二阶导数的用法及零点尝试法

1、二阶导数的用法及零点尝试法5x2 (a 3)x 1恒成立，求实数a 2导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后 通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过 这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根, 甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极 大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数, 再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。例 1. f (x) ex 2x2 3x,当 x 1时，f (x) 2的取值范围。. 一5 2解析：f (x

2、) -x (a 3)x 12ex 2x2 3x x2 (a 3)x 1,则2x 1 2/e -x 12在 xx1 ,-上恒成立2x 1 2 de -x 1令g(x) 2xx12de (x 1) - x 1 则 g (x) /x令 h(x) ex(x 1)x(ex 1)11当x 时，h (x) 0怛成立，即h(x) h()221 所以 g(x) 0, g(x)在1,2)上单调递增，肥)(2)2江:二阶导的用法：判断f (x)的单调性则需判断f (x)的正负，假设f (x)的正负无法判断，则把' » ' 、 、 . 、一 . ._.f (x)或者f (x)中不能判断正负的

3、部分(通常为分子部分)设为新函数 g(x),如果通过对g(x)进仃求导继而求取值，右 g(x)min 0或g(x)max 0则可判断出f (x)的正负继而判断f(x)的单调性，流程如下图所示：一阶导 数无法 判断单但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2.已知函数f(x) (x 1)ln x x 1 ,证明：当0 x 1时，f (x) 0x 11解析：f (x) In x 1 In x 无法求根也无法判断正负xx11 x 1f (x)14J1，令f (x) 0,则 x1x x x、._ "_' 、_

4、. . »_ "_ '、.、.当x 1时，f (x)0,f(x)单调递增；当0x1时，f (x) 0, f (x)单调_ ' _ ' 一一一 _ > 递减，f (x)minf(1)10,所以f(x)在0x1上单调递增即 f(x) f(x)maxf (1) 0但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶 导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝 试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得 出需要的一阶导数的最

5、值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是 否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个 零点为x0,但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合 I一 、，一 、一一 . 一.' '题意区间的x0,例如确定出x0在某数之前或某数之后，但是所设的x0满足f (x°)=0,通过这个式子可以得到一个关于x0的等式，然后所设的点 x0肯定是原函数唯一的最值、 、 , . .点，因此若求原函数的最值则需要结合f (Xo) 0这个等式，有的时候能求出一个不包含x0的最值或者含有x0一个很简单的数或式子，不过此方法并非

6、无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。零点尝试法应用举例:例3.已知函数f (x) exln(x m),当 m2时，证明f (x) 0解析：原题可以理解为当m 2 时，f(x)ex ln(x 2)0在定义域内恒成立'x 1f(x) extf (x) e(x 2)2所以f1(x)在定义域内单调递增,设在定义域内存在x0使得f (x) 0所以(2,x。)时，f (x)(x0,)时，f (x)f(x)minf(x。)ex00,0,f

7、(x)单调递减f(x)单调递增ln(x0 2)x01(%) e -x02由得f(x)minf (x0)2e 0故当m 2时，证明f (x) 0例4.已知函数f(x) xln x ax ,若对任意x (1,), f (x) k(x 1) ax x恒成立，求正整数k的值。x ln x x解析：问题可转化为当x (1,)时，k x1nx x恒成立x ln x 2(x 1)2x 1xln x x 设 h(x) , h (x)x 1人1令m(x) x ln x 2, m (x) 1 一 0所以m(x)在je义域内单调递增xm(x)minm(1)1 (没有用)注意二阶导失灵了m(3) 1 ln3 0, m

8、(4) 2 ln 4 0所以存在 x0 (3,4)使得m(xo) x0 ln x0 2 0'、一.4当 x (1,X0), m(x) 0, h (x) 0, h(x)单调递减当 x (x0,),m(x) 0, h(x) 0, h(x)单调递增h(x)minh(x0)X0 In X0xoxo(lnx0 1)Xo 1x0 1又因为 m(x0) x0 In x0 2(lnx0 1) 0由由得h(x)minh(x0)x0所以 k x0,k 1,2,3例5 ,设函数f (x) f(x) g(x) oln(x1) ax2x 1,g(x) (x1)ex2 ax解析：g(x) f (x) (x1)ex

9、ln(x 1)，令 h(x)(x 1)exln( x 1) x 1x xh(x) xe x 1x(ex(x 1)ex1(x 1)2一一 ' . _ » .所以h(x)在(1,)上单调递增，h (x)minh (1) lim h (x)x 1(此时二阶导失效)因为h(1) 0,h (2) 0且h(x)在(1,)单调，因此h(x)一个零点设为x00在定义域内有且只有、 » , 当x x0时，h(x) 0, h(x)单调递增当1 x x0时，h (x) 0, h(x)单调递减所以 h(x)min h(x0) (Xo 1)ex° ln(x0 1) x0 1xx0h

10、 (X0)X0e 0X0 1联立可得h(x)min 0所以 h(x) g(x) h(x) 0,即 f(x)g(x)例6.已知函数f (x) ex ln(x m),当m2时,证明f (x)解析：函数的定义域为(m, ) , f (x)x 1e , f (x)x m' > , ' > ,、-、 ,_.一，-一一此时£仁)在(m,)上单调递增，由于 £(*)在*m处无息乂，因此用极限判断最小值f'(x)min f'( m) lim (ex 1-) e m lim -1(二阶导失灵)xm x mxmxm*目前只知道f'(x)单调递增，f'(x)是否有零点不确定，因此还需要判断f'(x)零点的个数，令 f (x) ex 1一 0 ,即 m e x x ,设 g(x) e x x , f (x) x m有没有零点等价于y m和g(x) e x x有没有交点因为g'(x) ex 1 0, g(x)单调递减，因为g( m) em m m, lim g(x) 故可知 y m和 g(x) e x x有一个交点， x即f (x)有一个零点。*f(x)单调递增；当 x x0时,设f (x)的零点为x0 ,当x %时, 一一一f (x) 0, f(x)单调递减，所以x又因为f&