最新武汉大学数值分析

1、1 .填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1 .设有节点X0, Xi,X2,其对应的函数y = f（x）的值分别为y0,y1,y2,则二次拉格朗日插值基函数10（X）为 02 .设f （x ）=x2 ,则f （x ）关于节点Xo = 0 ,Xi = 1% =的二阶向前差分 为 o1-1023 .设 A = -1 1 -1 , x = 3 ,则（A|b, |X|1 0一。-1 1 J4 . n+1个节点的高斯求积公式的代数精确度为。2 .简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1 .哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2 .什么是不动点迭代法？ （x ）满足

2、什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于平（x ）的不动点？3 .设n阶矩阵A具有n个特征值且满足 之同 却以%| ,请简单说明 求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。3 .求一个次数不高于3的多项式F3（x）,满足下列插值条件：Xi123y2412y3并估计误差。（10分）1 1四.试用n =1,2,4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分I =1,dx0（10分）01 x五.用Newton法求f （x） =x-cosx =0的近似解。（10分）六.试用Doolittle分解法求解方程组：25- 6 为 1 041 3 - 1 q |= 1 9 （10 分）-6 -3 - 6jLX3

3、3020x1 2x2 3x3 = 247 .请写出雅可比迭代法求解线性方程组'X+8X2+X3=12的迭代格式，并t2x1 -3x2 15x3 =30判断其是否收敛？ （ 10分）8 .就初值问题（ y'=，y考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）,y（0） = y°数值分析（A）卷标准答案（2009 2010 1）1 . 填空题（每小题3分，共12分）1. l0（x）=（x-Xl）（x-x2）, 2.7 ; 3. 3 , 8; 4. 2n+1。（X0 - x1 ）（x0 - x2）2 .简答题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分）1 .解：系数矩阵为对称正定的方程

4、组可用平方根法。（4分）对于对称正定阵 A,从备=£ ；可知对任意k < i有|lik |eJ£。即L的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。（4分）*2 .斛：（1）右x =9（x ）,则称x为函数中（x）的不动点。（2分）（2）邛（x ）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于9（x）的不动点：1）中（x ）是在其定义域内是连续函数；（2分）2）5（x ）的值域是定义域的子集；（2分）3）中（x/其定义域内满足李普希兹条件。（2分）3 .解：参照哥法求解主特征值的流程（8分）步1:输入矩阵A,初始向量v0,误差限&最大迭代次数

5、 N;步 2:置 k:=1,:=0 , u0=v0/|v0|0°步 3:计算 vk=Auk-1;”4,计算!卜喀并置 mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5:若|mk- |< 号计算，输出 mk,uk;否则，转6;步6:若k<N,置k:=k+1, :=mk,转3;否则输出计算失败信息，停止解：(1)利用插值法加待定系数法：、E.I,一 2、仅 p2 (x )满足 p2 (1 ) = 2, p2 (2 ) = 4, P2 (3 )=12,则 p2 (x )= 3x 7x + 6, (3 分)再设 p3 x = p2 x K x-1 x -2 x -3K =2p3 x =

6、 2x3 -9x2 15x -6 &(x)=4；f(4KXx-1Xx-2)2(x-3)1四.解：应用梯形公式得1ft：|1 =；f (0 )+ f (1 )1= 0.7511应用辛普森公式得：I七I2 = f (0)+4f I1 +f(1) L J0 0.69444444应用科特斯公式得：（3分）（1分）（1分）（2分）（2分）（1分）（2分）（1分）I 球 I4 =1,7f (0)+32f (1+ 12f e+32f f3+7f (1 J (2 分) 90 _424= 0.6931746（2 分）五.解：由零点定理， x cosx = 0在（0,三）内有根。（2分）2由牛顿迭代格式x

7、n+=xn -x1 -C0Sxn n = 0,1,（4分）n n1 Sin xn冗取x0 =一得, 4x1 =0.73936133; x2 =0.739085178(3分)x3 =0.739085133 %=0.739085133一 * _ _故取 x ： x4 =0.73908513311分)六.解：对系数矩阵做三角分解:一25-6一10°】U1U12U13 1413-19=l 2110 1U22U23-3-6 1l31l321 JU33 -（2分）（4分）（2分）（2分）若 Ly =b,则 =10, y = 一1,y3 =4 ； 若Ux =y ,则 x = （3,2,1）T七.解

8、：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为00.5-0.5B =-10-1（2 分）：0.50.50j其特征多项式为det（AI B）=九（九2 +1.25）,且特征值为% =0,% =125i,=->125i（2 分）故有P（B ）=1.25>1 ,因而雅可比迭代法不收敛。（1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel迭代法迭代矩阵为00.5-0.5B = 0 -0.5 -0.5（2 分）：00-0.5 J其特征值为，1 =0, % = % = 0.5（2分）故有P（B ） = 0.5<1 ,因而雅可比迭代法收敛。（1分）八.证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1.证：该问题的精确解为 y（x） = yoe/x（2分）欧拉公式为yi书=y +h九yi = （1 +九h） yi（2分）对任意固定的 x=Xj=ih,有 yi = yo（1 + 九h）x/h = yo（1 + 儿h）"为d ,（2分）则 yoe'Xi = y（Xi）（1 分）2.证：牛顿迭