2024年新高考II卷数学高考试卷（原卷+答案）

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考II卷）

（适用地区:辽宁、重庆、海南、山西、新疆、广西、贵州、黑龙江、甘肃、吉林、云南）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1已知z=-1—i,则忖=（）

A.0B.1V2D.2

2.已知命题p：\/xGR,|x+l|>l；命题q：3x>0,x3=x则（）

A.p和乡都是真命题B.和q都是真命题

C.p和~都是真命题D.~^P和「9都是真命题

3.已知向量满足忖=1,卜+2目=2,且仅一2〃）_1方，则|0=（）

A|B.也C.2D,1

222

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如

下表

亩产[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1100)1150)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

5.已知曲线C：x2+r=16（y>o）,从C上任意一点尸向X轴作垂线段尸尸'，P为垂足，则线段尸尸'的中

点M的轨迹方程为（）

r2V2r22

A.一+2_=1（y>0）B.—+v^-=1（y>0）

164168

1/20

2222

C.-^+―=1(y>0)D.匕+工=1(y>0)

164168

6.设函数/(%)=。(％+1)2-1,g(x)=cosx+2ox,当时，曲线y=/(x)与y=g(x)恰有一个交点，

则。=()

A.-1B.IC.1D.2

52

7.已知正三棱台ABC-A4G的体积为可，AB=6,4与=2,则4A与平面所成角的正切值为()

A.1B.1C.2D.3

8.设函数，(x)=(x+a)ln(x+b),若/(函20,则小+/的最小值为()

111

A.—B.一C.-D.1

842

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x—a)，下列说法中正确的有()

A.7(x)与g(x)有相同的零点B./⑺与g(无)有相同的最大值

C./a)与g(x)有相同最小正周期D.7(x)与g(x)的图象有相同的对称轴

10.抛物线C：y2=4x的准线为/,P为C上的动点，过P作。A：r+(y—4)2=1的一条切线，0为切点，过

P作/的垂线，垂足为2,贝U()

AJ与OA相切

B.当尸，A,8三点共线时，|「。|=店

C.当|尸3|=2时，PA1AB

D.满足|PA|=|P3|的点P有且仅有2个

11.设函数F(x)=2x3-3a?+L则()

A.当。>1时，/(x)有三个零点

B.当a<0时，％=0是/。)的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在a,使得点(1,7。))为曲线>=/(x)的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S”为等差数列｛4｝的前"项和，若%+%=7,3%+%=5，则工0=.

13.已知a为第一象限角，尸为第三象限角，tana+tan〃=4,tanatan夕=血+1,则sin(a+夕)=.

14.在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在

所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

2/20

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+J^cosA=2.

(1)求N.

(2)若a=2,V2Z?sinC=csin25-求AABC的周长.

16.已知函数/(x)=e*-ax—.

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点。,/(1))处的切线方程;

(2)若Ax)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

17如图，平面四边形/BCD中，AB=8,CD=3,AD=5百，ZADC=90°-NBA。=30°，点区尸满

__.2__,__.]__.

足荏=二人。，AF=-AB,将△AEF沿即翻折至使得尸。=46.

P

(1)证明：EFA.PD；

(2)求平面PCD与平面P2尸所成的二面角的正弦值.

3/20

18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员

投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶

段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总

和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为D乙每次投中的概率为分各次投中与否相互独

立.

(1)若p=0.4,<7=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0<p<g,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

19.已知双曲线C：f—丁2=根(相>0),点片(5,4)在0上，左为常数，0〈左<1.按照如下方式依次构造点

^5=2,3,…)：过作斜率为左直线与C的左支交于点Qa，令匕为关于y轴的对称点，记巴的坐

标为(乙，%).

(1)若k=求工2，%；

(2)证明：数列｛%-%｝是公比为月的等比数列；

(3)设S"为+2的面积，证明：对任意正整数”，Sjs〃+1.

4/20

参考答案

1.【答案】c

【详解】若z=-l-i,则|z|=J(-1『+(—1)2=叵.

故选：C.

2.【答案】B

【详解】对于0而言，取x=—1,则有|尤+1|=0<1,故"是假命题，可是真命题，

对于4而言，取x=l,则有丁=13=1=%,故q是真命题，是假命题，

综上，「，和4都是真命题.

故选：B.

3.【答案】B

【详解】因为仅一2q工况所以仅—2可出=0,即片=2£0，

又因为忖=1,,+2©=2,

所以1+4ZZ+4片=1+6片=4,

从而忖=乎.

故选：B.

4.【答案】C

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

100-34

所以低于1100kg的稻田占比为］00=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200—900=300,最小为H50—950=200,故C正确；

对于D,由频数分布表可得，平均值为

^x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D错误.

故选；C.

5.【答案】A

【详解】设点M(尤,y),则P(x,%),P(x,0),

因为M为尸P的中点，所以%=2y,即P(x,2y),

又尸在圆/+丁=16口>0)上，

所以X2+4y~=16(>>0),BP——+=l(y>0),

164

22

即点M的轨迹方程为J+J=l(y>0).

5/20

故选：A

6.【答案】D

【详解】解法一：令/(%)=(?(%)，即〃(％+1)2—l=cosx+2〃x,可得ax1+«-1=cosx，

令F^x)=ax1+a-l,G(x)=cosx,

原题意等价于当xe(―1,1)时，曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F(0)=G(0),即＞1=1,解得a=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得2x?+1-cosx=0

因为xe(—1,1),则Z/^oj—cosxNO,当且仅当x=0时，等号成立，

可得2f+1-cosxNO，当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2炉+1—cosx=0有且仅有一个实根0,即曲线y=砥x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以4=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(x)-g(x)=ox2+a-i-cosA：,xe(-l,l),

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为〃(一x)=a(-x)~+a-l-cos(-x)=ax2+a-l-cosx=/z(x),

则/2(X)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知/Z(x)的零点只能为0,

即/2(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,则//(%)=2f+1-C0Sx,xe(-l,l),

又因为2/之0/一cosx20当且仅当x=0时，等号成立，

可得刈了”0,当且仅当x=0时，等号成立，

即力(X)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

7.【答案】B

【详解】解法一：分别取BCBJG的中点。，2,则AD=3百，4。=6,

6/20

可知s='x6x6义也=9百，SARC=-x2xV3=V3.

△ADC22>C|2

设正三棱台ABC-A4G的为力，

则VABCG=1（9A/3+V3+，9心义—）”=y,解得力=殍,

如图，分别过A，2作底面垂线，垂足为M,N,设AM=X,

则朋=^AM^+A^M-,DN=AD-AM-MN=273-x，

222

可得DD[=^DN+DXN=^（2A/3-x）+y,

结合等腰梯形BCCIB1可得BB；=+DD；,

即八？=仅G-4+?+4,解得x=3l,

333

所以AA与平面/3C所成角的正切值为tanz^AD=金丝=1；

AM

解法二：将正三棱台ABC-AgG补成正三棱锥p-ABC,

则AA与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,

外=凶」则上*」，

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕BC—A/C=刀Vp_ABC=,则％-A3C=18,

设正三棱锥尸—ABC的高为d,则解得d=2百，

7/20

取底面A8C的中心为。，则P。1底面N3C,且40=26，

P0

所以PA与平面ABC所成角的正切值tanZPAO=——=1.

A0

故选：B.

8.【答案】C

【详解】解法一：由题意可知：的定义域为(-瓦+。)，

令x+a=O解得尤=一。；令ln(x+b)=O解得x=l—b；

若一aW—b,当xe(一瓦1一/?)时，可知x+a>O,ln(九+Z?)<0,

此时/(x)<0,不合题意；

若一b<-a<l-b,当xe(一。,1一匕)时，可知x+a>O/n(尤+Z?)<0,

此时/(x)<0,不合题意；

若一a=l->，当xe(一瓦1—匕)时，可知x+a<0,In(x+Z?)<0,此时/(x)〉0；

当xe[l—瓦+<z>)时，可知x+a»O/n(x+Z?)NO,此时/(x)»0：

可知若一a=1-符合题意；

若一a>l->，当xe(l—O,-a)时，可知x+a(O』n(x+)»O,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：一。=1一>，即Z?=a+1,

则/+/=/+(。+1)2=2(。+工]当且仅当。=一2力=2时，等号成立,

所以/最小值为3；

解法二：由题意可知：/⑺的定义域为(-瓦+。)，

令x+a=0解得尤=一。；令ln(x+b)=0解得x=l—b；

则当xe(一瓦1一匕)时，ln(x+Z?)<0,故尤+a«0,所以l—/?+aK0；

xe(l—Z?,+oo)时，ln(x+Z?)>0,故无+。》0,所以l-Z?+aNO；

故1—b+a=O,则/+/=/+g+])2=21a+g]

当且仅当a=—:力=：时，等号成立，

22

所以/+/的最小值为g.

8/20

故选：c.

9.【答案】BC

lz>rr

【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0,解得x=寸内eZ,即为了⑴零点，

令g(x)=sin(2x—十)=0,解得x=W+£,左eZ,即为g(x)零点，

显然/(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(X)max=g(x)max=1，B选项正确；

2兀

C选项，根据周期公式，/5)送(幻的周期均为彳=兀，C选项正确；

jrKTTjr

D选项，根据正弦函数的性质/⑺的对称轴满足2x=kn+-^x=—+-,keZ,

224

JTjrKTTiTT

g(x)的对称轴满足2x——=E+—u>x=—H---，左eZ,

4228

显然/(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.【答案】ABD

【详解】A选项，抛物线丁=4%的准线为尸―1,

OA的圆心(0,4)到直线工=-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和G)A相切，A选项正确；

B选项，三点共线时，即则P的纵坐标力=4,

由次=4%尸,得到xp=4,故P(4,4),

此时切线长|PQ|=="2一12=岳，B选项正确；

C选项,当|尸耳=2时,xP=l,此时说=4/=4,故尸(1,2)或尸(1,一2),

4-24-2

当P(l,2)时，A(0,4),B(-l,2),即A==—2,k=——=2,

1)—1ABU—(―i)

不满足=-1；

当尸(1,一2)时，A(0,4),B(-l,2),即=—6,左科=壮《=6,

0—1U—(―1)

不满足左P4&B=-1

于是PALAB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|尸耳=|尸耳,这里B(1,0),

9/20

于是|[科=|PB|时P点的存在性问题转化成|PA|=|P同时p点的存在性问题,

A(0,4),F(l,0),A/中点13,211

AF中垂线的斜率为一厂=[,

。I1二

于是A厂的中垂线方程为：丁=三丁，与抛物线>2=4x联立可得V—I6y+3O=O,

8

A=162-4X30=136>0.即A/的中垂线和抛物线有两个交点,

即存在两个尸点，使得|E4|=|Pb|,D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设尸1J,由可得3(-1,。，又40,4),X|PA|=|PB|,

42

■?-+«—4)2=二+1，整理得/―16/+30=0,

J164

△=16?—4x30=136〉0，则关于/的方程有两个解,

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

【详解】A选项，f(X)-6x2-6ax-6x(x-a),由于a>l,

故xe(-8,0)u(a,+。)时/'(x)>0,故/O)在(-oo,0),(«,+<»)上单调递增，

xw(0,a)时，f'(x)<0,/a)单调递减，

则在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由f(0)=l>0,f(a)=l-a3<0,则/(0)/(a)<0,

根据零点存在定理"X)在(。，。)上有一个零点，

又1)=-1-3a<0,/(2a)=4/+i>0,则/•(—1)/(0)<0"(a)/(2a)<0,

则/(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，有三个零点，A选项正确;

B选项，f'(x)=6x(x-a),a<0时,xe(a,0),/'(x)<0,单调递减,

10/20

xe(0,+CO)时f\x)>0,f(x)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误;

C选项，假设存在这样的。力，使得x=b为/(x)的对称轴,

即存在这样的使得/(%)=于Qb-x),

即2x3-3a/+1=2(26-x)3-3a(26-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(26-疗展开式含有丁的项为2C；(20)°(-xf=-2三,

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a,。，使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/⑴=3—3。，若存在这样的。，使得(1,3—3a)为的对称中心，

则/(x)+/(2-x)=6-6a,事实上,

/(%)+/(2一x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a—24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6。=0

BPJ12a-24=0,解得a=2,即存在。=2使得(1,/■⑴)是/⑴的对称中心，D选项正确.

18—12〃—6—6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x3-3ax2+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(%)=llx-6a,

由/"(%)=0ox=3于是该三次函数的对称中心为

由题意(1,/⑴)也是对称中心，故£=1=。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是fM的对称中心，D选项正确.

故选：AD

12.【答案】95

+2d+a1+3d=7ci.=—4

【详解】因为数列。〃为等差数列，则由题意得“小<，解得：Q

3(q+d)+q+4d=5[d=3

]0x9

则4o=10。1+^—1=10x(—4)+45x3=95.

故答案为：95.

11/20

13.【答案】—逆

3

/x_tancr+tanp_4_信

【详解】法一：由题意得t皿“+0=匚嬴嬴而=可研二一2”,

因为。e^2^7i,2fei+^,yff£[2根兀+兀，2根兀+费],k,meZ,

则a+/£((2冽+2k)7i+7i,(2m+2k)兀+2兀)，k,m^Z,

又因为tan(a+/?)=-2也<0,

则a+〃（2加+2左）兀+三，（2m+2左）兀+2兀），

k,meZ,则sin(a+£)v0,

sin(a+0=_20

则联立sin2(6z+^)+cos2(cz+^)=l,解得sin(a+〃)=—

COS(6Z+B)

法二：因为a为第一象限角，尸为第三象限角，则cosa〉0,cos〃<0,

1,cos"co,尸.=一

Vsin2cif+cos2a71+tan2aJsin20+cos2/?^/1+tan2[3

则sin(cif+〃)=sinacos/3+cosasin4=cosacos/?(tana+tan/)

2V2

=4COSOLcosB——/~/--/-―1-

V1+tan26^5/1+tan20J(tana+tan/?)2+(tan6ztan/?-l)2V42+2丁

故答案为：—久2.

3

14.【答案】①.24112

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为(a,0,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字,

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

12/20

7T

15.【答案】(1)A=-

6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinA+石cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角

函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

(2)先根据正弦定理边角互化算出8,然后根据正弦定理算出4c即可得出周长.

【小问1详解】

方法一：常规方法(辅助角公式)

由sinA+V3COSA=2可得,sinA+^^cosA=1，即sin(A+1)=1,

223

,,4/八、471/兀47l.兀71.71

由于Aw(0,兀)n4+7£(7,丁)x，故A+；=不，解得zA=：

333326

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sinA+GcosA=29又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：

4cos2A—46cosA+3=0=(2cosA—逝)2=0,解得cosA=1，

IT

又Ae(0,兀)，故A=：

6

方法三：利用极值点求解

设/(%)=sinx+gcosx(0<x<兀)，则/(%)=2sin[%+三](0<%<兀)，

显然x=巴时,/(x)max=2,注意到/(A)=sinA+6cosA=2=2sin(A+^),

63

/(%)max=/(A),在开区间(0,兀)上取到最大值，于是％=A必定是极值点，

即/'(A)=0=cosA-V3sinA,即tanA=,

7T

又Ae(0,兀)，故A=：

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设〃=(1,V3),b-(sinA,cosA)，由题意，a-b=sinA+V3COSA=2，

根据向量的数量积公式，a-^=|a||^|cos^a,b^=2cos^a,,

则2cos1,5=20cos万,5=1,此时=0,即a,B同向共线，

根据向量共线条件，l・cosA=G,sinA=tanA=Y3，

3

13/20

7T

又Ae(O,兀)，故A=：

6

方法五：利用万能公式求解

设/=tan2,根据万能公式，sinA+6cosA=2=二+小。J),

21+t2l+/

整理可得，〃_2（2_百）/+（2—省］=0=Q_（2—百）产,

解得tang=f=2—6，根据二倍角公式，tanA=2v=M

21"3

IT

又Ae（0,7t）,故A=：

6

【小问2详解】

由题设条件和正弦定理

0bsinC=csin2B=V2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又B,Cw(0,兀)，则sinBsinC/O,进而cosB=交，得到3=百

24

7兀

于是。=兀一A—

12

sinC=sin（兀一A—3）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=④+"

4

2b

Qb

由正弦定理可得,，即.兀.兀.7兀，

sinAsinBsinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2^2,c—V6+V2，

故AABC的周长为2+&+3庭

16.【答案】(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(l,+oo)

【解析】

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析aW0和。>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得/+ina-1>0,构

建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/'(x)=e，-a有零点，可得。>0,进而利用导数求/(力的单调性

和极值，分析可得/+ina-1>0,构建函数解不等式即可.

【小问1详解】

当Q=1时，贝U/(%)=e*—1,fr(x)=ex-1,

14/20

可得“D=e-2,/,(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-1,

所以切线方程为y—(e—2)=(e—l)(x—l),即(e—l)x—y—1=0.

【小问2详解】

解法一：因为/⑺的定义域为R,且/''(x)=ex—。，

若aWO,则/'(x)20对任意xeR恒成立，

可知了(幻在R上单调递增，无极值，不合题意；

若。>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-e,lna)内单调递减，在(Ina,+功内单调递增，

则了⑺有极小值/'(ina)=a-aIna-d,无极大值，

由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即q2+[na—1>0，

构建g(a)=a2+Ina-l,a>0,则g'(a)=2a+，〉0,

可知g(a)在(0,+动内单调递增，且g⑴=0,

不等式/+ina—1>0等价于g(a)>g⑴，解得a>l,

所以°的取值范围为(L+。)；

解法二：因为了⑺的定义域为R,且/'(x)=e*—a,

若/(x)有极小值，则尸(x)=e，-a有零点,

令/'(x)=e*—a=0,可得e'=a，

可知y=e，与y=a有交点，则a>0,

若。>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(r»,lna)内单调递减，在(lna,+a?)内单调递增，

则了⑺有极小值/'(lna)=a—alna—a3,无极大值，符合题意，

由题意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2+[nq_]>0,

构建g(a)=a?+Ina-l,a>0,

因为则y=",y=lna-l在(0,+“)内单调递增,

可知g(a)在(0,+“)内单调递增，且g⑴=0,

15/20

不等式tz2+lntz-l>0等价于g(a)>g⑴,解得a>1,

所以a的取值范围为(L+”).

17.【答案】(1)证明见解析

力8765

65

【小问1详解】

由AB=8,AD=5后在=2而,9」,

52

得AE=2«,AF=4,又NBAD=30°，在/XAEE中，

由余弦定理得EF=VAE2+AF2-2AE-AFcosZBAD=^16+12-2-4-2A/3-^=2,

所以AE?+砰2=A/2,则AE_LEF,即跖1AD,

所以EF_LPE,EF_LOE,又PECDE=E,PE、OEu平面P£)E,

所以EF工平面PDE,又PDu平面PDE,

故EF工PDx

【小问2详解】

连接CE,由NA£>C=90",ED=3g,C£>=3,则CE?=+CD?=36,

在APEC中，PC=4y/3,PE=2y/3,EC=6,WEC2+PE2=PC2>

所以PELEC,由(1)知PEL跖，又ECCEF=E,EC、Mu平面ABCD,

所以PE,平面ABCD,又EDu平面ABCD,

所以PELED,则尸E,E£E。两两垂直，建立如图空间直角坐标系石一孙z,

则E(0,0,0。。(0,0,26),0(0,3百,0),C(3,3百,0),尸(2,0,0),A(0,-2抬,0),

由歹是AB的中点，得8(4,26,0),

所以卮=(3,3区-2®PD=(0,36,一2后),PB=(4,25-2#)),PF=(2,0,-273),

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为3=&,%,Z]),肩=(%,%，Z2)，

n-PC=3x+3y/3y-2s[3z=0m-PB=4x,+2近%-2A/3Z,=0

则<-./x-l/-i，<一.l"，

n-PD=3j3M—2j3z1=0\rhPF=2x2—2V3z2=0

令％=2,冗2=6,得%=0，Z=3,%=-1/2=1,

所以方二(0,2,3),而=(6,-1,1),

।_\fh-n\1^65

所以1cosm,n\1=।-pp-j-=亍一j==,

网同V5-V1365

16/20

设平面PCD和平面PBF所成角为e,则sine=A/I-COS20='叵

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为座5

65

>

y

18.【答案】(1)0.686

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

【解析】

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自计算出脩=口—(l—p)3]/,乡=[1一(1—4)31/,再作差因式分解即可判断；(ii)首先得

到x和y的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.

【小问1详解】

甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，

二比赛成绩不少于5分的概率f=(1—0.63)(1—0.53)=0.686.

【小问2详解】

(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为辱=[1-(1-pF]",

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为2=口-(1-幻3)。3,

•;0<p<q,

:•辱_%=q3-(q-pqY-p3+(P-pq)，

=(q—p)(/+pq+p2)+(p—q)-[(p—pq)2+(q—政户+⑺-pq)(q-pq)]

=(p-q)(3p2/_3p2q_3Pqi)

=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)(Q—p)Q—q[—l]>0,

二埼〉与，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(l-p)3+[l—(l—p)3].(l—q)3,

P(X=5)=[l-(l-p)[Cj(j)2,

17/20

p(x=10)=[1—(1-p)3].C；q2(I_q),

P(X=15)=[1-(1-p)31/,

E(X)=15[l_(l-p)3]q=15(p3_3p2+3p).q

记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩丫的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=15(/—342+3q).p

E(X)—E(Y)=15[pq(p+q)(p—q)—3pq(p—q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因为0<.p<.Q,贝ijp—q<0,p+q—3<1+1—3<0,

则（，一4）。式"+4-3）〉0,

二应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关

系，最后得到结论.

19.[答案](1)x2=3,%=0

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【小问1详解】

由已知有加=5?—42=9，故C的方程为x2-y-=9.

当4=g时，过片（5,4）且斜率为3的直线为丁=2芋与r一,2=9联立得到必

解得x=-3或尤=5,所以该直线与C的不同于片的交点为2（-3,0）,该点显然在C的左支上.

故鸟（3,0）,从而赴=3,%=°・

【小问2详解】

由于过月（七,笫）且斜率为左的直线为丁=左（％-尤"）+”,与/一V=9联立，得到方程

2

x-（k（x-xn）+yn^=9.

18/20

展开即得(1—有9―2%(y“—您)x—(%—您)2—9=0,由于匕(当，笫)已经是直线y=M%—x“)+y”和

炉―,2=9的公共点，故方程必有一根工=%.

2k{y-kx)

从而根据韦达定理，另一根x=nn,相应

12l~k*2

y=k(x-)+y=

Xnn1-k2

所以该直线与c的不同于匕的交点为2■,而注意到。”的横坐标亦可通