第十九章四边形知识与题型总结

1、第十九章四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构1. 掌握平行四边二典型题型归纳（一）概念题1. Q ABCD中，/ A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段, 则QABCD的周长为 .2. 在 Q ABCD 中，/ C=60o,DE丄 AB 于 E,DF丄 BC 于 F.(1) 则/ EDF=;(2) 如图，若 AE=4 , CF=7 ,Q ABCD周长.贝U ABCD周长=若AE=3 , CF=7 ,请作出对应图形，并求3. (1)在平行四边形 ABCD中，若/ C=Z B+ / D,则/ A= .(2) 已知在 Q ABCD，/A比/ B小20o，则/ C的度数是 (3) 在QABCD

2、 中，周长为 100cm, AB-BC=20cm，贝U AB=BC= .cm.(4) 在 ABCD 中，周长为 30cm,且 AB : BC=3 : 2，贝V AB=（5）（2007河北省）如图， 若口ABCD与 EBCF关于BC所在直线对称，/ABE = 90,则/ F = .4. （ 2007福建福州）下列命题中，错误的是（）A 矩形的对角线互相平分且相等B 对角线互相垂直的四边形是菱形C.等腰梯形的两条对角线相等D 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等5. （2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（）A 一组对边平行的四边形是平行四边形B .有一个角是直角的四边形是矩形C.有一组邻边

3、相等的平行四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形6. （2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形7. （2007四川眉山）下列命题中的假命题是（）A 一组邻边相等的平行四边形是菱形B 一组邻边相等的矩形是正方形C 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8. （2007四川成都）下列命题中，真命题是（）A.两条对角线相等的四边形是矩形E.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形9. （2007浙

4、江嘉兴）如图，在菱形 ABCD中，不一定成立的（）A. Q ABCD E. AC 丄 BD C.等边 ABD D./ CAB=Z CAD（二）图形的性质和判定方法10. 如图，已知四边形 ABCD是正方形，分别过 A、C两点作l !/1 2，作BM丄l 2于M ,DN丄1 2于N，直线MB、ND分别交1 i、1 2于Q、P,试判断四边形 PQMN的形状.而且 AE=BF=CG=DH ,求证：四边形EFGH为正方形.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点,A12. 如图，在矩形 ABCD中，E是CD边上一点,AE=AB , AB=2AD，求/ EBC 的度数（三）转

5、化 的思想一一 将梯形问题 通过化归、 分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题 如图所示:13. 填空(1) 等腰梯形上底长为 3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60o,则下底长是 .(2) 等腰梯形一个底角是 60o它的上、下底分别是8和18,则这梯形的腰长是，高是，面积是.(3) 在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的夹角为 30o,则另一腰长为 ，下底长为 .(4) 等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为 ,面积为.(5) 已知在梯形 ABCD中，AD/BC，若两底AD、BC的长分别为2、8, 两条对角线 BD=6 , AC=8，则梯形的面积为 .(

6、四) 推理论证的进一步巩固14. (2007恩施自治州)如图，平行四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直 线AC上的两点，并且 AE=CF,求证：四边形 BFDE是平行四边形.DE相交于点15. 如图，在平行四边形 ABCD中，E、F分别是直线 AB、CD的中点, G, CE、BF交于点H .求证：四边形 GEHF是平行四边形.16平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且 AF=CE ,求证:四边形AECF是平行四边形A17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形.18. 已知点 E、F在正方形 ABCD的边BC、CD上，(1 )若 BE=CF，如

7、图 13(1).求证：AE=BF 并且 AE 丄 BF ;(2)若E、F分别是BC、EF的中点，如图DF13(2)，求证：GD=AD .DBEF19. （2007浙江金华）国家级历史文化名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB / EF / DC , BC / GH / AD，那么下列说法中错误的是（A 红花、绿花种植面积一定相等B .紫花、橙花种植面积一定相等C.红花、蓝花种植面积一定相等D .蓝花、黄花种植面积一定相等20. （ 06盐城）已知 ABCD的面积为4,对角线交于 O,贝y Sa aob

8、= .21. 若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（A . 1个B . 2个C. 3个D. 4个紫G橙蓝仏H22平行四边形一边长为10，一条对角线长为6,则它的另一条对角线a的取值范围是（A.4a16B.4a26C. 12a20D.8a -S4的面积为S,则厶ABE的面积为（）第33题图1 丄屮AD 丄 BD，/ A= / ABC，如果 AD=2 ,2，面积是.35.如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线 MN和PQ,那么图 中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 或“ ABC外角/ CAM的平分线,CE丄AN,垂足为点E,ADC

9、E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，四边形46. ( 05,青岛)如图，在等腰梯形F分别是BM CM的中点.求证： ABMA DCM;B四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；BC的中点,E、若四边形 MEN F是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由47. (2007四川资阳)如图47(1)，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重 合),PE丄BC于点E, PF丄CD于点F.(1)求证：BP=DP;如图47(2),若四边形 PECF绕点C旋转，在旋转 过程中是否总有 BP=DP ?若是，请证明之；若不是， 请举出反例；试选取正

10、方形 ABCD的两个顶点，分别与四边形 PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过 程中长度始终相等，并证明之 第47题图1第47题图2(八)函数的思想在本章中的运用48、(2007南充改编)等腰梯形 ABCD中，AB= 15, AD = 20,/ C= 30o. M、N同时以相同速度分别从点 A、点D开始在AB、AD (包括端点)上运动.(1 )设ND为X,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围.(2) 设t=10-x，用t表示 AMN的面积.(3) 求厶AMN的面积的最大值，并判断取最大值时AMN的形状.49. (2006泰州)将一矩形纸片 OABC放在直角坐标系中，O为原

11、点，C在x轴上，OA=6 ,OC=10.(1)如图1,在OA上取一点丘，将厶EOC沿EC折叠，使 O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；（2） 如图2,在OA 、0C边上选取适当的点 E、F，将 EOF沿EF折叠，使0点落在 A B 边上的D点，过D作D G/A 0 交E F于T点，交0C于G点，求证：TG=A E .（3） 在（2）的条件下，设 T （x, y）,探求：y与x之间的函数关系式并指出变量x的取 值范围（4） 如图3,如果将矩形 OABC变为平行四边形 OA B C,使0C =10, 0C边上 的高等于6,其他条件均不变，探求：这时 T （x, y）的坐标y与x之间是否仍然满足（

12、3） 中所得的函数关系，若满足，请证明之；若不满足，写出你认为正确的函数关系式X 0 G F C(3)_ nH50. （08 通州 22 改编）如图，在 Q ABCD 中，AB=8 cm , AD=6 cm ,/ DAB=60。，点 M是边AD上一点，且 DM=2 cm，点E、F分别是边 AB、BC上的点,EM、CD的延长线交于 G , GF交AD于O,设AE=CF=x ,试用含x的代数式表示 CGF的面积；G,g C当GF丄AD时，求AE的值.S7 E 第50题图（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）51沿特殊四边形的对角线折叠（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片ABCD AB=2 / ADB=

13、30，沿对角线 BD折叠（使 ABDD和厶EBD落在同一平面内），贝U A、E两点间的距离为 1DCAFB2第52题图第51题图52沿特殊四边形的对称轴折叠如图，已知矩形ABCD的边 AB=2,ABM BC,矩形ABCD的面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为53使特殊四边形的对角顶点重合折叠（05,山东威海）如图，梯形纸片ABCD / B=60 , AD/ BC, AB=AD=2BC=6将纸片折叠，使点AD BBECB与点D重合，折痕为D CEAE,贝y CE=第53题图第54题图第55题图54使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠如图，折叠矩形的一边 CD,

14、使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm BC=8cm,贝U EC的长为 55使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠（崇文）如图，在梯形ABCD中，DC/ AB,将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D、Ccm.处，折痕为 EF,若 CD=3cm EF=4cm 贝U AD +BC =56使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将/A沿DK折叠，使它的顶点 A落在EF上的GM_第56题图第57题图57使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（2）如图，有一块面积为 1的正方形ABCD, M、N分别为AD BC边的中点，将 C点折至MN上,落在点P的位置，折痕

15、为 BQ,连结PQ.丄（1求 MP的长度； 求证：以PQ为边长的正方形的面积等于 s .58两次不同方式的折叠（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠,BC、BD为折痕，折叠后 AB与EB在同一条直线上 则/ CBD的度数为（）DCABA.大于90B.等于90C.小于90 D.不能确定59三次不同方式的折叠（03，山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为 MN,如图；第二步：再把B点叠在折痕 MN上，折痕为AE,点B在MN上的对应点为 B,得RtA AB E, 如图；第三步：沿EB线折叠得折痕 EF,如图利用展开图探究：厶AEF是什么三角形？证明你的结论； 对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？并证明之CNDN（十）动手操作实践60. （2007湖南怀化）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的 四边形，请画出所有可能四边形并写出的它的名称61. （05枣庄,9分）如图1四边形ABCD是等腰梯形，AB/ DC由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形(1) 求出梯形ABCD四个内角的度数；(2) 试探究梯形 ABCD四条边之间存在的等量关系，并证明之；(3) 现有图1中的等腰