关于实数几个基本定理

1、关于实数几个基本定理黄翔中山大学应用数学04级定理一 实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。定理二 单调有界有极限 单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。定理三 确界定理 在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。定理四 区间套定理 设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。定理五 Borel有限覆盖定理 实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性

2、定理 有界数列必有收敛子数列。定理七 Cauchy收敛原理 在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一 三是对实数连续性的描述，定理四 定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即B=，而A=RB,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不空。又单调上升，故，即A不空。由A=RB知A、B不漏。又，则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实

3、数基本定理，存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上，对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时，有。注意到，便有。故当n>N时有，于是。这就证明了。若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则。定理二证完。定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对，与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X

4、的上界。则使得。用的中点二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取。继续用二等分，如果是X的上界，则取；如果不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升有上界知有存在，使得。下证。事实上，对，当时有。又都不是X上界对每一个，使得。故对，使得。若，使得，则由知。故，使得。又都是X的上界，故对有。而，故，这是不可能的。故对，有。综上、即有。即X有上确界存在。定理三定理四：由条件知集合非空，且有上界（例如）。故由确界定理知A有上确界，记为。则对，有。同理可知集合有下确界，记为。则

5、对，有。又，由上可知。两边取极限，令有。又显然。否则由于是A的上确界，则，使得；同理，使得，则有。又由区间套的构造可知，对，记k=max（n,m），则有。故有，矛盾。故必有。故，记为r。则对，有。下证具有这一性质的点是唯一的。用反证法，如果还有另一，使得。由于对一切n成立，故,令，得，与矛盾。故这样的r是唯一的，即存在唯一的实数r，使得r包含在所有的区间里，即。定理四定理五：用反证法。设E是区间的一个覆盖，但没有E的有限子覆盖。记，二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖（否则把两区间的E的有限子覆盖的元素合起来构成一新的集合E,则E是的E的有限子覆盖，即有E的有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为

6、。二等分，则必有一区间没有E的有限子覆盖，记为。如此继续下去，得到一组实数的闭区间序列，满足(i) ；(ii)。故构成一个区间套，且每个都没有E的有限子覆盖。则由区间套定理有存在唯一的实数r，使得。又由覆盖的定义有，使得，即。又由上区间套定理的证明可知，其中。故，使得，使得 。设，则，即有覆盖。这与没有E的有限子覆盖的构造矛盾，故必有E的有限子覆盖。定理五定理六：设数列有界，即实数a,b，且a<b，有。用反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限个。（如果不然，即，对，有中有无限个。选定，再选，使。这是办得到的，因为包含数列的无限多项。再取，使。如此继续下去，便得到的一子数列。令，则有

7、。又，与反证假设矛盾）。又以这样的作为元素组成的集合显然是的一覆盖，记为E。则由Borel有限覆盖定理知有E的有限子覆盖。而E中的每个元素都只包含的有限项，有限个有限的数相加仍为有限数，故只包含的有限项。这与矛盾，故必有收敛子数列，即有界数列必有收敛子数列。定理六定理七：必要性：设在实数系中，数列有极限存在，则，使得只要，有（记）。因此只要，就有。必要性得证。 充分性：设在实数系中，数列满足：，当时，有，即是基本列。先证是有界的。事实上，取，则，使得当时，有。取定一，则有。取，则有。这就证明了是有界的。再证明有极限存在。由Bolzano-Weierstrass紧致性定理可知有子数列，使得存在，

8、记为a。下证。事实上，由题设知，当时，有。又，只要，就有。取，则只要，选取，就有。这就证明了。即有极限存在。充分性得证。综上，定理七证完。定理七定理一：对任意给定的实数R的分划A|B，A、B非空，可任取点。又分划满足不乱，。用的中点二等分，如果，则取；如果。则取。（分划满足不漏，对任意实数，或者属于A，或者属于B。故或。）继续用二等分，如果，则取；如果，则取。如此继续下去，便得到两串序列。其中单调上升有上界（例如），单调下降有下界（例如），并且（当时）。下面用柯西收敛原理来证明存在。事实上如果不然，则，有。不妨设，由单调上升有。对上式都成立（），取，并把所得的不等式相加得。其中k为不等式的个数。故，当时。而由N的取法可知对每一个k都有相应的N与之对应，即有相应的与之对应。故对，使得。即无界，与有界矛盾。故存在，记为r。下证对，有。这等价于证明对，有。事实上，由知，使。故。而对，由知。故，使。从而，这就证明了，即证明了实数基本定理。 综上，这就证明了这七个定理是等价的。而从证明过程来看：定理二定理三的方法可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一的方法可运用于定理七定理二，定理二定理四，定理