2023届北京市顺义区高三二模数学试卷

高级中学精品试卷PAGEPAGE1北京市顺义区2023届高三二模数学试卷▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（1）-（10）ADBCCBDBAA二、填空题（11）（12）（13），（14）（〖答案〗不唯一）（15）①②③（答对一个得2分，答对两个得3分，全部答对得5分，有错误不给分）三、解答题（16）(本小题13分)解：（Ⅰ）因为，在△中，由正弦定理，…………2分可得：,………………………3分又因为，所以.……………5分（Ⅱ）选择条件①按公式酌情给分，最高4分；选择条件=2\*GB3②设边上的中线为，则，，……………6分在△中，由余弦定理得：，…………9分因为，，所以，……………11分所以△的面积为.………………13分选择条件③方法1：由题设，因为，所以,………………6分因为，所以因为，所以，…………………7分所以,………………………8分由余弦定理可得：…………9分,整理得，解得（舍），………………10分因为，，所以，………………11分所以△的面积为.………………13分方法2：由题设，因为，所以,……………6分因为，所以在△中，因为，所以，即，所以，……7分所以,………………………8分因为，，所以，所以，…………9分所以，…………………10分因为，所以，…………………………11分所以△的面积为.………………13分方法3：因为且,所以或，………7分因为，所以，……………………8分又因为，所以即，………………9分所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，由勾股定理，……………11分所以△的面积为.……13分（17）(本小题13分)（Ⅰ）证明：方法1：因为平面平面，，，所以.3分连接.因为,,所以四边形是平行四边形.所以,.5分因为是的中点,所以点为的中点.6分方法2：连接.因为,,所以四边形是平行四边形.所以,1分因为平面，所以平面，3分因为，，所以.5分所以.因为是的中点,所以点为的中点.6分(Ⅱ)解：方法1：因为两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则,,,,.则,.设平面的法向量为，则,即8分令，则，所以.10分设，则,由得，，11分点到平面的距离.13分方法2：连接.因为,所以.因为,,所以,所以.在平面内，由,可求出.8分由勾股定理求出,在△中由余弦定理得,则，.10分.设点到平面的距离为，由得，12分解得13分（18）(本小题14分)解：（Ⅰ）记“从以上所有排片场次中随机选取1场，该场的上座率大于70%”为事件.1分影片A,B,C,D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15，2分所以.4分（Ⅱ）记“从影片A,B,C的以上排片场次中各随机抽取1场，每场的上座率大于70%”分别为事件.其中,,;7分这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为.11分12分（Ⅲ）.14分19.(本小题15分)解：（Ⅰ）2分3分在点处的切线方程y=1；4分（Ⅱ）则5分6分在上单调递增7分9分10分（Ⅲ）要证明对任意的，有，只需证明对任意的，有12分.13分..15分20.(本小题15分)解：（Ⅰ）由题意可知：2分所以椭圆C的方程为.4分（Ⅱ）直线的方程为5分设，，直线与椭圆方程联立可得：6分消去可得：，则.8分直线MA的方程为：，令可得,9分直线NB的方程为：，令可得.10分11分14分15分法二：13分14分15分法三：13分14分15分(21)(本小题15分)解：（Ⅰ）;3分（多写或少写一个元素扣1分）（Ⅱ）首先，；4分其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.5分记，不妨设或者6分①当时，，相乘可知，从而，从而，所以；8分②当时，与上面类似的方法可以得到进而，从而10分所以或者.（Ⅲ）估值+构造需要分类讨论A中非负元素个数.先证明．考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A中没有负数．不妨设，则上式从小到大共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，这表明12分情况二：A中至少有一个负数．设是A中的全部负元素，是A中的全部非负元素.不妨设其中为正整数，．于是有以上是中的个非正数元素：另外，注意到它们是中的5个正数．这表明综上可知，总有14分另一方面，当时，中恰有13个元素.15分综上所述，中元素个数的最小值为13.北京市顺义区2023届高三二模数学试卷▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题（1）-（10）ADBCCBDBAA二、填空题（11）（12）（13），（14）（〖答案〗不唯一）（15）①②③（答对一个得2分，答对两个得3分，全部答对得5分，有错误不给分）三、解答题（16）(本小题13分)解：（Ⅰ）因为，在△中，由正弦定理，…………2分可得：,………………………3分又因为，所以.……………5分（Ⅱ）选择条件①按公式酌情给分，最高4分；选择条件=2\*GB3②设边上的中线为，则，，……………6分在△中，由余弦定理得：，…………9分因为，，所以，……………11分所以△的面积为.………………13分选择条件③方法1：由题设，因为，所以,………………6分因为，所以因为，所以，…………………7分所以,………………………8分由余弦定理可得：…………9分,整理得，解得（舍），………………10分因为，，所以，………………11分所以△的面积为.………………13分方法2：由题设，因为，所以,……………6分因为，所以在△中，因为，所以，即，所以，……7分所以,………………………8分因为，，所以，所以，…………9分所以，…………………10分因为，所以，…………………………11分所以△的面积为.………………13分方法3：因为且,所以或，………7分因为，所以，……………………8分又因为，所以即，………………9分所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，由勾股定理，……………11分所以△的面积为.……13分（17）(本小题13分)（Ⅰ）证明：方法1：因为平面平面，，，所以.3分连接.因为,,所以四边形是平行四边形.所以,.5分因为是的中点,所以点为的中点.6分方法2：连接.因为,,所以四边形是平行四边形.所以,1分因为平面，所以平面，3分因为，，所以.5分所以.因为是的中点,所以点为的中点.6分(Ⅱ)解：方法1：因为两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则,,,,.则,.设平面的法向量为，则,即8分令，则，所以.10分设，则,由得，，11分点到平面的距离.13分方法2：连接.因为,所以.因为,,所以,所以.在平面内，由,可求出.8分由勾股定理求出,在△中由余弦定理得,则，.10分.设点到平面的距离为，由得，12分解得13分（18）(本小题14分)解：（Ⅰ）记“从以上所有排片场次中随机选取1场，该场的上座率大于70%”为事件.1分影片A,B,C,D的上座率大于70%的场数共有5+4+3+3=15，2分所以.4分（Ⅱ）记“从影片A,B,C的以上排片场次中各随机抽取1场，每场的上座率大于70%”分别为事件.其中,,;7分这3场中至少有2场上座率大于70%的概率为.11分12分（Ⅲ）.14分19.(本小题15分)解：（Ⅰ）2分3分在点处的切线方程y=1；4分（Ⅱ）则5分6分在上单调递增7分9分10分（Ⅲ）要证明对任意的，有，只需证明对任意的，有12分.13分..15分20.(本小题15分)解：（Ⅰ）由题意可知：2分所以椭圆C的方程为.4分（Ⅱ）直线的方程为5分设，，直线与椭圆方程联立可得：6分消去可得：，则.8分直线MA的方程为：，令可得,9分直线NB的方程为：，令可得.10分11分14分15分法二：13分14分15分法三：13分14分15分(21)(本小题15分)解：（Ⅰ）;3分（多写或少写一个元素扣1分）（Ⅱ）首先，；4分其次中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.5分记，不妨设或者6分①当时，，相乘可知，从而，从而，所以；8分②当时，与上面类似的方法可以得到进而，从而10分所以或者.（Ⅲ）估值+构造需要分类讨论A中非负元素个数.先证明．考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合