四川省2010届高三数学专题训练1 函数与导数（理）（2010年3月成都研讨会资料）旧人教版

1、专题一 函数与导数测试一、选择题1.（08北京文5）函数f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函数为( )A. f-1(x)=1+(x>1)B. f-1(x)=1-(x>1)C. f-1(x)=1+(x1)D. f-1(x)=1-(x1)2.（06江西理）某地一年的气温Q（t）（单位：ºC）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10 ºC，令G（t）表示时间段0,t的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）10ºcG(t)10ºcG(t)G(t)10ºcttt1266O

2、12612OO图（1） BAD10ºcG(t)O612tCG(t)10ºc612tO 3.（08全国II理3）函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称4.（08江西理3）若函数的值域是，则函数的值域是 A，3 B2， C， D3，5.（08安徽理11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）ABC D6.（08天津理9）已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则( )(A) (B) (C) (D) 7（06全国II理）函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为( )A B C D 8.（08湖北理5）将函数的图象F按

3、向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是A. B. C. D. 9.(08重庆理6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数10.（08江西12）已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)11.（08天津理8）已知函数，则不等式的解集是( )A. B. C. D. 12.（08辽宁理12）设是连续的偶函数,且当时是单调函数

4、,则满足的所有之和为( ) A. B. C. D.二、填空题13.（06安徽理）函数对于任意实数满足条件，若则_.14.（08天津理16）设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .15.(08上海理11)方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标. 若方程的各个实根所对应的点()（=）均在直线的同侧，则实数的取值范围是 .16已知是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令，则下列关于函数的结论：若，则函数的图象关于原点对称若，则方程有大于2的实数根若，则方程有两个实数根若，则方程有三个实数根若，则函数的图象关于点（0，-1）对称其中正确结论的序号是_三、解答题

5、17已知函数.（1）作出函数的图象.（2）求函数的单调性.（3）求集合使方程有四个不同的实数根.18已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.19定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围20.（08湖北理20）水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式

6、为（1）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.21（06陕西理）已知函数f(x)=x3x2+ + , 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. 设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（1）证明：f(x)是R上的单调增函数； （2）证明：xn<xn+1<x0<yn+1<yn; （3）证明： < .22.（04全国）已知函数的所有正数从小到大排成数列（1）证明数列为等比数列；（2）记是数列的前n项和，求专题一函数与导数测试

7、参考答案1. 所以反函数为2.结合图象及函数的意义可知选A.3.此题非常基础，由奇偶性可直接选C.4.令，则，得函数，又，知在区间上是减函数，在上是增函数，比较，知函数值域为，选B.5.用代换x得： ，解得：，而单调递增且大于等于0，选D.6.方法一：，因为，所以，所以，选A方法二：由已知得，注意到，且，而函数在上是增函数，因此有，选A.7.(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 故选D.8.平移得到图象的解析式为,对称轴方程，把带入得，令，9.方法一：赋值法：；令，令得，故选C.方法二：由条件可取所以是奇函数，故选C.10.方法一：当时，显然不成立.当时，因当即时结论显然成立；当时

8、只要即可，即故，选B.方法二：验证答案，当时，恒成立，结论成立，则选项A，D错；当时时，当时，结论成立，则选项B，D错；所以选C.11.依题意得,所以，选C12.(1)依题当满足时，即时，得，此时又是连续的偶函数，另一种情形是，即，得，满足的所有之和为13.由得是周期为4的周期函数，所以，则.14.由已知得，单调递减，所以当时，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为2.点评：第（1）题根据选择题特点利用合情推理求解；第（2）题将转化为显函数后，利用单调性求解.15.，设是和图象交点的横坐标，则是它们图象的交点.由题意这些交点都在直线的同侧.由于的图象是由的图象平移而

9、得（如右图）.（1）当这些交点同在直线上方时，的图象与在第三象限的交点也在直线上方，即点在的图象下方，故，所以；（2）同理，当这些交点同在直线下方时，的图象与在第一象限的交点也在直线下方，即点在的图象上方，故，所以；综上：或.16.本题考查函数的图象、方程与解析式的关系，考查坐标平移变换，考查学生抽象思维能力和解决问题的能力.由已知可设，又，将原图向上平移b个单位，因此函数的图象不关于原点对称，故排除.当时，的图象由的图象如下变换而得：（i）关于x轴对称；(ii)向下平移个单位（如右图所示），在的图象与x轴有交点，即有大于2的实数根，符合题意.当时， 的图象由的图象如下变换而得：（i）关于保留

10、每一点的横坐标不变，再把各点纵坐标变为原来的倍；(ii)向上平移2个单位，所得图象与x轴的交点个数不确定（如右图），故不正确.同理，当时，的图象与x轴的交点个数不确定，故不正确.函数的图象由奇函数向下平移1个单位而得，故奇函数的对称中心（0，0）同步向下平移1个单位得的对称中心为（0，-1），故正确. 综上，正确结论的序号是.17.解：（1）先作出的图象，保留轴上方的图象不变，再将其下方图象沿轴翻折到轴上方即可得函数的图象（如右）或：，分段作图即可.（2）如图可知，函数在区间上单调递减，（3）方程有四个不同的实数根等价于与的图象有四个不同的交点.设直线l: 与的图象有三个不同的交点时的斜率为，

11、则.联立 （*）令当时，方程（*）的两根，不符合题意；当时，方程（*）的两根，符合题意18.解：（1）由题设知.令.当（i）a>0时，若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；（i i）当a0时，若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是减函数；若，则，所以在区间上是增函数；若，则，所以在区间上是减函数.（2）由（）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.因为线段AB与x轴有公共点，所以.即.所以.故.解得1a0或3a4.即所求实数a的取值范围是-1，0)3，4.点评：三次函数有极值的充

12、要条件是方程有两相异实根.19：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明解：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，所以f(x)是奇函

13、数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20对任意xR成立令t=30，问题等价于t-(1+k)t+20对任意t0恒成立令，其对称轴为，当即时，符合题意.当即时，对任意恒成立解得：综上，当时f(k·3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立点评：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任

14、意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法（分离系数法）：由k·3-3+9+2得，只需使，此解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖同时注意利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.20.解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（1）当时，化简得,解得，或，又，故.当时，化简得,解得，又,故.综合得,或；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(2)由(1)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V（t）= 令V(t)=0,解得

15、t=8(t=-2舍去).当t变化时，V(t) 与V (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米点评：1.解决应用题的关键在于恰当地设元引参,建立目标函数,并确定变量的存在范围,这是将实际问题转化为建立数学模型的必由之路.2应用题的结果要符合实际意义,因此要根据应用题自身的特点正确取舍.如本题计算出有两个极值点,但由于的定义域限制需舍去一个而使得在内定义域有唯一极值点.21.解: （1）f '(x)=3x22x+ = 3(

16、x)2+ >0 , f(x)是R上的单调增函数.（2）0<x0< , 即x1<x0<y1.又f(x)是增函数, f(x1)<f(x0)<f(y1).即x2<x0<y2.又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x1<x2<x0<y2<y1.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk . 当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk