动态几何之线形成面积

1、专题29动态几何之线动形成的面积问题数学因运动而充满活力， 数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题， 随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与"不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图 象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静 制动”，即把动态问题， 变为静态问题来解， 而静态问题又是动态问题的特殊

2、情况。以动态 几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型， 包括单动点形成的面积问题， 双（多） 动点形成的面积问题， 线动形成的面积问题， 面动形成的面积问题。本专题原创编写双（多） 动点形成的面积问题模拟题。在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。1.如图，点P是菱形ABCD勺对角线AC上的一个动点，过点 P垂直于AC的直线交菱形 ABCD勺边于 M N两点.设 AC= 2, BB 1 , AP= x, AMN勺面积为y，贝Uy关于x的函数图象大致形状是【】Ji6waA. ac. *D，a

3、【答案】C1【解析】 AMN的面积=-APX MN通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN根据所2得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1） 0vXW 1;（ 2） 1 v XV 2;A解：（1）当OvxW1时，如图，在菱形 ABCD中, AC=2 BD=1, A0=1,且 AC丄 BD；*/MNl AC, mi bdj /.AAMNAABP, .AP AIN »=JAO BD¥y=-? &XMN=T (O<X<1)；7二函数團象幵口冋上9(2 )当 1< x V 2，如图，同理证得， CDBA CNM CP =MN ,OC BD即乙泌=NM

4、 , MN=2-x;1 11 y=21APX MNxX( 2-x ),21 2y=- x +x;2/ - 1 < 0,2函数图象开口向下；综上答案C的图象大致符合. 故选：C.本题考查了二次函数的图象， 论的思想.考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力,体现了分类讨2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2经过平移得到抛物线2y = -2x4x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A. 2B . 4C . 8D . 16【答案】Bo【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，转换思想的应用。【分析】如團，过点A作ACly轴干点6过点;D作DEly轴于点E,根据抛物

5、线的对称性可知：OAB的面积等于DOE的面积，从而阴影咅吩的面积等于矩形OBDE的面积°二顶点坐标为D(l, 2).二对称轴与两段抛物线所围成的阴影咅吩的面积为:1x2=2.故选A.3. 如图，在坐标系 xOy 中， ABC中，/ BAC=90 , / ABC=60°, A( 1, 0) , B (0, J3 ), 抛物线y 3x2，bx-2的图象过C点.16(1) 求抛物线的解析式；(2) 平移该抛物线的对称轴所在直线I 当I移动到何处时，恰好将厶ABC的面积分为1 : 2的两部分？0A=1, OB=3 , AB=2 / OBA=0°。/ ABC中，/ BAC=

6、90，/ ABC=60°, AC=2 3 , BC=4,且 BC/ x 轴。如图所示，过点 C作CDLx轴于点D,则 0D=BC=4, CD=O3= /3。 C (4, J3)。点C (4, (3 )在抛物线y二3%2 +bx -2上,1631-316 42，解得：b=。162抛物线的解析式为：y二3x2 1x-2。16 2=3 。3(2)S虫BC =1 AB AC=1 2 273=23,虫BC设直线AB的解析式为y=kx+b , A ( 1, 0), B (0,刑 3 ),k b =0b = 3，解得k3ib = 3直线AB的解析式为y = - 3x 3。设直线AC的解析式为y=m

7、x+ n, A ( 1 , 0), C (4, w3 ),k b =04k b = 3解得bl直线AC的解析式为八3x3如图1所示若直线1与BC. AB分别丈于点E . F,设並=心则EF =爲| -V3x亠姜| =、迟x «11y?在ABEF中，由S1BF=iSi4EC得丄芷x = 土忑，岸得況=二 3233若直线I与BC. AC分别.交于点G、H,设2E则GC-4-x, GH = 妇车-普卜羊焯一在厶 CGH中，由 S理GH =3S出BC 得 X I4 _X 尸/3，即3Z 333VJ2x -6x 4 =0解得x =3 - 5或x =3 5 （大于4，不合题意，舍去）。当直线I解

8、析式为x=2 3或x=3 - 5时，恰好将厶ABC勺面积分为31: 2的两部分。【考点】二次函数综合题，动线问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系, 含30度直角三角形的性质，分类思想的应用。【分析】(1)根据含30度直角三角形的性质，求出点C的坐标；然后利用点 C的坐标求出抛物线的解析式。(2)分直线I与AB AC分别相交两种情况讨论即可。4. 如图，正方形 ABCD勺边长是4，点P是边CD上一点，连接PA将线段PA绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE在边AD延长线上取点F,使DF=DP,连接EF, CF路。(1) 求证：四边形 PCFE是平行四边形；(2) 当点P在边

9、CD上运动时，四边形 PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最 大值及此时CP长；若没有，请说明理由。【答案】 解：(1)v四边形 ABCD是正方形，.A D=CD ZA DP=Z CDF=90°。在 ADP CDF中, AD=CDZA DP=Z CDF DP=DF ADPA CDF( SAS。二 PA=FCZ PAD=Z FCDb/ PA=PE - PE=FCvZ PAD+Z APD=90°,Z EPA=90，/ PA D =Z DPE Z FCD =Z DPE EP/ FC四边形EPCF是平行四边形。 EP/ FC 四边形 EPCF是平行四边形。(2)有。设CP

10、=x则DP=4- x，平行四边形 PEFC的面积为S,2S =CP DF = 4 -x x = - x -2; - 4。/ a= - 1 v 0,.抛物线的开口向下，当x=2时,S最大=4。当CP=2时，四边形PCFE的面积最大，最大值为 4。【考点】四边形综合题，旋 转问题，正方形的 性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。【分析】(1)由正方形的性质可以得出AI>CD, ZADP二ZCDFTO爲可以得出ZiADPACDF,由其性 质就可以得出结论。(2 )设CP=x,则DF=4 - x平行四边形PEFC的面积为S,由工行四边羽的面

11、积公式就可以求出其解析式，再根擔二;逼数的性质就可以求出其最大值*5. 在厶ABC中，P是AB上的动点(P异于A B),过点P的直线截厶ABC使截得的三角形与 ABC相似，我们不妨称这种直线 为过点P的厶ABC的相似线，简记为P(lx)( x为自然数)(1) 如图，/ A=90，/ B=Z C,当 BP=2PA时，P (I i) P (l 2)都是过点 P 的厶 ABC 的相似线(其中li丄BC丨2/ AC),此外，还有条；BP(2) 如图，/ C=90，/ B=30,当T- =时，P (lx)截得的三角形面积为【答案】(1) 1;【解析】试题分析：(1)存在另外1条相似线.如图1所示，过点 P作I 3 / BC交AC于 Q则厶APgA ABC故答案为：1 ;(2)设P (叨截得的三角形面积为S, sjs心沁贝陡以比为I：亠4如图2所示，共有4条相似线：第1条叽1WF为馳AB中点,h"2黑出BA 2第2条 W1P为斜边AB中点，1汕眈，. £=舟BA