正多边形和圆的计算

1、圆和正多边形的有关计算(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2015·凉山州期末)O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是()A.32B.11C.12D.23【解析】选A.如图所示,连接CO,过点O作OECD于点E,四边形AMNB是O的外切正方形,O切AB于点C,CFD是O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=a2,OCE=30°,CE=a2·cos30°=3a4,O的内接正三角形的边长为2EC=3a2,3a2a=32.2.(2015·广州越秀区期末)如图,AB与O相切于点B,OA=2,OAB=30°

2、,弦BCOA,则劣弧BC的弧长是()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.连接OB,OC,AB为O的切线,ABO=90°,在RtABO中,OA=2,OAB=30°,OB=1,AOB=60°,BCOA,OBC=AOB=60°,又OB=OC,BOC为等边三角形,BOC=60°,则劣弧BC的长为60×1180=3.3.如图,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,则AB的长为()A.5B.25C.35D.45【解析】选D.如图所示,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,AOB=360°5=72°,AB的长为

3、:72×2180=45.【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:an=2Rn·sin180°n.(2)周长:Pn=n·an.(3)边心距:rn=Rn·cos180°n.(4)面积:Sn=12an·rn·n.(5)每一个内角的度数为(n-2)×180°n.(6)每一个外角的度数为360°n.(7)中心角的度数为360°n.4.如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()A.aB.2aC.12aD.

4、3a【解析】选A.四边形ABCD是正方形,B=D=90°.则扇形ABC的弧长为l=90×a180=12a,同理可求扇形ADC的弧长为12a,树叶形图案的周长为12a×2=a.【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,树叶形图案的周长为12×2a=a.【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示:S阴影=2×90××a2360-12a2=-22a2.二、填空题(每小题4分,共12分)5.如图所示,正六边形ABCDEF内接于O,若O的半径为4,则阴影部分的面积等于_.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成

5、六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,即为圆面积的13.阴影部分的面积为423=163.答案:163如图,在扇形OAB中,AOB=90°,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在AB上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.【解析】连接OD,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在AB上点D处,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD是等边三角形,C阴影部分=90××6180+AC+CD+BD=3+12.OBD是等边三角形,DBC=OBC=30°.在RtOCB中,tanOBC=OCOB=OC6

6、,OC=tan30°×6=23.S阴影=S扇形OAB-2SOCB=90××62360-2×6×232=9-123.6.如图,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30°,把ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_cm2.【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积=扇形BAA与扇形BCC的面积差,为150360×(42-22)=5(cm2).答案:57.(2015·密云期末)如

7、图,边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,D点的坐标是_,D点经过的路径的总长度是_;当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是_.【解析】如图,正方形ABCD每滚动4次为一个周期,当点D第一次落在x轴上时,正方形ABCD滚动2次,D点的坐标是(3,0);D点经过的路径的总长度是90×2180+90×1180=2+12.每一个周期中D点经过的路径的总长度是90×2180+90×1180×2=22+1,当点D第2014

8、次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:2013×22+1+2+12=1 0072+4 0272.答案:(3,0)2+121 0072+4 0272三、解答题(共22分)8.(6分)(2015·官渡期末)如图,已知O的半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切O于点C,BC的长为83.求AOC的度数和线段AC的长.【解析】设AOC=n°n·8180=83,解得:n=60,AOC=60°.AC切O于点C,ACO=90°,A=90°-AOC=30°,AO=2OC=16,AC=AO2-OC2=162-82=8

9、3.9.(7分)(2015·南昌期末)如图,边长为4cm的等边ABC与O等高(即高与直径相等),O与BC相切于点C,O与AC相交于点E.求:(1)CE的长.(2)阴影部分的面积.【解析】(1)连接OC,并过点O作OFCE于F,且ABC为等边三角形,边长为4,故高为23,即OC=3,又ACB=60°,O与BC相切,OCBC,故有OCF=30°,在RtOFC中,可得OF=32,FC=32,即CE=3.(2)连接OE,S阴影=S扇形OCE-SOCE=120×(3)2360-12×3×32=-334.【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1

10、)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半(R=c2).(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半(r=a+b-c2).(3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即12ab=12ch.10.(9分)(2015·龙岩期末)如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O,交BC于点D,交AC于点F,过点D作DEAC,垂足为E.(1)求证:BD=DF.(2)求证:DE为O的切线.(3)若CE=2,BAC=60°,求由DC,CF与DF所围成图形的面积S.【解析】(1)连接AD.AB为O的直径,ADB=90°,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD,

11、BD=DF,(2)连接OD.AB为O的直径,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位线,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半径,DE为O的切线.(3)连接OF.AB=AC,OF=OA,BAC=60°,ABC,AFO都是等边三角形.AFO=C=60°.OFCD.ODAC,四边形DCFO是平行四边形.OD=OF,四边形DCFO是菱形.C=FOD=60°,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=CD2-CE2=23.S=S四边形DCFO-S扇形FOD=4×23-60×42360=83-83.【备选习题

12、】1.(2014·内蒙古中考)如图,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,23,以点B为圆心的弧与AD,DC相切,则阴影部分面积为()A.23-B.43-C.23-33D.43-33【解析】选A.如图,连接AC,BD,相交于点O,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE,则BEAD,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,23,S菱形ABCD=12·AC·BD=12×23×2=23,在RtAOD中,tanDAO=ODOA=13=33,DAO=30°,ABC=120°,DAB=2DAO=60°,ABD是等边三角形

13、,BE=OA=3,S扇形=120360··(3)2=,阴影部分的面积是S菱形ABCD-S扇形=23-.2.(2014·河北中考)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=_cm2.【解析】由题意可知扇形的弧长为:l=4cm,所以S扇形=12lr=12×4×2=4cm2.答案:43.(2014·荆门中考)如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与A相交于点F.若EF的长为2,则图中阴影部分的面积为_.【解析】连接AC,设A的半径为R,CD切A于点C,AC

14、CD,即ACD=90°,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90°,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45°,ADBC,FAD=B=45°,又EF的长为2,45·R180=2,解得R=2,D=B=45°,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45°,S阴影=SACD-S扇形ACE=12×2×2-45··22360=2-2.答案:2-24.(2014·抚顺中考)如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作A交A

15、B于点M,过点B作A的切线BF,切点为F.(1)请判断直线BE与A的位置关系,并说明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.【解析】(1)过点A作AGBE,垂足为G,连接AE.四边形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90°,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直线BE与A相切.(2)连接AF,BF与BG都是A的切线,由切线长定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S阴影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=AD=BC=5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30°,BAG=60°.BG=AB·cosABG=10×32=53.S阴影=SABG-S扇形AMG=12×53×5-60×25360=2532-256.5.(2014·昆明中考)如图,在ABC中,ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使A=21,E是BC上的一点,以BE为直径的圆O经过点D.(1)求证:AC是O的切线.(2)若A=60°,O的