相似三角形解题方法指导（四）

1、相似三角形解题方法指导（四）知识回顾 一网打尽. 梳理知识1.三角形相似的条件(1) ，(2) ，(3) 。2.如何寻找和发现相似三角形两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.3.相似三角形与相似多边形的性质(1)相似三角形的性质相似三角形的三边 ，三角 .相似三角形的 ， 与 都等于相似比.相似三角形周长之比等于 ，相似三角形面积之比等于 .(2)相似多边形的性质相似多边形的对应边 ，对应角 .相似多边形的对角线之比、周长之比都等于 . 相似多边形面积之比等于 .4.几何变换

2、(按一定的方法把一个图形变成另一个图形)(1)相似变换：保持图形的形状不变的几何变换叫做相似变换(2)位似变换位似图形：如果两个图形不仅是 图形，而且每组对应点所在的直线都 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 .位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到 的距离之比等于位似比.5.相似三角形的应用测量旗杆的高度(利用阳光下的影子；利用标杆；利用镜子的反射.)知识要点 基础练习一、选择题1.如图1，ABC中，CDAB于D，DEAC于E，图中与ADE相似的三角形有( )图1 图2 图3 图4A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列能使三角形一定相似的是( )A

3、.两边对应成比例的三角形 B.两边分别成比例的直角三角形C.两边对应成比例的等腰三角形 D.两直角边对应成比例的直角三角形3.如图2，下列条件不能判别ACDABC的是( )A.ADC=ACB B.ACD=B C.AC2=AD·AB D.5.已知在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，若BC=5，CD=3，则AD等于( )A.2.25 B.2.5 C.2.75 D.36.如图3，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高_米（ ）A.11.25B.6.6 C.8D.10.5 7.一个地图上标准比例尺是1300000,图上有一条形区域，其面积

4、约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为（ ）平方千米（ ）A.2160B.216 C.72D.10.728.如图4，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°得ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）A.AEAF B.EFAF=1C.AF2=FH·FE D.FBFC=HBEC9.如图5，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）A.21B.1C.1D.41 图5 图6 图7 图810.如图6，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，ADE和四边形BCED的面积分别记为S1、S2，那

5、么的值为（ ）A.B.C.D.11.如图7，在RtABC中，AD为斜边BC上的高，若SCAD=3SABD，则ABAC等于（ ）A.13B.14C.1D.1212.顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）A.14B.13C.1D.1213.ABCABC，相似比是23，那么ABC与ABC面积的比是( )A.49B.94 C.23D.3214.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )A.9倍B.3倍 C.81倍D.18倍15.在ABC中，DEBC，交AB于D，交AC于E，且ADDB=12，则下列结论正确的是( )A.= B.=

6、C.= D.=16.如图8，ABCD中，AEED=12，SAEF=6 cm2，则SCBF等于( )A.12 cm2B.24 cm2 C.54 cm2D.15 cm2典型例题 方法指导考点1 利用三角形相似计算物体的长度 例题1 (1).如图1，ABC中，AB=9，AC=6，点D在AB上，且AD=3，点E在AC上，如果连接DE，使ADE与原三角形相似，那么AE=_.（2）垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高_米.（3）如图2，若OAOD=OBOC=n，则x=_（用a,b,n表示）. 图2 图3 图1(4).如图3，在ABC中，若

7、A=90°，正方形DEFG内接于ABC，则图中与ABC相似的三角形有_.考点2 相似多边形的性质的基本应用 例题2 1、如图1，在RtABC中，C=90°，MNAB于M，AM=8 cm，AC=AB，则AN=_. 图1 图2 图32、如图2，ABC=CDB=90°，AC=a，BC=b，(1)当BD与a、b之间满足关系式_时，ABCCDB;(2)当BD与a、b之间满足关系_时，ABCBDC.3、若ABCABC，AB=4，BC=5，AC=6，ABC的最大边长为15，那么它们的相似比是_,ABC的周长是_.4、两个相似三角形的相似比为23，它们周长的差是25，那么较大三角

8、形的周长是_.5、如图3，在ABCD中，延长AB到E，使BE=AB，延长CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H，则BEG与CFG的面积之比是_.变式练习2 1、ABCABC，相似比是34，ABC的周长是27 cm，则ABC的周长为_.2、两个相似多边形对应边的比为32，小多边形的面积为32 cm2，那么大多边形的面积为_.3、若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm和8 cm，它们的周长之和为35 cm，则较小的三角形的周长为_.4已知，如图2，ABAB，BCBC，且OAAA=43，则ABC与_是位似图形，位似比为_；OAB与_是位似图形，位似比为_.考点3 三角形中的内接矩

9、形 例题3 如图，ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，问这个正方形材料的边长是多少？变式练习3 如图，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=3.(1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.(2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长.(3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长.(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，

10、它们组成的矩形内接于ABC，请写出正方形的边长.考点4 三角形相似的证明经典题型例题4 如图，四边形ABCD是平行四边形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE与ADF相似吗？说明理由.(2)AEF与ABC相似吗？说说你的理由. 已知：如图(1)E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连结BE交AC于O，求证:注意：(1)在证明时,常常把等积式转化成比例式.(2)证明比例式时常利用中间比来证明.(3)当证明的比例式中的线段在同一直线上时,常采用相等的线段,相等的比,相等的等积式来代换相应的量.变式练习4 1、如图，在正方形ABCD对角线上任意取点E，AE延长线交CD于F，交BC延长线于G

11、，求证：EC2=EF·EG。2、如图，ABC中，BDAC于D，CEAB于E，求证：ADEACB。3、如图，AD是ABC的角平分线，AD的中垂线和BC延长线交于点E，求证：DE2=BE·CE。考点5 相似多边形的面积比与相似比的互相转化应用例题5 如图，梯形ABCD中，ABCD，AC、BD交于E，若SDCESDCB=13，求SDCESABD. 变式练习5 1、如图，DEBC，SDOESCOB=49，ADBD 2、（09牡丹江)如图，中，直线交于点交于点交于点若则 3、（09孝感）如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中

12、阴影部分）的面积分别是4，9和49则ABC的面积是 考点7 几何动点问题探究 例题7 如图RtABC中，C=90°, A=60°,AB=12 cm,若点P从点B出发以2 cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1 cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒。解答下列问题：（1）用含t的代数式表示线段AP、AQ的长（2）当t为何值时APQ是以PQ为底的等腰三角形（3）当t为何值时PQBC? BCAPQ考点8 复杂的几何探究问题 例题8 如图6.5-14，梯形ABCD中，ADBC，E、F分别在AB、CD上，且EFBC，EF分别交BD、AC于M、N.（1）求证ME=NF（2）当EF向上平移到图6.