2007年数一真题试题+答案

1、2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题.纸.指定位置上.(1)当x 0时，与x等价的无穷小量是()(A)(B) ln .1 Jx(C),1 x 1 .(D)1 cosx答案：(B).1曲线yx(A) 0.答案：(D).ln(1ex)渐近线的条数为(B)1.(C)2.(D)3.(3)如图,连续函数y f (x)在区间3,2,3上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区2的上、下半圆周，设F(x)的是()(A)F(3)3-F( 2).4(B)F(3)5 -F(2).4(

2、C)F( 3)3F(2).4(D)F( 3)5F( 2)4答案：(C).间 2,0 , 0,2上的图形分别是直径为设函数f (x)在x 0处连续，则下列命题错误.的是()(A)若limf(x)存在,则 f(0)0.(B)右limf(x) f(x)存在，则f(0)0.x 0xx 0x(C)若limf(x)存在，则f (0)存在.(D)右limf(x) f (x)存在，则f (0)存在x 0xx 0x答案：(D).(5)设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数,且 f (x)0,令 Unf(n) (n1,2,L ),则下列结论正确的是()(A)若u1u2 ,则un必收敛(B)若uU2 ,则 Un必发

3、散(C)若U1U2,则un必收敛(D)若U1U2 ,则 Un必发散答案：(D).设曲线L:f(x,y) 1( f (x, y)具有一阶连续偏导数),过第n象限内的点 M和第"象限内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零 的是()(A)f (x，y)dx.(B)f (x，y)dy.(C)f (x，y)ds.(D)fx (x，y)dx fy (x，y)dy答案：(B).(7)设向量组1, 2, 3线性无关，则下列向量组线性相关.的是()(A)1 2， 23，31 (B)12，23，31(C)1 2 2， 22 3,321 (D)122，223，32答案：(A) 2 1110

4、0(8)设矩阵A121，B 010，则A与B()1 12000(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似答案：(B).(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2 2 2 2 2 2(A) 3p(1 p) . (B)6p(1 p) .(C) 3p (1 p) .(D) 6p (1 p).答案：(C).(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x), fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y y条件下，X的条件概率密度 fXY(x y)为()(A

5、) fx( X)(B)fY(y).(C)fx(x)fY(y).(D)fx(x)fY(y)答案：(A).二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上答案:(12)设 f (u, v)为二元可微函数,z f (xy, yx),则一Zx答案：fi(xy, yx)yxy 1f2(xy,yx)yx|n yx(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y 3y 2e2x的通解为y答案：非齐次线性微分方程的通解为 yC1ex C2e3x 2e2x(14)设曲面 ：x答案：乙(xy)ds(15)设距阵A答案：r A31.z 1,则o(xy)dsydS3-3 4 30,则A3的秩为

6、11(16)在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于§的概率为3 答案：3.4三、解答题：1724小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分11分)求函数f (x,y) x22y2 x2y2,在区域 D (x,y) x22y 4,y0上的最大值和最小值.答案：函数在D上的最大值为f(0,2)8,最小值为f(0,0)0.(18) (本题满分10分)计算曲面积分I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy其中 为曲面z1 x22邙0 z “的上侧.答案：I .(19) (本题满分11分)设函数f(x),

7、 g(x)在 a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f (a)=证明：设(x) f(x)g(x),由题设f(x), g(x)存在相等的最大值,设X1(a,b), X2(a,b)使 f (xjmaxf (x)g(x2)maxg(x).若xx2,即f (x)与g(x)在同一点取得取大值，此时,取X1,有 f ()g()；若xX2 ,不妨设X1 X2 ,则(xj f(xjg(xj 0,(X2) f(X2) g(X2)0 ,且(x)在 a,b上连续,则由零点定理得存在(a,b),使得()0,即f() g()；由题设 f(a) = g(a), f(b) = g(b),则(a)0(b)

8、,结合()0,且(x)在 a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a, ),2 ( ,b),使得(1)= 0,(2)0.在1, 2再由罗尔定理，存在 (1, 2),使 ()0.即f ( ) g ().(20) (本题满分10分)设幕级数anxn在(，)内收敛，其和函数y(x)满足y 2xy 4y 0,y(0) 0, y (0)1.n 02(I) 证明 an 2an,n 1,2,L .n 1(II) 求y(x)的表达式.答案：(I)证明：对yanxn ,求一阶和二阶导数n 0n 1nanx, y1n(n 1)an2代入2xy4y0,得 n(n 1)anxn 2

9、2xn 2nnn a“x1n ca“x 0 .0(II)(n2a21)an4a0 (2 2any xex.(n 1)(n2)an 2Xn 00 n 1,2,L ,从而 an 22n anxn 14anXnn 00.2an, n n 11,2,L .(21) (本题满分11分)X2X30设线性方程组2x2ax30(1)与方程x-i 2x2X3a 1 (2)有公共解，求a得X14x22 aX30值及所有公共解1110答案：当a 1时,(Ab)0100,所以方程组的通解为k(1,0, " , k为任意常数，此即为00000000当 a 2时，(Ab)11100110 ，此时方程组有唯一解0

10、0110000(0,1, 1)T,此即为方程组(1)与方程组与的公共解.的公共解.(22) (本题满分11分)设3阶实对称矩阵 A的特征值11, 22, 32, 1 (1, 1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记B A5 4A3 E,其中E为3阶单位矩阵(I) 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B .答案：kk 1k 1(I)由A 11,可得A1A (A 1) A 1 L 1 , k是正整数，则B 1 (A54A3 E) 1 A5 14A3 1E 11 4 112 1,于是1是矩阵B的属于特征值 12特征向量所以B的所有的特征向量为：对应于 12的全体特

11、征向量为 k, 1,其中k1是非零任意常数,对应于231的全体特征向量为k2 2 k3 3,其中k2,k3是不冋时为零的任意常数2000 11(II) B P010 P 11 01 .0011 10(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(I) 求 P X 2Y ;(II) 求Z X Y的概率密度fz(z).答案：11x(I) P X 2Y o dx 02 (2 x y)dy2zz2,0z1,2(II) fz (z)z4z4,1z2,0,其他(24)(本题满分11分)设总体X的概率密度为f (x;)f(x,y)2 x y,0 x 1,0 y 1,0, 其他，1(x 5x2)dx0 872412(1 )x 1,其中参数(01)未0,其他知，X1,X2,.Xn是来自总体 X的简单随机样本，X是样本均值(I)求参数的矩估计量$ ；2 2(II) 判断4X是否为 的无偏估计