习题课正弦定理和余弦定理综合应用练习题

1、正弦定理和余弦定理习题课 练习题姓名 学号一一一、选择题（共8小题,每小题5.0分洪40分）1 .在4ABC中，内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2 = 2a2+2b2+ab ,则八8。是（）A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形2 .在4ABC 中，若有 fl+i = cos2£,则 ABC 是（）2b1A.锐角三角形B.直角三角形 C,钝角三角形 D.直角三角形或锐角三角形3 .在 ABC 中，/ABC=工 AB=M，BC = 3,则 sin/BAC 等于（）A.速 B.眄 C,过红 D .选 1C51<154 .AABC的两边长分别为2,

2、3,其夹角的余弦值为 1,则其外接圆的直径为（）A.史 B./ C./ D, 9M 1495.若4ABC 的三个内角满足 sinA : sinB : sinC=5 ： 11 ： 13,则 ABJ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6 .在4ABC中，关于 x的方程（1 + x2）sinA + 2xsinB+（1x2）sinC=0有两个不等的实根，则 A为（）A.锐角 B.直角 C.钝角 D .不存在_ . . . smJ*sinC _7 .在 ABC 中，sinA =旧 Yr隔 c,则 4ABC 为（）A.等腰三角形 B.

3、等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形8 .在4ABC 中，若 b2sin2C + c2sin2B = 2bccosBcosC,则 4ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形二、填空题（共4小题,每小题5.0分，共20分）9 .在 ABC 中，a2- b2 = bc, sinC=2#sinB,则 A =.10 .AABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c, asinA + csinC 小 asinC = bsinB.则角 B11 .ABC 中，sin2=FT,则 4ABC 的形状为12 .在等腰三角形 ABC中，已知sinA：

4、 sinB = 1 ： 2,底边BC=10,则4ABC的周长是.三、解答题13 .在任意 4ABC 中，求证：a(sinB sinC)+ b(sinC sinA) +c(sinA sinB)= 0. (13 分)14.在ABC中，求证:（13 分）15.在4ABC 中，若（a2+b2）sin（AB）=（a2 b2） sin（A+B）,试判断 ABC 的形状.（14分）正弦定理和余弦定理习题课 练习题姓名 学号一一一、选择题（共8小题,每小题5.0分，共40分）1.在4ABC中，内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2 = 2a2+2b2+ab ,则八8。是（）A,钝角三角形B.直角三角

5、形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】由 2c2 = 2a2 + 2b2+ab 得 a2+b2 c2= ab, i所以cosC=Q2* = 3巴 = Z<0,由于C是三角形一内角，所以90°<C<180°,即三角形为钝角2ab ；三角形，选A.2.在4ABC 中，若有 a+i = cos2£,则 ABC 是（）lb1A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角三角形或锐角三角形【答案】B【解析】由o+i = cos2£,2b1得口+ 匕=1+CO5C= 1 +工,工勤 7 工所以口+b=1+#* b2ab所以 2a2+2

6、ab = 2ab + a2 + b2-c2,所以a2 + c2=b2,所以4ABC是直角三角形.3.在 ABC 中，Z ABC=3, AB=JJ, BC = 3,则 sin/BAC 等于（）A.运 10B.叵 5C.曰610D.通 s【答案】C【解析】在4ABC中，由余弦定理得AC2= BA2+ BC2-2BA BCcosZ ABC=（物2 + 322 X2 X3CO9T = 5. AC = v5，由正弦定理ac = ASsIillEAC s'ihlABC得 sinZ BAC = "屁如白 AC=axfiii=加二=Vs 后 io4.AABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦

7、值为£,则其外接圆的直径为（）3A.逑B,对C.D. 9总【答案】B【解析】设另一条边为x,则x2= 22+ 32 2X2刈Z，a.x2=9,，x=3.设两边的夹角为0, cose=工，则 sin 0= 一 .，2R= & = 2 = .EU19 迪 45 .若4ABC 的三个内角满足 sinA : sinB : sinC=5 ： 11 ： 13,则 ABJ)A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理 _n_=_=_c_ = 2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件 sinA : sin

8、B : sinC = stud sinB line5 ： 11 ： 13,可设 a= 5x, b= 11x, c= 13x(x>0),贝U COsC =>*¥+(1口产-£13*尸<0,S-SJt-lUrC为钝角，ABC为钝角三角形.6 .在4ABC中，关于 x的方程(1 + x2)sinA + 2xsinB+(1x2)sinC=0有两个不等的实根，则 A为()A.锐角B.直角C.钝角D.不存在【答案】A【解析】由方程可得(sinA sinC)x2+2xsinB+sinA + sinC= 0.方程有两个不等的实根，1- 4sin2B 4(sin2A sin

9、2C)> 0.由正弦定理=募g =隼nC，代入不等式中得b2-a2 + c2>0,再由余弦定理，有 2bccosA=b2+c2a2>0.0 <A<90°._ , , . . 7 .在ABC 中，sinA = E”eC，则 4ABC 为()A.等腰三角形8 .等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】C , -an-S* an C【解析】 由已知得cosB + cosC = ,由正弦、余弦定理得即 a2(b + c) (b + c)(b2 bc+ c2)= bc(b+ c),即 a2= b2+ c2,故 ABC是直角三角形.8.在ABC 中，若

10、b2sin2C + c2sin2B = 2bccosBcosC,则 4ABC 的形状一定是(A.等腰直角三角形8 .直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【解析】由正弦定理及已知条件，得sin2Bsin2C= sinBsinC cosBcosC.sinBsinC*QsinBsinC = cosBcosC,即 cos（B+C）=0,即 cosA= 0,. 0°<A<180o , .,.A=90o,故 ABC是直角三角形.分卷II二、填空题（共4小题,每小题5.0分，共20分）9 .在 ABC 中，a2- b2 = 7bc, sinC=2小sinB,则 A=.【答案】30。【

11、解析】由sinC = 2-/sinB及正弦定理，得 c=2#、b,把它代入 a2b2=bc,得 a2 b2 = 6b2,即 a2 = 7b2.由余弦定理，得cosA一欤 一 ”工取 他5一2，又0°<A<180°,A = 30°.10.4ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, asinA+ csinC J二asinC= bsinB.则角 B=.【答案】45。【解析】由正弦定理，得 a2+c2 qac=b2,由余弦定理，得 b2= a2 + c2-2accosB,故 cosB = .又因为B为三角形的内角，所以 B=45 .11.

12、在4ABC中，sin2= 牙，则4ABC的形状为（）A.正三角形B.直角三角形【答案】B【解析- sin2= -，遥 .cosA=M4, c 次 a2 + b2=c2,符合勾股定理.ABC为直角三角形.12 .在等腰三角形 ABC中，已知sinA： sinB = 1 ： 2,底边BC=10,则4ABC的周长【答案】50【解析】由正弦定理，得 BC : AC = sinA : sinB= 1 ： 2,又.底边 BC=10, .AC = 20, .AB = AC = 20,ABC 的周长是 10+20 + 20=50.三、解答题(共3小题,每小题13.0分，共39分)13 .在任意 4ABC 中，

13、求证：a(sinB sinC)+ b(sinC sinA) +c(sinA sinB)= 0.【答案】证明由正弦定理，令 a=ksinA, b = ksinB, c= ksinC(k>0),代入得，等式成立.左边=k(sinAsinB sinAsinC+ sinBsinC sinBsinA+ sinCsinA sinCsinB)= 0 =右边,.金一# aniji5）14 .在4ABC中，求证：7-=二匕.（13分）【答案】证明因为右边=an Acos5- B=研依阳一初依SA【解析】15 .在4ABC 中，若(a2+b2)sin(AB)=(a2 b2) sin(A+B),试判断 ABC 的形状.(13分)【答案】解 . (a2+b2)sin(A B)=(a2 b2)sin(A+B), b2sin(A+ B) + sin(AB)=a2sin(A+ B) - sin(A-B), 1- 2b2sinAcosB= 2a2cosAsinB,即 a2cosAsinB= b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a = 2RsinA, b=2RsinB, 1 sin2AcosAsinB= sin2BsinAcosB,又 sinAsinBwqsinAcosA= sinBcosB,sin 2A= sin 2B.在 ABC 中，0<2A<2t