第16章质点的运动微分方程

1、第16章质点的运动微分方程引引 言言2. 力学模型：力学模型：1. 动力学的研究内容：研究物体的机械运动与它的动力学的研究内容：研究物体的机械运动与它的 质量和受力情况之间的关系。质量和受力情况之间的关系。(1) 质点：具有一定质量，而其形状和大小对所质点：具有一定质量，而其形状和大小对所研究的问题不起主要作用，可以忽略研究的问题不起主要作用，可以忽略不计的物体。不计的物体。 例如：例如： 研究卫星的轨道时，卫星研究卫星的轨道时，卫星 质点；质点； 刚体作移动时刚体作移动时, ,刚体刚体 质点。质点。(2) 质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的

2、系统。组成的系统。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中普遍束的限制。质点系是力学中普遍的抽象化模型；包括刚体、弹性的抽象化模型；包括刚体、弹性体、流体。体、流体。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。限制。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。3. 动力学分类：动力学分类：质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。质

3、点动力学是质点系动力学的基础。4. 动力学的基本问题：大体上可分为两类：动力学的基本问题：大体上可分为两类：综合性问题：综合性问题： 已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束力。已知主动力，求运动，再由运动求约束力。 第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。16-1 动力学基本定律动力学基本定律 动力学基本定律是动力学的基础动力学基本定律是动力学的基础,但它们只能但它们只能直接应用于质点。对

4、于质点系直接应用于质点。对于质点系,应该将它们分别应应该将它们分别应用于每一质点用于每一质点,然后导出质点系的运动规律。然后导出质点系的运动规律。 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质杂物体系统的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是点受力与其运动变化的关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成三个基本定律，这些定律是牛顿在总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律。果基础上提出的，称为牛顿三定律。 1. 动力学基本定律动力学基本定律第一定律

5、（惯性定律）第一定律（惯性定律） 质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速质点如不受外力作用，则将保持静止或作匀速直线运动。直线运动。 质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保质点保持静止或作匀速直线运动，也就是保持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的持其运动状态不变，这种性质称为惯性。故点的匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也匀速直线运动，称为惯性运动。所以第一定律也称为惯性定律。称为惯性定律。 当质点受到外力作用，而这些作用又不互相当质点受到外力作用，而这些作用又不互相抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。抵消时，它的运动状态将按一定规律发生变化。第二定律就表明了这一变化规律。

6、第二定律就表明了这一变化规律。第二定律（力与加速度之间关系的定律）第二定律（力与加速度之间关系的定律）Fam (16-1) 质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的质点受外力作用时，将产生加速度，加速度的方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。方向与力的方向相同，大小与力的大小成正比。上式称为质点动力学基本方程。上式称为质点动力学基本方程。 当质点受到多个力作用时，该式中的力当质点受到多个力作用时，该式中的力 应为应为汇交力系的合力；从该式还可以看出，质点质量越汇交力系的合力；从该式还可以看出，质点质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性

7、越大，因此，质量是质点惯性的度量。越大，因此，质量是质点惯性的度量。F第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律） 由于作用与反作用，引起了机械运动在相互由于作用与反作用，引起了机械运动在相互作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种作用的两质点（物体）间发生转移。力就是这种机械运动转移的反映。机械运动转移的反映。 两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方两个质点间相互作用的力，总是大小相等，方向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质向相反，且沿着同一直线，分别作用在这两个质点上。点上。 在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力在静力学里，研究物体的平衡用到它。在动力学里，这一定

8、律依然成立。学里，这一定律依然成立。 以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或以牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学或经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是经典力学，在此范畴，质量、空间和时间是“绝对绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体时间和空间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时的运动速度远小于光速时，物体的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的。间和空间的影响是微不足道的。 2. 惯性参考系惯性参考系 动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称

9、动力学基本定律在其中能正确成立的参考系称为惯性参考系为惯性参考系,简称惯性系。在一般问题中简称惯性系。在一般问题中,与地球与地球固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系固接的参考系或相对于地面作惯性运动的参考系,可近似看成惯性系。可近似看成惯性系。 要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么要使车子在水平直线轨道上匀速前进，为什么还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛还需不断对它施加水平推力？这与惯性定律有无矛盾？盾？ 试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯试比较下述几种情况下站在电梯中的人对电梯地板的压力大小：地板的压力大小：(a) 电梯静止不动；电梯静止不动；(b) 电梯电梯匀速上

10、升；匀速上升；(c) 电梯匀速下降；电梯匀速下降；(d) 电梯加速上电梯加速上升；升；(e) 电梯减速下降。电梯减速下降。思思 考考 题题 16-1思思 考考 题题 16-2 以下说法是否正确？以下说法是否正确？(a) 质点如有运动则它一定质点如有运动则它一定受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；受力，其运动方向总是与所受力的方向一致；(b) 质点运动时，如速度大则它所受的力也大，质点运动时，如速度大则它所受的力也大，速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力速度小则所受的力也小，若速度为零则质点不受力；(c) 机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给机机车以某一力牵引车辆加速前进时，车辆给

11、机车的反力必小于机车对列车的牵引力。车的反力必小于机车对列车的牵引力。思思 考考 题题 16-3 若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即若不计空气阻力，自由下落的石块与向下仍（即给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？给以向下的初速）的石块，哪一个加速度较大？思思 考考 题题 16-416-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程 dd22Ftrm Fam (16-2)(16-3) 动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常动力学基本方程是矢量方程，为了便于计算，常将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称将它改写成投影式，并表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。为质点的运动微

12、分方程。yxFtymFtxm 2222dd dd(16-4) 1. 质点运动微分方程在直角坐标投影质点运动微分方程在直角坐标投影 设质量为设质量为m的质点的质点M，作平面曲线运动。取直，作平面曲线运动。取直角坐标系角坐标系Oxy，将质点受到的力与加速度在将质点受到的力与加速度在直角坐直角坐标轴上投影得：标轴上投影得：式式(16-4) 和和(16-5)是两种常用是两种常用的质点运动微分方程。可以求的质点运动微分方程。可以求 解质点动力学两类问题。解质点动力学两类问题。2. 质点运动微分方程在自然轴上投影质点运动微分方程在自然轴上投影n2tddFvmFtvm (16-5)动力学基本方程在自然轴系上

13、的投影为：动力学基本方程在自然轴系上的投影为：由运动学知由运动学知,ddttva 2nva 5) 求解未知量。求解未知量。(1) 第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）解题步骤和要点：（微分问题）解题步骤和要点： 1) 正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和正确选择研究对象；（一般选择联系已知量和待求量的质点）。待求量的质点）。 2) 正确进行受力分析正确进行受力分析,画出受力图；画出受力图； (应在一般应在一般位置上进行分析位置上进行分析)。3) 正确进行运动分析；（分析质点运动的特征正确进行运动分析；（分析质点运动的特征量）。量）

14、。 4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程；选择并列出适当形式的质点运动微分方程；（建立坐标系）。（建立坐标系）。 5) 求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。并利用运动的初始条件，求出质点的运动。(2) 第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）解题步骤如下：（积分问题）解题步骤如下：1) 正确选择研究对象。正确选择研究对象。 2) 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，什么

15、性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。对变力建立力的表达式）。 3) 正确进行运动分析。正确进行运动分析。(除应分析质点的运动除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。特征外，还要确定出其运动初始条件）。4) 选择并列出适当形式的质点运动微分方程。选择并列出适当形式的质点运动微分方程。 桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量桥式起重机跑车用钢丝绳吊挂一质量为为m的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为v0，重，重物中心至悬挂点距离为物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点向前摆动，求钢丝绳的最大拉力

16、。悬挂点向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。解：解：1. 选重物选重物(抽象为质点抽象为质点)为为研究对象研究对象2. 受力分析受力分析3. 运动分析，沿以悬挂点运动分析，沿以悬挂点为圆心为圆心, l为半径的圆弧摆为半径的圆弧摆动。动。例题例题 16-1)1( sindd , tt mgtvmFma )2( cos , T2nn mgFlvmFma 4. 列出质点运动微分方程列出质点运动微分方程为变量。为变量。其中其中式得式得由由vglvmgF, )(cos )2(2T maxTT , 0 , )1(FF 时时因因此此重重物物作作减减速速运运动动式式知知由由 )1(20maxTglvmgF 5. 求

17、解未知量求解未知量例题例题 16-1P=mg例题例题 16-1讨论讨论(1) 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。子长度。(2) 拉力拉力FTmax由两部分组成由两部分组成, 一部分等于物体重量一部分等于物体重量,称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加称为静拉力。一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。动拉力。全部拉力称为动拉力。)1(20maxTglvmgF 例题例题 16-2 煤矿用填充机进行填充煤矿用填充机进行填充, 为保证充填材料抛到为保证充填材料抛到距离为距离为s=5 m，H=1.5 m的顶板的顶板A处。求处。求

18、(1)充填材充填材料需有多大的初速度料需有多大的初速度v0 ？ (2)初速初速 与水平的夹与水平的夹角角 0？ 不计空气阻力。不计空气阻力。0v选择填充材料选择填充材料M为研究对象，画受力图，为研究对象，画受力图，M作作斜抛运动。斜抛运动。待求待求0000000000,sin,cos; 0, 0, 0 vvvvvyxtyx yxvvHysxAMt , , , , , 瞬瞬时时解：已知力为常量，属于第二类问题。解：已知力为常量，属于第二类问题。mgP 列直角坐标形式的质点列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积运动微分方程并对其积分运算分运算 422312121dddddd0ddctcgtyct

19、cxcgttyctxmgtvmtvmyx0,sin,cos : 43002001 ccvcvc 代代入入初初始始条条件件得得2000021sin,cos :gttvytvx 则则运运动动方方程程为为2000021sin,cos :gttvytvx 运运动动方方程程为为022020cos21tan : vxgxy 则则轨轨迹迹方方程程为为代入最高点代入最高点A处值，得：处值，得： 即即 将到达将到达A点时的时间点时的时间t，x=s，y=H 代入运动方程，得代入运动方程，得, 0sindd00 gtvty ,sin00gvt gHsgv2cos00 gHv2sin00 抛射初速度大小与发射角抛射初

20、速度大小与发射角 0为：为：m/s 5 .10m/s5 . 181. 925 . 181. 92581. 922)sin()cos(22222002000 gHgHsgvvv 31 55 . 12tan 2tancossintan11000010sHvv 铅垂上抛的物体，铅垂上抛的物体，至少应具有多大的初速才可不再回至少应具有多大的初速才可不再回到地球。这一速度称为第二宇宙速到地球。这一速度称为第二宇宙速度。不计空气阻力。度。不计空气阻力。2222xmgRFRmMfmgxmMfF 所所以以因因为为2222dd xmgRtxm 建建立立质质点点运运动动微微分分方方程程例题例题 16-3 解：取物体（视为质点解：取物体（视为质点)为研究为研究对象，建立坐标，并作受力图。对象，建立坐标，并作受力图。M地球质量，地球质量，f万有引力常数万有引力常数xgRgRvv2022)2( 则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度) ,0( dd0220vvRxtxxmgRRxvmvvvxxx 时时 即：即：)dddddddddd( dd2222xvvtxxvtvtxxmgRxvmvxxxxxx 例题例题 16