量子力学习题解答-第3章

1、第三章形式理论本章主要内容概要：1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 或者用狄拉克符号，其中为任意满足平方可积条件的函数（在，为零）。厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不

2、确定原理 2. 广义统计诠释 设力学量具有分离谱的正交归一本征函数系本征值为，即 或 这个本征函数系是完备的，即（恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以用这个本征函数系展开 或展开系数为 若是归一化的，也是归一化的，。广义统计诠释指出，对态测量力学量，得到的可能结果必是本征值中的一个，得到几率为。对系综测量力学量（具有大量相同态系综中的每一个进行测量）所得的平均值（期待值）为 这与用计算方法等价。 如果力学量具有连续谱的本征函数系 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为 或由于连续变化的，展开系数是的函数可以表示为，其归一化表示为。广义统计诠释指出，对态测量力学量，得到结果处于到之间的几率为

3、，即是几率密度。3.表象理论 对任意一个物理态可以用一个力学量的本征态展开，比如若用坐标的本征态（连续谱） ， 则展开系数称为坐标表象的波函数。我们可在坐标表象用波函数来研究这个态。若用动量的本征态，则有 展开系数称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数来研究这个态。的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。当力学量的本征态为分立谱时， 在表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展开系数可表示为一列矩阵，算符表示为一个方矩阵 波函数的归一化表示为的平均值表示为 的本征方程表示为 解久期方程 可以得到本征值，把某一个本征值代入本征方程可以的到对应这

4、个本征值的本征函数。习题3.1：（a） 证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间（参考A.1节中的定义）。提示：要点是证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用3.7式。全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？（b） 证明3.6式中的积分满足内积条件（A.2节）。证明：（a）我们需要证明两个平方可积函数之和也是平方可积的。设为为区域上的任意两个平方可积函数，即。设 则有，其中。由Schwarz不等式，若皆平方可积，则。因此，。即也是平方可积函数，因此特定区域上的全体平方可积函数构成矢量空间。很容易证明全体可归一化函数不构成一个矢量空间：设为任一可归一化函数，由于亦是可归一化函数，但不可归一化，另

5、外，但是，也不是归一化的，因此全体可归一化函数不构成一个矢量空间。（b） 对于不同的条件有不同的矢量内积定义，本题所指是通常意义下的线性空间两矢量内积，即内积满足如下条件：1. ；2. ；3. ；4. 是实数，且，仅当等号成立。由3.6式定义的内积 可验证： 1. 2. 3. 4. ，为实数，等号仅当成立。所以关于内积的四个条件都成立。习题3.2：（a） 范围取什么值时，函数（）是在希尔伯特空间中？假设是实数，但不必是正数。（b） 对于特定情况，在希尔伯特空间吗？呢？呢？解：（a），由于为实数，因此显然（1）时，；（2）时，；（3）时，。综上知，若要使处于Hilbert空间中，必有即。（b）由

6、（a）知，处于Hilbert空间中的条件为，所以当时， ，因此，、在Hilbert空间中，不在。*习题3.3 证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数都有 ，那么，对于所有的和就有（即，两种对于厄密算符的定义等式3.16和3.17是等价的）。提示：首先设，然后令。证明：若对于Hilbert空间中任意函数，都有，设，其中是一任意常数（复数）我们有上式对任意常数都成立， 分别取，有 两式相加得到所要结果 。习题3.4（a） 证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。（b） 假设是厄密的，是一个复数。在什么条件下（的）也是厄密的？（c） 在什么条件下两个厄密算符的积也是厄密的？ （d） 证明坐标算符（）和哈

7、密顿算符（）是厄密算符。证明：（a）设是两个厄密算符，则对任意函数有，又，故仍是厄密算符。（b）两式相等， 必须为实数。所以当为实数时也是厄密的。（c）设是厄密算符，则有 如果是厄米的，必须有 即，即两厄密算符在对易的条件下，其积才是厄密的。（d）证：，中间两步利用了在时，以及势能是实函数的条件。所以我们有， 即都为厄密算符。习题3.5 算符的厄密共轭算符（伴算符）是算符，有 （对所有的和）. （所以一个厄密算符与它的厄密共轭算符相等：。）（a）给出，和的厄密共轭算符。（b）构建谐振子的升阶算符（等式2.47）的厄密共轭算符。（c）证明。解：（a）由上题知，为厄密算符，所以。由于，所以。所以。

8、（b），是厄米算符，（与任何算符都是对易的），所以 （c）设，为任意函数，则，又，与上式比较知。（注意算符的次序变化）推广 习题3.6考虑算符，其中是极坐标中的方位角（同例3.1），并且函数同样遵从3.26式。是厄密算符吗？求出它的本征函数和本征值。的谱是什么？这个谱是简并吗？解： ，所以是厄密算符。以上证明中利用了周期条件，。的本征方程为，解为 由周期性条件，得到或者因此本征值为 给定一个，有两个本征函数（）它们的本征值一样，所以是二重简并的（除外）。如果让取负值，本征函数可以表示为 习题3.7（a） 假设和是算符的两个具有相同的本征值的本征函数。证明任何和 的线性迭加也是与具有相同本征值的

9、本征函数。（b） 验证与是算符具有相同的本征值的两个本征 函数。构造两个的和的线性的组合，使它们在（-1，1）范围内是正交的。（a）证：依题意有。设，其中为任意常数（复数），则有。（b）。因此，是算符属于本征值1的两个本征函数。可由对称化和反对称化来构造正交的本征函数 显然它们是正交的，因为一个是偶函数，一个是奇函数。习题3.8（a） 验证例题3.1中厄密算符的本征值是实数。证明（具有不同本征值的）本征函数是正交的。（b） 对习题3.6中的算符做同样的验证。解：（a）例题3.1中的厄密算符和本征函数为 本征值（分立谱）显然本征值是实数。对任意两个本征函数 有（b）题3.6中的算符和本征函数为

10、本征值为（二重简并），显然本征值为实数。 所以算符具有不同本征值的本征函数是正交的。（在情况下，两个态的本征值一样，但是它们也是正交的）习题3.9(a)从第二章中列举一个仅具有分立谱线的哈密顿（谐振子除外）。(b)从第二章中列举一个仅具有连续谱的哈密顿（自由粒子除外）。(c)从第二章中列举一个既具有分立谱又具有连续谱的哈密顿（有限深方势阱除外）。解：易知（a）（b）（c）的答案分别为：无限深方势阱，函数势垒，函数势阱。习题3.10 无限深方势阱的基态是动量的本征函数吗？如果是，它的动量是什么？如果不是，为什么不是？解：无限深方势阱的基态为，动量算符，由于，由于 所以不是动量的本征函数。（对无限

11、深方势阱的能量本征函数，它是向右传播的平面波和向左传播的平面波的叠加，两个波的动量数值一样（），但是符号相反，所以不是动量的本征函数，但是动量平方算符的本征函数。）习题3.11 对谐振子的基态，求出其动量空间的波函数。测量该状态的动量，发现其结果处于经典范围（具有相同能量）之外的几率是多大（精确到两位数）？提示：数值计算部分可查阅数学手册中“正态分布”或“误差函数”部分，或者使用Mathematic软件。解：谐振子基态在坐标空间中的波函数,则动量空间的波函数为，经典范围为 所以发现粒子动量在经典动量以外的几率为 令 查正态分布表 所以 习题3.12 证明 提示：注意到。则，在动量空间，坐标算符

12、则可表示为。更普遍的有 原则上，可以像在坐标空间一样在动量空间进行所有的计算（当然并不总是很简便）。证明：由我们有 *习题3.13(a) 证明下列的对易关系等式： (b) 证明 (c）对任意函数，更一般的证明 证明：（a）可知左边，右边，左边右边，故有。（b）利用数学归纳法证明：（1）时，有，显然成立。（2）假设时成立，即有。（3）时，有，利用（a）中结论，则有因为，所以。即时也成立。所以。（c）取任意波函数，则有，由于是任意函数，所以有。*习题3.14 证明著名的 “（名副其实的）不确定原理”联系着坐标（）的不确定性和能量（）的不确定性： 对于定态这个并不能告诉你更多¾为什么？证：

13、由两个算符之间的不确定关系，对坐标和哈密顿算符有，由于，所以有。对于定态，我们已经知道（能量有确定值），。上式显然成立，因此我们无法从中再获取新的信息。习题3.15 证明两个非对易算符不能拥有共同的完备本征函数系.提示：证明如果和拥有共同的完备本征函数系,则对于希耳伯特空间的任意函数有.证明:假设和（即：是和的共同本征方程），并且函数集是完备的，因此任意（Hilbert空间中的）函数都能表示成线性叠加 ，那么有因为上式对任意的都成立，所以得到，这显然与所给条件矛盾，所以两个非对易算符不能具有共同的完备本征函数系。习题3.16 求3.67式所给方程 的解。注意和都是实常数。解: 习题 3.17

14、在下面的具体例子中应用公式：（a）=1；（b）；（c）；（d）。在每种情况下，解释结果，特别是参考公式1.27，1.33，1.38和能量守恒（2.39式后的评注）。解：（a）上式表明波函数的归一化不随时间改变.（b）当中不显含时间时得到: 此即能量守恒.(c) (d) 这就是Ehrenfest定理， 量子力学中的牛顿运动方程。习题3.18对习题2.5中的波函数和可观测量通过计算和来验证能量-时间不确定原理。解： 习题2.5中的一维无限深势阱（）的定态叠加波函数为 , 而 由习题2.4知 所以从习题2.5知所以能量时间不确定原理(3.72式)给出 估算一下两边大小 ; 显然满足能量时间不确定原理

15、。习题3.19对习题2.43中的自由粒子波包和力学量通过计算和来验证能量-时间不确定原理。解：由习题2.43，对题给的自由粒子波包，我们有 ， 为了得到我们需要计算。对自由粒子， 所以其中由习题2.43所以 所以题给的自由粒子波包满足能量时间不确定原理。习题3.20 证明当问题中的可观测量为时，能量-时间不确定原理还原为“名副其实”的不确定原理（习题3.14）。证：当 时，能量-时间不确定原理为，但是 ,所以 ，再由得到“名副其实”的不确定原理，习题3.21 证明投影算符是等幂的：。求出本征值，描述它的本征矢量。证：设任意态矢量，有所以 注意: 说两个算符相等是指这两个算符对于任意矢量作用结果

16、相同如果是的属于本征值的本征矢量,那么有， 所以 因此的本征值是， 任何一个含有态的矢量是的属于本征值1的本征矢，任何与正交的本征矢是的属于本征值0的本征矢。习题3.22 考虑由正交归一基，张成的三维矢量空间。右矢和由下式给定，。（a） 给出和（以对偶基表示的）。（b） 求出和并证实。（c） 在这个基中，求出算符里的9个矩阵元，并写出矩阵。它是厄密矩阵么？解：（a） ; （b） （c） 显然它不是厄密矩阵。习题3.23一个两-能级体系的哈密顿为：，这里，是正交归一基，是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本征矢（用和的线性迭加）。相应于这个基表示的矩阵是什么？解：相应于这个基表示的矩

17、阵的矩阵元是 本征方程为 久期方程为 把代入本征方程，有 归一化（得到时不计一任意相因子），所以对应的本征态为 同理把代入本征方程，有 归一化所以对应的本征态为 习题3.24 设算符有一组完备的正交归一本征矢： 证明可以被写成谱分解形式：提示：一个算符是通过它对所有可能矢量的作用来表征的，因此你需要证明的是，对于任意矢量来说，有：证：设为一任意态矢量，它可以用展开为，所以有习题3.25 勒让德多项式。用格拉姆施密特方法（习题A.4）在区间里来正交归一化函数1，, , 。你可能会认出这些结果(除了归一化外)它们是勒让德多项式（表4.1）。设 它与及正交，归一化设它与，及正交，归一化这样我们构造出

18、了四个相互正交且归一的（在区间）的函数。习题3.26 一个反厄密算符等于它的负的厄密共轭： （a） 证明一个反厄密算符的期望值是个虚数。（b） 证明两个厄密算符的对易子是反厄密的。那么两个反厄密算符的对易子如何？证：（a）所以是个虚数（b）由，所以如果那么如果那么所以在两种情况下对易子都是反厄密的。习题3.27 连续测量。一个算符表示可观测量，它的两个归一化本征态是和，分别对应本征值和。算符表示可观测量，它的两个归一化本征态是和，分别对应本征值和。两组本征态之间有关系： （a） 测量可观测量，所得结果为。那么在测量之后（瞬时）体系处在什么态？（b） 如果现在再测量，可能的结果是什么？它们出现的

19、几率是多少？（c） 在恰好测出之后，再次测量。那么结果为的几率是多少？（注意如果我已经告诉你测量所得结果，对不同的测量所得结果，本问的答案将是不同的。）解： （a）当对体系测量得到 时，体系的波函数会坍塌为本征值为的本征态，所以在测量之后（瞬时）体系在态。（b）由是的本征态和的线性叠加，当对态测量时，可能得到或者，得到 的几率为9/25,得到的几率为16/25.（c）如果在测量时得到的结果是，则波函数坍塌到态（几率为9/25），由 可以解出，所以再测量时，得到的几率为9/25。同理，如果在测量得到的是，则波函数坍塌到态(几率为16/25) 所以再测量时得到的几率为16/25。所以在测量,再测量

20、得到的几率为 *习题3.28 对无限深方势阱第定态求其动量空间的波函数。作为的函数，画出和（特别注意点）。用来计算的期望值。并把答案和习题2.4比较。解：一维无限深方势阱的定态波函数为动量空间的波函数由下式得出所以注意到 所以对有当时，上式的分母为零，但是分子也为零，所以在这些点波函数不会出现奇异行为。波函数的模平方图如下： 式中 由因式分解公式 对为奇数情况 对为偶数情况所以在两种情况下都有 （第二项积分由于被积函数是奇函数为零）所以 这与用坐标空间的定态波函数由公式 计算的结果是一样的（当然它们也必须一样）。习题3.29 考虑下面的波函数：这里是某个正整数。这个函数在区间上是纯正弦的（波长

21、为），但是它的动量仍然有一个分布范围，因为振荡没有伸展到无限远处。求出动量空间波函数，画出和，求出峰宽和 （主峰两边零点之间的宽度）。并考虑当时每一个宽度会怎样, 用和来估计和，验证不确定原理是否满足。提醒：如果你尝试计算，你将会很意外。你能够分析问题所在么？解： 它们的图形如下 的宽度为。的最大值在处（注意此处分母为零，但是分子也为零），这个最大值两侧的零点出现在处，所以。当，。在这个极限下，粒子有比较确定的动量，但是坐标非常不确定。 满足不确定原理。 如果我们试图计算，我们发现，但是 出现这个问题的根源在于波函数在端点是不连续的，这导致在端点产生函数，而是函数模平方的积分，结果为无限大。一

22、般来讲，如果想要有限，波函数必须连续。习题3.30 假设：式中和是常数。（a） 归一化，确定的值。（b） 求出，和（在时刻）。（c） 求出动量空间的波函数，并验证它是归一化的。（d） 用来计算，和（在时刻）。（e） 对这个态的验证不确定原理。解：（a） 所以（b） （被积函数是奇函数） 所以 （c）动量空间的而波函数为 验证归一化 （d） 所以 （e） 满足不确定原理*问题3.31 维里Virial定理。利用3.71式证明： 式中是动能（）。对定态上式的左边为是0（为什么？）所以有： 这称为维里定理。用它来证明对谐振子的定态有，并验证这与你在习题2.11和2.12里得到的结果是一致的。解：由力

23、学量期待值随时间演化的公式 算符不显含时间，所以 对于定态，所有力学量（不显含时间）的期待值都不随时间变化，即 ， 所以。对于谐振子，所以由于 所以对谐振子定态有习题3.32在一个关于能量-时间不确定原理的有趣版本里，这里是演变为与相正交的态所需要的时间。用某个（任意的）势的两个（正交归一的）定态波函数的均匀迭加：，验证这个结论。解：对应的时间 是两个波函数第一次正交的时间，定义时间的不确定为 而 所以 从而有 我们得到了所谓的能量-时间不确定原理。*习题3.33 以谐振子（正交归一的）定态为基，求矩阵元和。你已在习题2.12里计算过对角元素（）；用同样方法计算更一般的情况。构造出相应的（无限

24、）矩阵，X和P。证明在这个基中是对角的。你预期它的对角元素是什么？部分答案如下： 解：利用产生和湮灭算符以及 所以在占有数表象（能量本征态表象）坐标与动量的矩阵为由此得到 所以 由此，我们可以看出哈密顿算符在它自己的表象中是对角矩阵的（也必须是），对角元素为是谐振子的能量本征值。习题3.34 一个谐振子处于这样的态，当对其测量能量时所得结果必是或 其中之一，并且得到两者的几率相等。在此态中，的可能的最大值是多少呢？如果假设在时刻为这个可能的最大值， 是什么？解：由题意波函数为 并且 ， 为实数所以 可能的最大值为，若时刻为最大值，则，取，取，则这样 *习题3.35 谐振子的相干态。在谐振子定态

25、中（，2.67式）仅的态符合不确定原理的极限（）；一般情况下，如你在习题2.12求出的那样。但是某些线性迭加（所谓的相干态）也会减小不确定原理中的积。它们是降阶算符的本征函数：（这里本征值可以是任何复数）。（a） 对态计算，。提示：利用例题2.5中的方法，并记住是的厄密共轭。不要假定是实数。（b） 求出和；证明。（c） 像其它的波函数一样，相干态可以用能量本征态展开：证明展开系数是：（d） 由归一化确定。答案：。（e） 现在加入时间因子： 证明仍然是的本征态，但是本征值随时间变化：。因此一个相干态维持相干，并继续减小不确定原理中的积。（f） 基态（）本身是相干态吗？如果是，它的本征值是什么？

26、解：（a） 因为是的厄密共轭，所以有 （b）（c）由 所以 （d） 归一化：所以 （不考虑任意相因子）（e）所以，仍然是的本征态，其本征值为（f） 因为，所以基态是的本征值为0的本征态，所以是相干态。 习题3.36扩展的不确定原理。广义不确定原理（3.62式）指出：其中。（）证明它可以扩展为 3.99其中。提示：保留3.60式中的实部项。（）当时验证3.99（在这种情况下标准的不确定原理是平庸的，因为；遗憾的是扩展的不确定原理也没多少帮助）。解：（a）由3.59式 和得：（a） 当时，习题3.37 某个三-能级体系的哈密顿的矩阵表示为其中，和都是实数。（a） 如果体系的初始态是求 （b）如果初始态是