北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析（12） 圆锥曲线 理

1、十二、圆锥曲线10（2012年海淀一模理10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 答案：。7（2012年门头沟一模理7）已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线 的距离之和的最小值为（ C ）A.B.C.D.13（2012年东城一模理13）抛物线的准线方程为 ；此抛物线的焦点是，则经过和点，且与准线相切的圆共有 个答案：；。9（2012年丰台一模理9）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是_ 答案：.13（2012年密云一模理13）若双曲线的两个焦点为，P为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是_答案：1<e2

2、.9.（2012年朝阳一模理9）已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .答案：；13.（2012年东城11校联考理13）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是_.答案：。19.（2012年海淀一模理19）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且.（）求椭圆的标准方程；（）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（）证明：;（）求四边形的面积的最大值.解：（）设椭圆的标准方程为. 因为，所以.所以 . 所以 椭圆的标准方程为. （）设，.（）证

3、明：由消去得：.则， 所以 .同理 . 因为 ,所以 .因为 ，所以 . （）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 .因为 ，所以 . 所以 .（或）所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. 19.（2012年西城一模理19）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.（）求椭圆的方程；（）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（）由 ， 得 . 依题意是等腰直角三角形，从而，故. 所以椭圆的方程是. （）设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线

4、，的倾斜角互补，所以. 设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分.19（2012年东城一模理19）已知椭圆：的左、右顶点分别为，为短轴的端点，的面积为，离心率是（）求椭圆的方程；（）若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点 (为椭圆的右焦点)解：（）由已知 解得， 故所求椭圆方程为 证明：（）由（）知，设椭圆右焦点设，则于是直线方程为 ，令，得；所以，同理 所以，.所以 所以 ，点在以为直径的圆上 设的中点为，则 又，所以 所以 因为是以为直径的圆的半

5、径，为圆心，故以为直径的圆与直线相切于右焦点19. （2012年丰台一模理19）已知椭圆C：的离心率为，且经过点（）求椭圆C的标准方程；（）设直线l：与椭圆C相交于，两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设yP，yQ分别为点P，Q的纵坐标，且求证：直线过定点 解：（）依题意，所以 2分因为， 所以3分椭圆方程为 5分（）消y得 ， 6分因为，所以 ， 7分设直线MA：，则；同理9分因为 ，所以 ， 即10分所以 ，所以 ，所以 ，得 13分则，故过定点 14分19.（2012年朝阳一模理19）已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆的方程；（）

6、已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，的斜率分别为，若，试求满足的关系式.解: （）依题意， ， 所以. 故椭圆的方程为. 4分 （）当直线的斜率不存在时，由解得. 不妨设， 因为，又，所以， 所以的关系式为，即. 7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 将代入整理化简得，. 设，则,. 9分又，.所以 12分所以，所以，所以的关系式为.13分综上所述，的关系式为. 14分19.（2012年东城11校联考理19）已知顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.（1）求该抛物线的方程；（2）设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互

7、相垂直的弦,求证：恒过定点.（3）直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得为以为斜边的直角三角形.解：（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即，所以抛物线的方程为 . 4分 （2）由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得 其中 即 所以 所以直线的方程为 即 9分（3）假设（上，的解，消去得 .14分19.（2012年石景山一模理19）已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（）求椭圆的方程；（）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程解：（）由题意， -1分解得. -2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线与轴垂直时， 此时不符合题

8、意故舍掉； -4分 当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：， 代入消去得：. -6分 设 ，则， -7分所以 . -9分原点到直线的距离，所以三角形的面积.由， -12分所以直线或. -13分19.（2012年房山一模19）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点为，离心率为（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆相交于不同的两点当时，求的取值范围解：（I）依题意可设椭圆方程为 ，则离心率为故，而，解得， 4分故所求椭圆的方程为. 5分（II）设，P为弦MN的中点，由 得 ，直线与椭圆相交， ， 7分，从而，（1）当时 (不满足题目条件)，则 ，即 ， 9分把代入得 ，解得 ， 10分

9、由得，解得故 11分（2）当时直线是平行于轴的一条直线， 13分综上，求得的取值范围是 14分19（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）.平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0)，且交椭圆于A，B两不同点.（I） 求椭圆的方程；（II） 求m的取值范围；（III） 求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解：（I） 设椭圆的方程为(a>b>0)由题可得所求椭圆的方程为 . 4分（II）直线OM且在y轴上的截距为m,直线l方程为：y=x+m.联立消y化简得直线交椭圆于A，B两点，解得又因为m0.m的取值范围为-2<m<2且m0. 8分（III）设直线MA、MB的斜率分别为，则问题只需证明.设A,B则.由（2）又代入整理得 .从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形. 13分19（2012年门头沟一模理19）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线