教案（几何证明选讲　课时2）

1、课时2圆的进一步生疏1圆周角与圆心角定理(1)圆心角定理：圆心角的度数等于其所对弧的度数(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半推论1：同弧(或等弧)所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角等于90.反之，90的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径)2圆的切线的性质及判定定理(1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心3切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等4弦切角定理弦切角的度数等于

2、其所夹弧的度数的一半5与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相像求AC，BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC切线长定理PA，PB是O的切线(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)证明线段相等，已知PA求PB；(2)求角6.圆

3、内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角互补(2)判定定理：假如四边形的对角互补，则此四边形内接于圆1如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点求证：APBCACCP.证明由于PC为圆O的切线，所以PCAPBC，又CPABPC，故CAPBCP，所以，即APBCACCP.2(2015重庆)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，求BE的长解首先由切割线定理得PA2PCPD，因此PD12，CDPDPC9，又CEED21，因此CE6，ED3，再由相交弦定理AEEBCEED，所以BE2.3如

4、图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，求EF的长解AA，AEFACB，AEFACB，2，EF3.4.如图，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，求DE的长解在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.题型一圆周角、弦切角和圆的切线冲突例1(2015课标全国)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明

5、：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小(1)证明连结AE，由已知得，AEBC，ACAB.在Rt AEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连结OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)解设CE1，AE*，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以*2，即*4*2120.可得*，所以ACB60.思维升华(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相像，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线冲突时要留意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周

6、角或弦切角(1)如图所示，O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于A，B两点，C是O上的一点，若P70，求ACB的大小(2)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，且满意ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长解(1)如图所示，连结OA，OB，则OAPA，OBPB.故AOB110，ACBAOB55.(2)如图，连结OA，由圆周角定理知AOC60，又OAPA，在RtPOA中，PAOAtanAOC1.题型二四点共圆冲突例2如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四

7、点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明如图，连结OP，OM，由于AP与O相切于点P，所以OPAP，由于M是O的弦BC的中点，所以OMBC，于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得，A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，由于圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.思维升华(1)假如四点与确定点距离相等，那么这四点共圆；(2)假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆如图所示，四

8、边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知，A，B，C，D四点共圆，所以DCBE，由已知得CBEE，故DE.(2)如图，设BC的中点为N，连结MN，则由MBMC知MNBC，故点O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.所以ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形题型三与圆有关的比例线段例3(2015陕西)如图，AB切O于点B，直线AO 交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.

9、(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径(1)证明由于DE为O的直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED，又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)解由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3，所以AC4，所以AD3，由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.思维升华(1)应用相交弦定理、切割线定理要把握几个要害内容：如线段成比例与相像三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相像三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决冲突时要留意相像三角形学问及圆

10、周角、弦切角、圆的切线等相关学问的综合应用(1)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421，若CE与圆相切，求线段CE的长(2)(2014湖北)如图，P为O外一点，过P点作O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交O于C，D两点若QC1，CD3，求PB的长解(1)由相交弦定理得AFFBDFCF，由于AF2FB，可解得FB1，所以BE.由切割线定理得CE2BEEA，即CE.(2)由切割线定理得QA2QCQD4，解得QA2.由切线长定理得PBPA2QA4.1判定切线通常有三种方法：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)与圆心距

11、离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线2四点共圆冲突主要结合圆中有关边、角定理进行推理和说明，利用圆内接四边形的性质或判定对冲突求解3解决与圆有关的成比例线段冲突的两种思路：(1)挺直应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相像，一般思路为“相像三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应机敏把握A组专项前提练习(时间：50分钟)1(2015江苏)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明由于ABAC，所以ABDC.又由于CE，所以

12、ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.2如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点证明：OCBD.证明由于B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又由于C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.3(2015湖南)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：MENNOM180.证明如图所示，由于M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180，又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.4.如图，AB是圆O

13、的直径，直线CE与圆O相切于点C，ADCE于点D，若圆O的面积为4，ABC30，求AD的长解由题意可知圆O的半径为2，在RtABC中，由ABC30可得ACAB2，由弦切角定理可知ACDABC30，故ADAC1.5.如图，已知CB是O的一条弦，A是O上异于B，C的任意一点，过点A作O的切线交直线CB于点P，D为O上一点，且ABDABP.求证：AB2BPBD.证明AP与O相切于点A，AB为O的弦，ADBPAB，又在DBA和ABP中，DBAABP，DBAABP，即AB2BPBD.6. 如图，过O外一点P作O的切线PA，切点为A，连结OP与O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D，若PA12 cm，PC

14、6 cm，求CD的长解设O的半径为r，由切割线定理得AP2PC(PC2r)，即1226(62r)，解得r9.连结OA，则有OAAP.又CDAP，所以OACD.所以，即CD cm.B组专项力量提升(时间：30分钟)7如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，点N在O上，ANAC.证明：MDN2ACO.证明如图，连结ON，由于ANAC，ONOC，OA是公共边，所以ANOACO，故OACOAN.又OACACO，所以NACOACOANACOOAC2ACO.由于A，C，D，N四点共圆，所以MDNNAC，所以MDN2ACO.8如图，PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O

15、的直径，PC与圆O交于点B，PB1，求圆O的半径R.解由切割线定理可得PA2PBPC，即PC4，所以BCPCPB3，由于AC是圆O的直径，所以ABC90，所以AB2BCBP3，所以AC2BC2AB29312，即AC2，所以2R2，即R.9如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，求线段CF的长解设EB*，则ED*5，由切割线定理知*(*5)62，*4.ABAC，ABCACB，又ACBADB，EABADB，EABABC，AEBC，又ACED，四边形EBCA为平行四边形ACEB4，BCAE6，由AFCD