八年级数学第7讲.分式的概念及性质.尖子班.教师版-(2)

1、代数式8级 分式的概念及性质代数式9级 $二次根式的概念及运算暑期班第九讲暑期班第七讲分式秋季班第五讲or分柿分式的瞎性质分式的定义打判定分式育愆丈分戍的俏约分通分分式的运算负整数抬数舜 分真的乘除 分式的乘方 成的加减模块一分式的根本概念知识导航定义例如剖析分式的定义：一般地，如果 A、B表示两个整式，并 且B中含有字母，那么式子 -叫做分式，其中 A叫分子，BB叫分母且B 0 例如2 ,1a ax 1分式有意义或分式存在的条件：分式的分母不等 于零即B 0 使丄有意义的条件是x 0x分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意 义的前提下分式的分子为零.即当A 0且B 0时，0B使丄丄值

2、为0的x值为1x 1夯实根底1【例1】 以下式子：丄，x a 3b22a x y 4 2a x xA.1个B.2个xC.3个1其中是分式的有x yD.4个人大附期中当x时，分式亠有意义；当xx 2时，分式一有意义;1四中月考当x为何值时，以下分式的值为厂x 3(xx 66)(x 1)x216(x 4)(x 1)8xx2 825 x2(x 5)2【解析】D ;x为任意实数；xx为何值时，以下分式的值为零: 5 |x 1|x 4【解析】x 6 ;x易错点：忽略分母不为零的条件【教师备选】当能力提升当x时，分式当x时，分式x时，分式x当x3时，分式x【例2】竺仝的值为1 ;如果分式-3 x2x 1丄

3、的值为正数；当x8 x的值为正整数.1无意义，当x的值为1，贝U x的值是时，分式J的值为负数；当8 xx a5时，分式x【解析】x2 ,2x33xx8 ,48x4x8x0；10 ,0 ,即2x 3 3 x，解得xx 8 , =0、1、2 或 5.x 12x 11，即 x 1 2x 1 ,解得 x 0 ;0,解得x 8;00，解得4 xa b 28 ；或 8 x0，不等式组无解模块二分式的根本性质知识导航【例3】以下式子中，正确的选项是定义例如剖析分式的根本性质：分式的分子与分母同 乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.日n A AX MA M 门即M丰0B B X M B M33工空a

4、 0x ax约分：利用分式的根本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式 变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式.通分：利用分式的根本性质，使分子和分母冋时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相冋的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因 式的最高次幕的积作公分母，它叫做最简公分母.a bc3倍，a bcF列分式的值如何变化?2 2x y1x21x32Q14y0.03a 0.2b0.08a 0.5b0.4a 3b5410代旦上 b.cc假设x，y的值扩大为原来的7型x yx y不改变分式的值，把分式的分子和分母各项系数都化

5、成整数:【解析】3x3y3(xy) xy3x3y3(xy) xy3x3y9xyxy3x3y3(xoy)x3x3y3(xy)(3x)21(3y)29(x2y2)22223x3y9 xyy133x 3y3 x y不发生变化;是原来的3倍;-2，是原来的x y2 2一厶，是原来的-倍;33 倍;；4x 3y3a 20b ； 8a 12b8a 50b 5a 2b【例4】能力提升5x2y310x3y2z1 x22a6a21求以下各组分式的最简公分母：约分：-mn33m3a2 331 与 x ；3J，凹 2，4a b 6ab c x 1通分：ab 3a2c b a厂c 5b c，x(x 1)1x2X2x2

6、 2x 1(a b)(a c)(b c)(ba)(c1a)(c b)以下分式为最简分式的是33b15a)a2 b2B.b2 x3x【解析】二，3my2xzcca2 32a (a2 3)215abc b 12a2b3c : x2ab30a2b2c3a2 c10b330a2b2c6a330a2b2c先分解因式，而后找公分母为x(x21)(x 1)X 1 (x 1)2(x 1)x(x 1) x(x1(a b)(a c)1x2 ， 21)(x 1)2x2 1c b2X (x 1)x(x 1)(x 1)212x 2x 12x(x 1)；2 ，x(x 1)(x 1)(a b)(b c)(c a) b a(

7、b c)(b a)(a b)(b c)(c a)(c a)(c b)(a b)(b c)(c a)知识导航分式的乘法a c a c b d b d分式的除法a c a d a d b d be be分式的乘方nnaab歹同分母分式相加减a b a bc cc异分母分式相加减a c ad be ad bc b d bd bdbd0指数幕a°1 a 丰 0负整数指数幕1a p -p a工0 , p为正整数a1.分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法那么先把除法变为乘法；接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；再把每个分式的分子

8、与分子相乘、分母与分母相乘；最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式2.分式的加减同分母分式加减法那么：分母不变，分子相加减。异分母分式加减法那么：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分，化为相同分母； 按同分母分式运算法那么进行;注意结果可否化简，化为最简 分式.3.分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能 分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算夯实根底【例5】用科学计数法表示以下各数：51200000, 0.000000001, 0.0012,0.000000345

9、, 0.0000000108计算： a 1b2 a 2b2 a2b 2以下等式不成立的是5A. 0.000016 1.6X10)44mnmB. r 3 nmnC. 3 2-9D. 39人大附期中【解析】7935.12 X10 , 10, 1.2X10, a 1b2 a 3b6 耕.783.45X10, 1.08X103a2b 2a8b8§能力提升【例6】计算:a4b(吐)3c2c-b)2ab(竺)4a【解析(兰)3x y(x2Lx)22 2x yxy2(xy)【教师m 2nab6 ；x(x y)2m8a,3 3 ； b c y2(x y)'27a9 .;y1x1.分式运算时注

10、意:注意运算顺序.例如，计算解：原式通分时不能丢掉分母.例如，计算式通分是等值变形，不能去分母无视“分数线具有括号的作用：最后的运算结果应化为最简分式.2xx2 4，应按照同一级运算从左到存依次计算的法那么进行.3 axx 1，不要同解方程的去分母相混淆； 分式相减时，假设分子是多项式，其括号不能省略.x 1,出现了这样的解题错误：原式 x x2 x【探究对象】分式运算的几种技巧【探究目的】在根本运算的根底上进行运算技巧的拓展，使学生更深入地掌握本讲内容 【变式一】先约分后通分技巧计算x 1X2 3x 22X2X2x4【分析】两个分式均能约分，故先约分后再计算【解析】原式x 1X x 21X

11、x 1x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2【变式二】别离整数技巧计算x2 3x 3-2x 3x 2X2 5x 71-22x 5x 6 x 4x 3【分析】两个分式的分子、分母不能约分，别离整数方法可使计算化简【解析】原式X2 3x 21X2 3x 2x2 5x 611x2 5x 6x2 4x 31 x2 3x 211x2 5x 61x2 4x 31x 1 x 3【点评】别离整数这种方法是复杂分式运算必考察，秋季讲义仍有专项练习，希望教师在暑假能有所铺 垫1计算1X X 123X 1 X3X3x6【分析】此类题可利用1111裂项相消计算nn mmnm【解析】原式1 2 1131

12、1X X 12 x1X33x3x61 16x x 6x x 6【变式三】裂项相消技巧【变式四】分组计算技巧计算丄丄Z丄a 2 a 1 a 1 a 2【分析】通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2 4，第二项、第三项分母乘积为 a2 1，采取分组计算比拟简捷【解析】原式2 212a 4 a 1【变式五】变形技巧【分析x2 3x求x2】将两边同除以x x 0可变出x 1，然后利用完全平方公式的逆用可求出xx21的值x【解析】由x23x两边同除以0，得x221 2一 23x【例7】 三个数x、y、z满足= 2=-，二 =-.那么xyz一 的值为x yy z 3 z x 3 xy yz zx202

13、1四川内江中考 【解析】由丝=2，得1 =1，裂项得1 + 1 =1 .x yxy2yx2同理1 +1 _41+14zy3xz31所以，1+ 1+1+1+1+ 114 + -41 111+ + 1yxzyxz2332zx y4于是xyyzzx1+1+11所以xyz4.于是xyzzxy4xyyz zx【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查学 生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧.【教师备选】全国中考分式运算八例2021湖南益阳，14, 6分计算代数式 皀 怛 的值，其中a 1, b 2 , c 3 .a b a b【解析

14、】原式=ac bc a b c c a b a ba 1, b 2, c 3时，原式=3【点评】此题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，注意化为最简后再代数。2021云南省，15, 5分化简求值:x2 1，其中：x -x 12【分析】如果用先算括号中的异分母的分式相加减,所得结果再与后项约分略显麻烦【解析】利用乘法分配率：原式x211x21x 1x 1 x 1 2x1x -时，原式=12注意括号的添加:2021山东省聊城，15,3分计算:2021山东泰州,19，8 分计算:2a2a 2a2021贵州遵义,20，6 分化简分式Xx212p，并从*

15、1 x 3中选一个你认为适宜的整数x代入求值.【解析】原式x 1由于当x= 1或x=1或x=0时，分式的分母为 0,故取x的值时，不可取 x= 1或x=1或x=0,假设取x=2,此时原式_L 2 .2 132x ，然后从.5 x 5的范围内选取一个适宜的整x2021河南，16, 8分先化简x 24x 【解析】原式 匚a24 x2 2x数作为x的值代入求值.【解析】原式1x 2 . 5 x 5，且x为整数，假设使分式有意义，x只能取1和1.假设取x =1时，原式=1.32021山东德州中考，17, 6分：x 3 1 ,y 3 1，求2 2x 2xy y的值.【解析】原式3 1时，原式22.3(2

16、021广州市,20, 10 分):的值。【解析】原式a2 b2a bab a b ab【点评】此题考查了分式的化简求值,注意也可用两头向中间凑的方式求代数式的值。思维拓展训练选讲训练1.当x取何值时，以下分式有意义: 6|x|丄1 1x【解析】xx取任意实数;训练2.计算:弋a216 a8a2y【解析】原式16 2a 8 a 24y2x 2y2a 4a 24x2y .4y2方法:直接通分或拆分原式a babb cbcc a;ca方法：分步通分.x2 4y24y2x 2y x 2y 2x y 4x y原式2 "2 2 "2x 4y x 4y4x2yx2 4y232x 2x y

17、 2x4y22xx 2y训练3.a , b为实数，且ab【解析】由通分计算:P 2aba 1 b 1a ba 1 b 1a b 2a 1 b 1由ab P1可得Q2ab 2 0训练4.计算【解析】(x 1)( x121 _不1x 1(x 1)(x1x 11 _石1x 3(x 3)(x 5)1 1x 3 x 53x2 4x 5请比拟P与Q的大小.2ab 2a 1 b 1知识模块一分式的根本概念课后演练2【演练1】 分式xy一9的值为零，那么x的值是x 3当X分式的值为正数.x 5【解析知识模块二分式的根本性质课后演练【演练工成立，那么m的值为2m 8【解析【演练3】约分:16x2y20xy3n2【解析4x5?知识模块三【演练【解析2x 2x 12x22分式的根本运算课后演练1计算：学x原式=.x 1北京中考【演练计算： xy2 2x 2xy y【解析原式=y .测1.当x时，分式2x 3有意义，当x时，分式2x 3无意义3x 53x 5当x时，分式IX 1的值为零.x 1当x时，分式 1的值为正.【解析】x 5 , x3x 2a 2 ,b2 x分式 a 2的值为零，贝U a, ba b 3测2.计