有趣的追及问题

1、有趣的追及问题K数学广角R同学们，龟兔赛跑的故事一定听说过吧，实际上龟兔赛跑是 行程问题中的另一种情况，它是一种同向行程问题，我们把它叫 做追及问题。两个运动物体同向前进，有一个运动物体速度较快，另一个 运动物体速度较慢。如果慢的走在前，快的就能追上慢的，这就 产生了追及问题。求追及时间的关系式是：追及时间=追及距离+ 速度差。K智慧密码R例1小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸发现 小明忘带了书包骑自行车去追，每分行 375米，爸爸出发多少分 后能追上小明分析画出线段图。小朋I-每分乃来甚 |每分375米小明上学离家走了 12分后，他爸爸才去追，由于爸爸速度比较 快，最后一定会

2、追上小明。算术方法：从图中，可以看出，当爸爸出发时，小明已经行了 75X 12 = 900米，这实际上就是爸爸追小明的路程即路程差，而每经过1分，爸爸要追上小明375 75= 300米，这实际上就是速度差， 因此爸爸要追上小明，只要看这 900米里包含有几个300米，就 是爸爸追上小明需要几分。解爸爸出发距小明的米数 75X 12= 900 （米）爸爸每分钟比小明多行的米数 37575 = 300 （米）爸爸出发后追上小明的时间 900+ 300= 3 （分）追及问题的基本关系式：路程差=速度差 如及时间速度差=路程差 及时间 追及时间=路程差 到（度差方程方法：用方程思想来解决这一类问题，关

3、键之处是要找到等 量关系，观察线段图即可发现在爸爸追上小明的时刻，小明和爸 爸所行的路程相等。解：设爸爸x分钟可以追上小明。75 X 12 + 75x = 375x375x - 75x = 900300x= 900X = 3答：爸爸3分钟可以追上小明。多长时间追上环行路上的行程问题，有着它独特的方面，由 于环行的道路是封闭的，因此，环行路上的运动，计算行程时， 通常与环行道路的周长有关。例2 在400米的环行跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两 人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。求甲 追上乙需要多少秒分析：这道

4、题初看时，由于他们每人跑 100米，都要停10 秒钟。似乎不太好解决。但如果将二人看成不停的跑，就很容易 算出甲追上乙的时间，这时再考虑在这期间所停留的时间，问题 的解决就比较简单了。解答：如果甲、乙不停的跑步，甲追上乙共需：100+ （54） =100 （秒）,甲在100秒中共跑：5X100=500 （米）,而甲在 跑100米、200米、300米、400米时共停留了 4次，到了 500 米处恰好追上乙。不必计算停留的时间。所以，甲追上乙所需的 时间是：100 + 4X10=140 （秒）说明：甲跑到500米处时，正好是乙跑完400米，并且休息 完10秒时。当甲跑到时，乙恰好要出发，他们两个在

5、这一瞬间 正好相遇。例3如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点 A,小明 在点B,他们同时出发，反向而行。他们在 C点第一次相遇，C 点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求这 个圆的周长分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两 人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起 来走了一圈半。也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是 第一次相遇时合起来所走路程的 3倍，因此，不难看出AD的距 离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了。解答：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍。AD=AC X3=100X 3=300 （米）半个圆的周长

6、：300-80=220 （米）整个圆的周长：220X2=440 （米）说明：这道题还可以从另一个角度进行考虑。由于 C到D两 人共走了一个圆周，由A、B到C两人共走了半个圆周，所以， CD的长度是AC长度的2倍。因此，同样可以判断出 AD的距离 是AC距离的3倍。例4如图，沿边长为90米的正方形，按逆时针的方向，甲 从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙 第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上AD甲BC分析：这是一道环行追及问题，这类问题可以先看成“直线” 的追及问题，求出乙追上甲所用的时间，再回到环行路上的追及 问题，根据乙这段时间所走的路程，推算出应在正方形的哪一条 边上

7、。解答：先求追上甲时乙所用的时间：27090X3+ (7265) = 7(分)再求这段时间乙所走的路程：27012777二一72X 7 =7 (米)由于，正方形每边长90米，因此:112777 -777 = (4X7 + 2) X 90+7这样不难看出，乙走的比7圈零两条边还多哈米，所以,当乙第一次追上甲时，甲和乙应在正方形的 AD边上。说明：如何将直线上的追及问题，与环行道路的特点相结合, 是这道题得以解决的关键。K牛刀小试31、一辆面包车的速度是每小时60千米，在面包车开出30分钟 后，一辆小轿车以每小时84千米的速度从同一地点出发沿着 同一行驶路线去追赶面包车，多少时间后追上2、姐姐步行

8、的速度是每分钟 75米，妹妹步行的速度是每分钟 65米，在妹妹先出发20分钟后姐姐去追赶妹妹，问姐姐多少 分钟后追上妹妹这时离出发地多少米3、实验小学组织学生排队步行去郊游，步行速度是每秒1米，排头的王老师以每秒米的速度赶到排尾，然后立即返回排头，共用10分钟，求队伍的长度。4、兄妹两人同时从家出发去1080米远的学校上学，哥哥骑车每 分钟走360米，妹妹步行每分钟走 60米，哥哥到校门口时，发 现忘带课本，立即原路返回，问哥哥再次由家出发在离学校多远 处追上妹妹5、有甲、乙、丙三辆汽车，各以一定的速度从 A地开往B地。 乙比内晚出发10分钟，经40分钟追上丙；甲比乙晚出发 20分钟，经50分

9、钟追上乙，那么甲出发后多长时间追上内K俱乐部R陈景润不爱玩公园，不爱逛马路，就爱学习。学习起来，常 常忘记了吃饭睡觉。有一天，陈景润吃中饭的时候，摸摸脑袋，哎呀，头发 太长了，应该快去理一理，要不，人家看见了，还当他是个姑娘 呢。于是，他放下饭碗，就跑到理发店去了。理发店里人很多，大家挨着次序理发。陈景润拿的牌子 是三十八号的小牌子。他想：轮到我还早着哩。时间是多么宝贵 啊，我可不能白白浪费掉。他赶忙走出理发店，找了个安静的地 方坐下来，然后从口袋里掏出个小本子，背起外文生字来。他背 了一会，忽然想起上午读外文的时候，有个地方没看懂。不懂的 东西，一定要把它弄懂，这是陈景润的脾气。他看了看手表，才 十二点半。他想：先到图书馆去查一查，再回来理发还来得及， 站起来就走了。谁知道，他走了不多久，就轮到他理发了。理发 员叔叔大声地叫： 三十八号！谁是三十八号快来理发！ ”你想想, 陈景润正在图书馆里看书，他能听见理发员叔叔喊三十八号吗过了