球的体积和表面积

1、 1.3.2球的体积和表面积一. 教学目标1.知识与技能通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割一一求和一一化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。培养学生的空间思维能力和空间想象能力。2.过程与方法4通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式- n R3和面3积公式 S = 4n R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积” 的方法，体现了极限思想。3.情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间 思维能力和空间想象能力，增强

2、了我们探索问题和解决问题的信心。二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。三. 学法和教学用具1.学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。2.教学用具：投影仪四. 教学设计（一） 创设情景教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 激发学生推导球的体积和面积公式。（二）

3、探究新知1.球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积 也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可 以按“分割一一求和一一化为准确和”的方法来进行。步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径 OA 作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小R圆片”，“小圆片”厚度近似为R，底面是“小圆片”的底面。n如图：得Vi2R rinR31n)2 n(i1、2n)第二步:求和V半球=:V1V2VVnR31(1 Ti)(2打6

4、第三步:化为准确的和当nis 时，110（同学们讨论得出）所以V半球=R3(11R343得到定理：半径是 R的球的体积V球R333练习：一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径（钢的密度是 7.9g/cm ）2 .球的表面积：球的表面积是球的表面大小的度量，它也是球半径 R 的函数，由于球面是不可展的曲 面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式，所以仍然用“分害 V、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。思考：推导过程是以什么量作为等量变 _半径为 R 的球的表面积为S = 4n R练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别3 5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 _。（答案 50 元）（三） 典例分析课本 P47例 4 和 P29例 5（四） 巩固深化、反馈矫正正方形的内切球和外接球的体积的比为 _ ，表面积比为 _ 。（答案：3.3:1;3 : 1）在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49 n cmf 和 400n cmf,求球的表面积。（答案：2500 n cm?）分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性 质求球的半径（五） 课堂小结本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及