并与棒垂直；oxzdxdmxABL/2L/2Cx解解:dxLMdm dmxdJ2dxxLM2dxLMxJLL212122121MLdxLMxJL02231ML4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版11Lm细棒细棒231mLJ 细棒细棒2121mLJ 薄圆环薄圆环2mRJ 圆柱体

8、圆柱体221mRJ Rm球体球体252mRJ 7mLRmRm圆筒圆筒)(212221RRmJ4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版122mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为m的刚体的刚体，如果对其如果对其质心轴的转动惯量为质心轴的转动惯量为JC，则对任则对任一与该轴平行一与该轴平行，相距为相距为d的转轴的转轴的转动惯量的转动惯量dCOm2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量PRmO4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版13质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的J2

9、231)2(mLLmJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O22mdJJCO( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) , 与与M方向相同方向相同 JM 说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版14例例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水平面上，和一质量静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆的圆柱形滑轮柱形滑轮C，并系在另一质量为，并

10、系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖直悬竖直悬挂挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计略去不计( (1) )两物体的线两物体的线加速度为多少加速度为多少?水平和竖直水平和竖直两段绳索的张力各为多少两段绳索的张力各为多少?( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距离从静止落下距离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少? ?ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmaaat=a4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版15amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT

11、2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力别对各物体作受力分析，取如图所示分析，取如图所示坐标系坐标系4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版16如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF)(20202yyavvt4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版17例例3一长为一长为 l 、质量为质量为 m 匀质细匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度角时的角加速度和角速度m,lOmg4- -2力矩转动定律转动惯量力矩转动