二项式定理教学设计原创精品

1、二项式定理(一)教学设计一、教学设计1 .教学内容解析二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习后一章“随机 变量及其分布”的基础。中学教材中的二项式定理主要包括：二项式定理的推导，通项公式， 杨辉三角，二项式系数的性质等。通过二项式定理的学习，要求学生掌握“猜想-归纳-论证”的数学思想，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能；进一步体会 过程分析与特殊化方法等的运用；二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为，证明中符 号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。本节课起到了承上启下的作用，是对之前所学 计数原理的巩固，也是对之后随机变量及其分布(特别是超几

2、何分布)作铺垫。而在高等数 一，、一一 1c学中它是许多重要公式的共同基础， 根据二项式定理的展开，可以得到优美的lim (1 -)n=e n n- 2.7182812 .学生学情分析二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一类特殊的多项式，表现为 二项式的乘方的展开式，也是解决某些整除、近似计算等问题的重要方法之一。学生在初中 是以多项式的乘法展开为载体，从具体式子感知多项式的展开。学生进入高中一年多的数学 学习后，在数学符号化、公理化、抽象化等方面得到了有效的锻炼，逻辑推理能力、转化与 化归等数学思想方法得到了训练，特别是，前一节学习了计数原理后，对该节课推导二项式 定理奠定了

3、基础。从学生现阶段的思维特点分析，大部分学生解决(a b)n展开式采用的是的不完全归纳法(猜想)，与初中学习的多项式的展开结合起来，从 (a b)、(a b)2、(a b)3、 (a b)4的展开式的形式特点等方面进行类比，教师可以因势利导，让学生体会从一般到 特殊的数学思想方法。然而，n无穷大时，能保证展开式包成立吗？3 .教学策略分析考虑到本节课要让学生在以下几个方面得到收获：一是掌握二项式定理的推导过程(生长性)；二是基础知识，准确理解数学概念(项、项的系数、二项式系数、通项公式 等)，并能灵活运用数学思想方法；三是“猜想一证明一一归纳”的一般规律及方法。基 于学生的认知基础和现阶段的数

4、学思维水平，故本节课从学生已有的认知作为出发点，先 让学生计算(a b)2 ? (a b)3 ? (a b)4 ?在繁琐的计算过程中激发学生去思考更有效的方法解决该问题。采用了数学探究式教学模式组织教学，在解决简单具体问题 的基础上，抽象出解决一般问题的方法，让学生亲身经历“提出问题一解决问题一总结规律”，培养学生独立思考、自主探索、合作交流的学习意识和习惯。更是设置“问题用”，促进学生深层次思考。在教学过程中，设置“创设问题情境，因疑惑而激趣一一亲身体验，探索新知一一合作 探究，总结规律一一典型例题分析一一强化训练，巩固提升”让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析概括的能力，以及化

5、归意识。教学中教师充分发挥主导作用，营造民主、平等、和谐、积极的课堂氛围，充分调动学 生学习的积极性，以数学问题情境为立足点，为学生自主探索、合作交流提供足够的时间和 空间，放手让学生独立思考，大胆实践，在已有知识和经验的基础上主动建构。并由此获得 成功的体验，激发学生学习数学的兴趣和学好数学的信心，践行贵州师范大学吕传汉教授“教思考，教体验，教表达”的理念。4 .教学目标设置知识与技能：(1)理解并掌握二项式定理，能利组合思想证明二项式定理；(2)能利用通项公式求某一项的系数。过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，

6、体会从特殊到一般的思维方式。情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数 学语言的简洁和严谨。教学重点：用计数原理分析(a b)2、(a b)3的展开式，推导二项式定理；教学难点：利用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式形成单项式之和时各项系 数的规律。二、教学过程1 .创设问题情境，因疑惑而激趣教师：请同学们计算下面两个题：(a b)2 ?(a b)3 ?【教师巡视2分钟，学生用初中多项式的乘法展开(a b)2 a2 2ab b2 ,(a b)3=(a b)(a b)2 (a b)(a2 2ab b2)教师：有的同学计算得很快哦，要不再来计

7、算一个:4_(a b) ?【观察学生反应：只有少部分学生用初中方法埋头苦干，大部分学生停下演算静静的思 考1【说明：学生i(i 1,2,3.)表示预设学生可能回答或提出的问题】学生1: (a b)4就是4个(a b)相乘，计算有点麻烦，要算到什么时候去哦！学生2:我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式。学生3:就像数列的通项公式吗？教师：你能猜想(a b)2016的展开式是什么吗？【设计意图：鼓励学生大胆猜想是教学生数学思考问题的开始，也许学生的猜想没有道理，甚至是错误的，但问题意识的种子却已在他们的头脑生根，慢慢发芽】教师：同学们，你们现在的困惑，就是牛顿当年的困惑那是1664年冬，22岁

8、的牛顿在研读沃利斯博士的无穷算术时，引发了许多思考(a b)2 ? (a b)3 ? (a b)4 ?都可以用初中多项式的乘法展开，如果你是牛顿, 接下来会思考一个什么问题呢？学生4:研究这三个式子展开式的规律，得到一般的规律。学生5: 一般情形下，当n N时，(a b)n等于多少？教师：同学们很聪明啊，和伟大的牛顿当年想的一样啊。那么，研究规律的最终目的是 想得到什么结论？今天，就让我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温他探究、发现二项式定理 的过程。教师板书：二项式定理：(a b)n ?【设计意图】从学生的认知水平出发设置问题情境，在困惑中激发学生思考解决问题方 法，让多数学生能动手动脑，不仅能

9、激发学生学习数学的兴趣，更是调动学生学习新知识的 积极性。数学不是冰冷的美丽，她是来自现实的火热思考。问题情境中渗透数学史，且紧扣 本节课的主题与重点。(点评：与数学史情境有机结合，把学生带入本课时学习主题。)2.亲身体验，探索新知教师：接下来我们来研究这个问题，应该从哪里入手呢？学生6:从上面的特殊情况入手，研究、发现它们展开后的规律，再推广到这种一般情 况。学生7:好像每一项都有a,b ,只是系数不同。学生8:不对！有一项只有a ,有一项只有bo教师：“从特殊到一般”是研究问题的常用方法。同学们观察得很仔细啊！(预设：学生应该能观察出展开式中项的规律，若观察不出来，教师适当点拨0)教师：记

10、得刚才有同学说，(a b)4就是四个(a b)相乘，刚才求得的展开式是这样的：(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b) a4 4a3b 6a2b2 4ab b4。请思考问题：展开式中各种类型的项是如何得到的？展开式中各项的系数是如何确定的？(点评：具有导向性的问题能指引学生明确研究方向，教师做到了适时点拨)学生9:分步计数原理：第一步，第一次取有两种不同的方法；第二步，第二次取有两 种不同的方法，共四步，共有24 16项。学生10:但是展开式只有5项哦，合并同类项了！【设计意图】考虑到所任教的学生是贵州省一类示范高中的实验班，基础较扎实，所以 直接用课本30页的探究作为该节课探究

11、载体。教师确定研究方向后让学生自主探究，留给学生足够的时间和空间。因为教师提出的两个问题具有明显的指向性，预设能够让学生回忆计 数原理。若学生遇到困难，教师可以回到(a b)2展开式进行点拨。【预设学生遇到困难，教师提示】(a b)2 (a b)(a b)是2个(a b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a b)再相乘时 有两种选择，选a或选b,而且每个(a b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。于 是，由分步乘法原理，再合并同类项之前，(a b)2的展开式有 4项，而且每一项都是a2 kbk(k 0,1,2)的形式。每个都不取b的情况有1种，即C；,即a2前的系数为C；;恰有1个取b的

12、情况有2种，即C2 ,即ab前的系数为C2 ;恰有2个取b的情况有1种，即C；,即b2前的系数为C；;因此，(a b)2 (a b)(a b) a2 2ab b2 C；a2 C2ab C；b2【设计意图】预设当学生思维遇阻时，降低难度，让学困生体会展开式的项及其各项系数的由来；引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导 (a 3”的 展开式提供了方法，使学生在后续的探究“法”。学生：教师：同学们分析得不错。其实，根据多项式乘法法则， (a b)4展开式的每一项都是从 这四个括号中各任取一个字母相乘得到的。 我们分析的结论是有五种不同类型的项， 第一类： 四个括号都取a相乘得

13、到a4;第二类：三个括号都取a , 一个括号取b得到a3b ;第三类， 第四类教师：A同学，你具体分析a3b有哪几种情形可以得到？它的系数 4又是如何确定的？学生A : a3b是这四个括号中一个括号取b,另三个括号取a相乘得到的，共有四种取法， 所以系数为4。教师：A同学回答得很好，观察得很仔细，很好地回答了问题，请坐！教师：接下来我们一起看其他情形。(教师多媒体动画演示)【设计意图】由比课本例题稍微难一点的具体问题启发学生再思考，目的是让学生找到 二项式展开式的各项及其各项的系数，对于学生的发现及时给予充分的表扬和鼓励。这个过 程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数

14、的简洁美”，这也 是一个内化的过程。(点评：教师动画演示，加深学生对展开式来龙去脉的理解，为合作探究作铺垫。)作铺垫。佃46/十储油十C?反展开式中每一项都是I ? #5那* T. 2)他十b尸=CjV +Cjf a2:ab2 +C/ "展开式中每一项都是cy那2. “ 佃+加=或反十小" 匚：胪 展开式中每一项都是加* 0,1, 3，4预设：若学生还是观察不出其规律，采取如下方式。可以为归纳二项式定理的通项公式说明：教师分析(a b)2展开式每一项特征， 并师生共同归纳出其表达式；(a b)3 , (a b)4由学生独立思考并展示。3.合作探究，总结规律教师：接下来我们要

15、牛顿一样的思考！问题：一般情形下，当n N时，(a b)n等于多少？【说明】将学生分成9组，每组7人，2人负责展开式书写并证明；2人负责归纳展开式 的特征；3人负责展开式的记录、展示。目的是这样分层提高了学生学习的积极性。学生小 组讨论，归纳并总结。时间是 8分钟。【多媒体展示】(a b)n C0an C；an1bC；an rbrC：bn(1) 共有n 1项；(2) 二项式系数：C0、C：、C：、.、C：、.、C：.z3 通项：Tr 1 C；anrbr3(4)注意区分项，项的系数，二项式系数这三个概念。【设计意图】通过小组合作学习，加强师生、生生之间的交流。充分体现教师主导学生 主体地位，学生

16、深层次的参考与到课堂学习，成为课堂的主人，加深对所得结论的理解，培 养学生自主、合作、交流的能力；让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，做到 吕传汉教授提出的“教思考、教体验、教表达”。【问题】各二项式系数之和是多少？即 C0 C1CnrC； ?【教师点拨】(1)将二项式定理左边a、b都赋值为1,得Cn0 c1CnCn1 2n.(2)二项式定理给出了一个恒等式，即对两项 a、b的一切取值都成立，因此对其特殊 值也成立，赋值法是解决与二项展开式系数有关问题的重要手段。在二项式定理中令b x,那么二项式定理变成一个关于x的函数f (x) (a x)n ao ax a2x2anxn。所有各项

17、系数和就是f(1)。【设计意图】适当拔高，给学生提供思考的空间，好的数学问题能点燃学生的激情，好 奇心总能激发学生有效参与课堂学习。4.典型例题分析例1:求(2人；)6的展开式., x【要求】学生4分钟自主完成，然后教师投影展示部分学生成果；预设：学生可能出现的两种解法：方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。重点强调方法二，先通分化简，再运用二项式定理展开，降低计算难度。【追问】例题中的第二项，第二项系数，第二项的二项式系数分别是多少?(点评：方法的优化有助于解决问题的“精、准、简”，不断的追问强化了学生对容 易混淆知识点理解)5.强化训练，巩固提升A组基础题(1)求(p q)7的展开式；(

18、2)求(1 2x)7的展开式的第4项的系数；(3)求(x 1)9的展开式中x3的系数；x(4)求(x3 2x)7的展开式的第四项的二项式系数；【设计意图】设置题目由浅入深，面向全体学生，巩固新知，把课本例题2安排在训练题组中。B组提升题(1)若(x a)9的展开式中x3的系数是84,则a .x(2)求(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)的展开式中含x4项的系数为.【设计意图】 设置问题在学生最近发展区，跳一跳，够得着。知识的灵活运用，对所学 新知识点有效提升。三、归纳总结(1)通过本节课的学习，你学到了哪些知识？(2)你掌握了哪些学习数学方法？【设计意图】师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见。学生自己总结，对知识点进行梳理，加深理解。四、作业布置P37习题A组第2题(2);第4题(2) (3);第5题。五、教学反思1、教学设计中，设置了 “创设问题情境，因疑惑而激趣一亲身体验，探索新知一合作探究，总结规律一典型例题分析一强化训练，巩固提升 ”五个环节层