第一讲-教师全等三角形的提高拓展训练讲义(讲义)

1、第一讲 全等三角形的提高拓展训练讲义（讲义）1、 基础知识精讲 1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形

2、全等，找出对应的元素是关键2、全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大

3、小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础二、典型例题精讲板块一、截长补短【例1】 (年北京中考题)已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 【解析】 ，理由是：在上截取，连结，利用证得，利用证得，【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解析】 猜测.过点作交于点，又，而，【变式拓展训练】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？ 【解析】 猜测.在上截取，【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.【解

4、析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.【例4】 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点求证：平分 【解析】 因为、是等边三角形，所以，则，所以，则有，在上截取，连结，容易证得，进而由得；由可得，即平分【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长 【解析】 如图所示，延长到使.在与中，因为，所以，故

5、.因为，所以.又因为，所以. 在与中，所以，则，所以的周长为.【例6】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°， 求证：AD平分CDE【解析】 延长DE至F，使得EF=BC，连接AC.ABC+AED=180°，AEF+AED=180° ABC=AEFAB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即AD平分CDE.板块二、全等与角度【例7】如图，在中，是的平分线，且，求的度数. 【解析】 如图所示，延长至使，连接、.由知，而，则为等边三角形.注意到，

6、故.从而有，故.所以，.【另解】在上取点，使得，则由题意可知.在和中，则，从而，进而有，.注意到，则：，故.【点评】由已知条件可以想到将折线“拉直”成，利用角平分线可以构造全等三角形.同样地，将拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8】在等腰中，顶角，在边上取点，使，求. 【解析】 以为边向外作正，连接.在和中，则.由此可得，所以是等腰三角形.由于，则，从而，则.【另解1】以为边在外作等边三角形，连接.在和中，因此，从

7、而，.在和中，故，从而，故，因此. 【另解2】如图所示，以为边向内部作等边，连接、.在和中，故，而，进而有.则，故.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在中，又在上，在上，且满足，求. 【解析】 过作的平行线交于，连接交于.连接，易知、均为正三角形. 因为，所以，则，故.从而.进而有，.【另解】如图所示，在上取点，使得，由、可知.而，故，.在中，故，从而，进而可得.而，所以为等边三角形.在中，故，从而.我们已经得到，故是的外心，从而.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ros

8、s Honsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】四边形中，已知，求的【解析】 如图所示，延长至，使，由已知可得：，故.又因为， 故，因此，.又因为， 故，.而已知， 所以为等边三角形.于是， 故，则，从而，所以.3、 典型习题精练【例10】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形中，求的度数. 【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是的倍数，这使我们想到构造角，从而利用正三角形. 在四边形外取一点，使且，连接、. 在和中，故.从而.在中，故，从而.而，故是正三角形，.在中，故.在和中，故，从而，则.【例11

9、】 (河南省数学竞赛试题) 在正内取一点，使， 在外取一点，使，且，求. 【解析】 如图所示，连接.因为，则，故.而，因此，故.【例12】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在中，为内一点，使得，求的度数. 【解析】 在中，由可得，.如图所示，作于点，延长交于点，连接，则有，所以.又因为，所以.而，因此，故.由于，则，故.四、家庭作业优化设计 设计时间： 分钟 实际时间： 分钟 一、选择题1（2009年江苏省）如下左图，给出下列四组条件： ； ； ； 其中，能使的条件共有（ ） A1组B2组C3组D4组2.（2009年浙江省绍兴市）如上右图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的

10、点处若，则等于（ ）A B C D3. (2009年义乌)如图，在中，EF/AB,则的度数为 A B. C. D. 4. （2009年济宁市）如图，ABC中，A70°，B60°，点D在BC的延长线上，则ACD等于（ ）A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 5、（2009年莆田）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点（1）观察图形并找出一对全等三角形：_，请加以证明；EBMODNFCAEBMODNFCA（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？6、（2009年黄石市）如图，在上