数值分析报告重点公式

1、第一章非线性方程和方程组的数值解法1)二分法的基本原理，误差:b -a2) 迭代法收敛阶：lim 国 =c0，若p=1则要求Occ<13) 单点迭代收敛定理：定理一：若当x乏a,b时，(x)e a,b且®'(x)兰I c 1, Pa,b,则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设 (x)满足：x：a,b 1时,:(x) ：= a,b I 0人律2乏 la,b ,有 护(xj -申(x2)兰I n _x2 ,0 cl cl则对任意初值x a,b 1迭代收敛，且：« xXi卅一x1 -IIi僅 一 x 兰Xi Xo1 -I定理三：设(x)在的邻域内具有连续的一阶导数，且

2、'(: ) ：1，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设 (x)在根的邻域内充分可导，则迭代格式x ;：(xi)是P阶收敛的) =0,j =1,|l(, P-1,心(：)=0(Taylor 展开证明)f (x*)4) Newton迭代法：X*彳=X*； !，平方收敛f (Xi)5) Newton迭代法收敛定理：设f (x)在有根区间La, b 1上有二阶导数，且满足：f (a)f(b) ：0 ；：f (x) = 0,x b,b 1 ；：f不变号,x a,b 1：初值 x0 a,b 】使得 f (x) f (x) ： 0 ； 则Newton迭代法收敛于根 。6）多点迭代法：f (Xi)f

3、 (Xi)f (Xij)Xi 1 XiXi 1Xif(Xi) - fd)f(Xi) f(x) 一 f(x)f(x)Xi X收敛阶：PJ '527） Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改：已知根的重数r，wfg）（平方收敛）：未知根的重数：Xi 1 二 X - '( ) ,u(x)'( )，:为 f (x)的重根，则为 u(x)的单u (Xi)f (X)根。8）迭代加速收敛方法:2XiXd2 x“Xi 2 -2Xi 1 XiXi 2二(X)=(Xi 1)当不动点迭代函数（x）在:的某个邻域内具有二阶导数，- ) = L -1,0平方收敛9

4、）确定根的重数：当 Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根Xi 1Xi _XHH2X 2 2Xi 1 Xi X 2 Xi 1XX 2 Xi 110)拟 Newton 法x"十=x" - AF(Xi)A+(Xi4 -XiF(Xi+HF(Xi)若A非奇异，则 HiAr1A卅=A十、Ai 十i u 匸 / ix =x - H "F (x )Hi 1(F(x" 1) - F(x") =(x" 1 -x")已+=已"Hi_f口 i其中A =f，（x"）=滾二 HIf I-X2f IIIX2cf2TT°

5、;xn：fnfi-X2IIIf：三角不等式:1范数：nxh =为 xi311)秩 1 拟 Newton 法：J 1 眾-A,JF(xi)i i (ri)T ,其中 ri =xi*-xi,yF(xi + F(xi) A十A +(y -Ar )卄+、(r ) rBroyden秩1方法i+=xi -HiF(xi)<(r i)T hHipHi+LHiy)(仁打i(r ) Hiy第二章线性代数方程组数值解法1) 向量范数：非负性：|x0,且x =0的充要条件是x=0 ；：齐次性:|ax|=|a|x|n12 范数：|x|2 =（迟 |対）2i 二乜范数：|x|,= maxxin丄p 范数：|x|p=

6、（迟 x p）p12）矩阵范数： ：非负性：|A|a0，且I A|=0的充要条件是 A = 0 ； ：齐次性：|ccA| =|叫| A|：三角不等式:：乘法不等式：AB| J A B"n n2 -IIA F -EEaij2<i j#JF范数:1n1范数：iia|l =maxaq，列和最大00范数：| Ah = fax瓦aij ,行和最大 空j _12 范数：| A2 = Jp（Ah A），其中 Jp（AhA） =max 州，人为 AHA 的特征值，P（A）| Al133） Gauss消元法（上三角阵）：Mn3 ；3一 1 3Gauss-Jordan 消兀法（对角阵）：Mn3 ；

7、2列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法： ：Doolittle分解法：A=LU L单位下三角阵，U上三角阵 ：Crout分解法：A=LU, L下三角阵，U单位上三角阵 ：Cholesky分解法：A对称正定， A = LLT , L为单位下三角阵 ：改进的Cholesky分解法：A对称正定， A二LDLT , L为单位下三角阵， D为对角阵 ：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数cond（A） - A A_1，谱条件数：cond2（A

8、）= A? A？lldxMCon d(A)卜A|A1 -Cond (A)A|A6）如果 B ：1，则I B为非奇异阵，且 （I B）7）迭代法基本原理：迭代法：xi 1二Bxi K ：（B） ：1（ lim Bi =0，迭代格式收敛）iac ：至少存在一种矩阵的从属范数，使| B 18） Jacobi 迭代：A = L D Ux，1 =（1 -D4A）xiD 无 9) Gauss-Seidel 迭代：x，1 = (L D) Ux， (L D)*b10）超松弛迭代法 x，x， T，12 111） 二次函数的一维搜索：x =x iR12）最速下降法：选择方向 Zo 二-gradf （x°

9、） = r° =b-Ax°进行一维搜索：X X ： 0r，其中 >0 -(A 0 0)(Ar ,r )13）共轭梯度法:第一步：最速下降法，P0=r°，fnb-Ax1，（r0,r1H0第二步：过x1选择P0的共轭方向p1=r1"0，其中'，过x1以p1为方1 1(r1,P1) _(AP1,P1)向的共轭直线为x1 tp1，进行二次函数的一维搜索14）一般的共轭梯度法： 第三章插值法与数值逼近n1)Lagrange 插值：Ln(x)- ' 丨 j(x) f (Xj)，j=0(x-xj H|(X-Xj)(X-Xj 1)l|l(x-xn)

10、 _Fn 1 (x)(Xj -xj (Xj -Xj(Xj -Xj 1)(Xj -Xn)(X-Xj)R.1(Xj)余项:E(x)f (n 1(') -(n 1)!巳 1（X）2） Newton插值：差商表X0f (X0)X1f (X1)fX0 X1X2f (X2)fX0 X2fX0 X1 X2X3f (X3)fX0 X3fX0 X1 X3f X0 X1 X2 X3f(x) =f(X0)fx)x(x-X0)川 fX0X川Xn(x-X0川I(x-Xnj fX0Mllx1XI(x-x)Ml(x-xn) f 5切(©)余项 E(x)二 fX0 X1 |l|XnX(X -X°)

11、川(X -Xn)Pn 1(X)(n + 1)!3）反插值n4) Hermite 插值(待定系数法) H 2n 1(x j(x) f(xj j( x) f'(xj)j=0其中:j(x)= (ax+b)l2(x),a = 2lj(Xj),b=1+2Xjlj(Xj),lj(Xj)n=zyjXjj (x) =(x-Xj)l：(x)余项:E(x)二f (2n 2)(-(2n 2)!Pn2i(x)5)分段线性插值:Lj(x) =x-Xj 1Xj _ Xj 1X -Xi f (Xj)-Xj*Xjf (Xj 1)插值基函数:X一，Xo 岂 X 岂 Xi lo(x) =Xo -Xi0,为：x <

12、xnO,Xg ： X ： Xn，ln(X)二 X -人,Xn空Xn Xn -人X_Xj,Xj4 兰 X EXj Xj _XjI x Xj 卅lj(x) =，Xj 兰X 兰 Xj 卅Xj _Xj 卅0,余项：分段余项 < M h2, M 2 = max f(2) (x)86) 有理逼近：反差商表有理逼近函数式:f(X)二 Vo(Xo)X -XoVi (Xi)7) 正交多项式的计算：定理：在a,b上带权函数 P(x)的正交多项式序列 gn(x)：，若最高项系数唯唯一的，且由以下的递推公式确定丄一 /vOt、申BdOf _ (X® n , ® n) R _ (®n

13、,®n) 书 _ 0 Cpn 1 -(X - - n) n - n n4'n)， ()， 0，0(n, n 丿(n：, n-1 丿其中(巴严j) = f P(x)W#jdxa，它便是定理3.88）连续函数的最佳平方逼近：在G - Span1,x,x2,|H，xn上，法方程为 Hnd ,其中Hn二11/2121.3IIIIII1 (n 1)1/( n+2)1，dk =(f , i) = 0 f (x) dx均方误差:最大误差:J/(n+1)1.(n 2)III1/(2 n+1)宀（ff)-(P*,f) = f 2-、a；dii=1阖 maxf -P9）离散函数的最佳平方逼近（曲

14、线的最小二乘拟合）n法方程 a ( j ；k)aj = (f, )j=0m（匚匚）八廿（人）匚以）其中7m（f, k）八'if Wk （Xi）i=0第四章数值积分1） 代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函数l厂 ）（x 一为G（x -为2）j （Xj -X。）川（Xj Xj4）（Xj -Xjjil（Xj xn）f (x)dx 化送 H j f (xj)，其中 H j =丨 j(x)dx aj=0a误差:E(f)二b f(n 1)()a (n 1)!Pn 1(X)dX定理：数值积分公式具至少有n次代数精度其

15、是差值型的3）等距节点的 Newton-Cotes公式 b a将拉格朗日差值积分公式中的差值节点x a ih即可，其中h =n（1）n_jh n n比Hj（t -i）dt，令 Cj L （Cotes 系数）则：j!（n - j）! 0 申羽b anQ(f) =(b-a)' Cjf(Xj)j =0nN-C公式的数值稳定性：当 Cj同号时是稳定的，否则不稳定， Fl兰（b-a）吃 Cj （其中j=oN-C公式至少具有 余项：n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1 次;当n为偶数时，f（n42）化）bE（f）=（2”丿 aXPn1（x）dx当n为奇数时，f(F 心 bE(f)二

16、(丿.apn1(x)dx(n +1)! a4）复化的N-C公式复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式bn' aaf（X）dX=L ：1心皿=二幼；区1）h En(f)二Tn En(f)1 h 2 巴一葛（；）2（b-a）f （）12 2f(Xj)丄4f(Xj 也)I 66f(Xj 1)复化的Simpson公式：将积分区间 n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式nhnJ 2m(Xj) f(Xj1) "ph1 hEn(f) ()4(b-a)f(4)()180 24T2n -TnsT"5) Romberg积分法0(h)=T(h)Tm(h)-

17、d)2mTm(h)4mTm(h)Tm(h)T 丄=22=2I m1-m .1_(丄)2m4 TL.2Tm(h)逼近I(f)的阶为h2(m1)hhhTo(h)To(-)To(-)To(-)248£(h)T1(h)Tj(-)6) 求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度 <=2 n+1;7) Gauss求积公式nf(x)八:j(x)f(Xj)打(x)f (Xj)E(x)j卫-E(x)二f (2 n 2)(-(2n2)!Pn2i(x)b "_-,b1(f)=a f(x)dx = a =卜j(x)f(Xj)：j(x)f (Xj) dx a E(x)dxjJbn b'b

18、a ： j(x)dxf (Xj) 、 j(x)dxf (Xj)E(x)dxa. aannHj f(Xj) 、Hj f'(Xj)j zSj z9b2b p (x)Fn 1(x)在a , b上与所有次数=n的多项式带权 三1正交 上式为Gauss求积公式、8) Gauss-Legendre 求积公式给 出Pn1(X)公 式 ：P)(X)=1、R(X)=X2(3x -1) -21 dnnPn(X)=2nn!dx(x2-1门给出区间1,-1上的求积公式，取P1(x)的零点为求积节点取P(x)零点为0bf f(x)dx=H°f(Xo)+E(f)H°=2aV3取P2零点为一三b

19、.f(x)dx =Hof(Xo) H1f(X1) E(f) H。二H°=1aa + h ha对于区间a,b 上的 Gauss求积公式，令xt,L a,b，2 2a +b b a f(x)二 f (工 厂t)二 g(t)，则:b1b ab a 1f (x)dx = Jg(t)-dt - Jg(t)dt余项：E(f)二 2 g22)、P21(t)dt,Pn1(t) =(t-to)川(t-tn)2(2n +2)! J第五章乘幂法1)基本定理：定理一：若，1, 2川Jn为A的特征值，P(X)为某一多项式，则矩阵P(A)的特征值是kk kkP( 1), P(-2)JH，P( -n)。特别地，A

20、'的特征值是l,'2,|ln。定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P,使PAP二B，则A与B有相同的特征 值。定理四：如果 A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P,使得PAP = D，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。定理五：对于任意方阵 A,存在一个酉变矩阵 Q使得QH AQ =T，其中T是一个上三角矩H阵，Q 是Q是共轭转置矩阵。推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q使QTAQ二D，其中D是对角矩阵，它的对角线元素是 A

21、的特征值，而 Q的各列即为A的特征向量，并且 QTQ二QQT = I。定理六：设A NaJn n,Ci(i =1l(,n)是以內为中心的一些圆，其半径为nnA =瓦aik ,i =1|,n，设0= |Jci，则A的所有特征值都位于区域 Q内。1,k-ii A推论:A的谱半径满足-minn(定理七：设 A为对称正定阵，则有aii'(A)n二 aik)。k 土心=maxx=0xH AxHx x1'(A)xhAx二min 其中1 x'01 Hx-0 x x是任意复向量，xH表示x的共轭转置。定理八：对任意非奇异矩阵A,有入|2 兰 P(ATA)，其中i为A的任一特征值。2)求

22、按模最大的特征值和对应的特征向量Vm =AUm 斗Amv。max(Am 4v0)max(Vm)13)1）离散化方法：Taylor展开、差商代替求导、数值积分2) Euler 公式：Iy(Xn 1) -y(Xn 1)=hf(Xn, y(Xn)y。二第六章 常微分方程的数值解法（差分法）Euler 隐式皿1）-1）©.1*1）（!阶） “0!h改进的 Euler 公式 y(Xn1)y(Xn1) Y(f(Xn,y(Xn)厂 f(xn 1,y(xn 1)( ?阶精确解)=n3）截断误差和P阶精确解：截断误差 Tn.1 =O（hP4) S 级 Runge-Kuta 法syn 1 = ynh' bikii 1K = f(Xn yh,ynih'：jkjj 1G = 0,1j = 0, ki = f(Xn,yn)2 级 Runge-Kuta 法yn 1 = yn hdk hb2k2 k1=f(Xn,yn)其中k f (Xn C2h, yn h： 2点12c212C2- 21 = g（2阶精度）C2的取值1/2 （中点公式）、2/3（ Heun公式）、1 （改进的Euler方法）5）单步法 yn1 二 yn hf（Xn,yn,h）（* ）相容性：（