济南备战中考数学反比例函数综合经典题

1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）y=x和直线AB： y=-（1）求出双曲线的解析式；（2）连结CD,求四边形OCDB的面积.【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F/. Z AMO=Z CEO=Z DFB=90,直线OA： y=x和直线AB： y=x+10,/. Z AOB=Z ABO=45, /. A CEO- 4 DEBCE PCDF = BD =o J，设 D (10-m, m)，其中 m0,/. C (3m, 3m),丁点C、D在双曲线上，9m2=m (10 - m),解得：m=l或m=0 (舍去)C (3, 3),k=9,.双曲线 y=* (

2、x0)(2)解：由(1)可知 D (9, 1) , C (3, 3) , B (10, 0) ,/. OE=3, EF=6, DF=1,BF=1,S Poin； ocdb=Sa oce+S 松杉cdfe+Sa dfb222=2 x3x3+ 2 x （1+3） x6+ 2 xlxl=17,四边形OCDB的面积是17【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F,由直线y=x Ch OC和y= - x+10可知N AOB=N ABO=45,证明 CECH DEB,从而可知方=也=3,然后设设 D （10 - m, m）,其中m0,从而可知C的坐标为（3m, 3m）,利用C、

3、D在反比例函 数图象上列出方程即可求出m的值.（2）求分别求出AOCE、 DFBA、梯形CDFE的面 积即可求出答案.2.如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=x （HO） （x0）相交于点A、C,与 x轴相交于点B、D,连接AC.己知点A、B的刻度分别为5, 2 （单位：cm）,直尺的宽 度为 2cm, 0B=2cm.（1）求k的值；（2）求经过A、C两点的直线的解析式；（3）连接OA、0C,求OAC的面积.【答案】（1）解：: AB=5 - 2=3cm, 0B=2cm,.A的坐标是（2, 3）,代入尸1得3=2,解得：k=6（2）解:OD=2+2=4,63在y二牙中令x=4,解得y=

4、 2.3则C的坐标是（4, 2）.设AC的解析式是y=mx+n,2m + n = 33一 加 + 口 =一根据题意得：2,in3 / 一， 解得： 一 5 ,3 9则直线AC的解析式是y=-八+2(3)解:直角AAOB 中,OB=2, AB=3,则 九八加二)OBAB= 2x2x3=3： 3113直角ODC 中，0D=4, CD=2,则 Socd=2ODCD=2x4x2=3.3113在直角梯形 ABDC 中，BD=2, AB=3, CD= 2 ,则 S 所 abdc=2 (AB+DC) BD=2 (3+2) x2=5299则 Sa oac=Sa aob+S Wabdc - S ocd=3+ /

5、 - 3= 2【解析】【分析】（1）首先求得A的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据S oac=Sa aob+Sm形abdc - Sa ocd利用直角二角形和梯形的而枳公式求解.3.如图，已知抛物线y=-x?+9的顶点为A,曲线DE是双曲线丫=1（3*412）的一部分, 记作Gi ,且D （3, m）、E （12, m-3）,将抛物线y= - x?+9水平向右移动a个单位,得到抛物线Gz.（1）求双曲线的解析式：（2）设抛物线y= - x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧，则线段BD的长为（3）点（6, n）为

6、Gt与Gz的交点坐标，求a的值.（4）解:在移动过程中，若Gl与Gz有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和Gn于M、N两点，若MNV三，直接写出a的取值范围.kin 二 一(3k 1 k_ /一 加一3 二/【答案】(1)把D (3, m)、E (12, m-3)代入y=x得，解得5 = % ,12所以双曲线的解析式为y=；:(2) 212(3)解：把(6, n)代入y=：得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6, 2),抛物线Gz的解析式为y=- (x-a) 2+9,把(6, 2)代入 y=- (x - a) ?+9 得-(6-a) 2+9=2,解得 a=6士/,即a的值为6士.；(4

7、)抛物线Gz的解析式为y=- (x-a) 2+9,把 D(3, 4)代入 y=- (x-a) 2+9 得-(3 - a) ?+9=4,解得 a=3 - W或 a=3+% ；把 E (12, 1)代入 y= - (x - a) 2+9 得-(12 - a) 2+9=1,解得 a=12 - 2 解或 a=12+2 隹；,/ Gi与G2有两个交点，/. 3+ Va12 - 2 港，设直线DE的解析式为y=px+q,_ 1：3p +(1 = 4 P j把 D (3, 4) , E (12, 1)代入得 “2p + q = 1,解得 Q = 5 ,1：.直线DE的解析式为y=- - 3a+5) , N

8、(a & ), 2/ MN0,即(a-4) (a - 9) 0,.aV4或a9,/. a的取值范围为9a12 - 2 日【解析】【解答】解：(2)当y=0时，-x2+9=0,解得4=-3, x2=3,贝lj B ( - 3, 0),而 D (3, 4),所以BE=个（3 + 3尸十* =2 历.故答案为2dB；【分析】(1)把D (3, m)、E (12, m-3)代入y=x得关于k、m的方程组，然后解方 程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；(2)先解方程-x2+9=0得 到B ( - 3, 0),而D (3, 4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长：(3)先利用 反比

9、例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6, 2),然后把(6, 2)代入y=- (x -a) 2+9得a的值；(4)分别把D点和E点坐标代入y= - (x - a) 2+9得a的值，则利用 图象和G1与Gz有两个交点可得到3+a12 - 2后，再利用待定系数法求出直线DE的111221解析式为 yn-Sx+5,则 M (a, - 2+5) , N (a, & ),于是利用 MNV5得到-3a+5 12 2-然后解此不等式得到a9,最后确定满足条件的a的取值范围.4.如图，点P(4+l,-1)在双曲线(x0)上.I I _ I I I I、0 _ A i(1)求k的值：k(2)若正方形ABCD

10、的顶点C, D在双曲线y=A- (x0)上，顶点A, B分别在x轴和y 轴的正半轴上，求点C的坐标._ k【答案】(1)解：点P (、万，/,一，)在双曲线 一上，将X=3 + J, y=5 - /代入解析式可得：k=2；(2)解：过点D作DEJLOA于点E,过点C作CFJ_OB于点F,V四边形ABCD是正方形,3/. AB=AD=BC, Z CBA=90%?. Z FBC+Z OBA=90%Z CFB=Z BOA=90%/. Z FCB+Z FBC=90%, Z FBC=Z OAB,在 CFB和 AOB中,NCFB = NAOB NFBC = NOAB CB AB ,: & CFB合 AOB

11、 (AAS),同理可得： BOA合 AED CFB,/. CF=OB=AE=bt BF=OA=DE=a,设 A (a, 0) , B (0, b),则 D (a+b, a) C (b a+b),可得：b (a+b) =2, a (a+b) =2,解得：a=b=l.所以点C的坐标为：(1,2).【解析】【分析】(1)由待定系数法把P坐标代入解析式即可：(2) C、D均在双曲线 上，它们的坐标就适合解析式，设出C坐标，再由正方形的性质可得 CFB2 a AOBA BO的 AED2 CFB,代入解析式得 b (a+b) =2, a (a+b) =2,即可求 出C坐标.5.如图1,已知一次函数y=ax

12、+2与x釉、y轴分别交于点A, B,反比例函数丫=1经过点M.（1）若M是线段AB上的一个动点（不与点A、B重合）.当a=-3时，设点M的横坐标 为m,求k与m之间的函数关系式.k5（2）当一次函数y=ax+2的图象与反比例函数y=1的图象有唯一公共点M,且0M=）,求a的值.（3）当a=-2时，将RSAOB在第一象限内沿直线y=x平移镜个单位长度得到RSA9B,如图2, M是A9E斜边上的一个动点，求k的取值范围.当 y=0 时，-3x+2=0,2x=3,.点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)，20m 5, , DANGy = - 3x + 2 k, F -则 .

13、,k-3x+2= x ,k当 x=m 时，-3m+2=历，Wk= - 3m2+2m (0mk,直线y=ax+2 (a*0)与双曲线y= *有唯一公共点M时,/. a =4+4ak=0, ak= - Ity 二 ax + 2 则八意解得：y = i , 5: 0M= 4,/5J 野+ ()2= ( 4 ) 2 ,4a= 3(3)解：当 a=-2 时，y= - 2x+2,厂.点A的坐标为(1, 0),点B的坐标为(0, 2),将RtA AOB在第一象限内沿直线y=x平移筐个单位得到RS A9B, A (2, 1) , B (1, 3),点M是R3 A9B斜边上一动点，当点M，与A，重合时，k=2,

14、当点M，与重合时，k=3,J. k的取值范围是24k3【解析】【分析】(1)当a=-3时，直线解析式为y=-3x+2,求出A点的横坐标，由于 点M的横坐标为m,且M是线段AB上的一个动点(不与点A、B重合)从而得到m的取 A2K值范惘，由-3*+2=4,由 X=m 得 k= - 3m2+2m (0m 0)与yz= -(x0)图象上的两点，点P是y?=- ； (xVO)的图象上的一点，且 APII x轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n (m#n).备用图（1）求 APQ的面积：（2）若 APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；（3）若4 0AB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值

15、.【答案】（1）解：过点P、A、Q分别作PM 1 x轴交x轴于点M, PN -L x轴交x轴 于点N, QR上AP轴交AP釉于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是44叫二一匕2二 丁点A的横坐标为m,且在函数x上，APII x轴，且点P在函数犬上,44点A （ m,历），点P （ m,功）,4MN=m-（-m）=2m/PM= ,4S 加肥 PMNA=2mX 历=8,/四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,Sa pqm = Sa prq， Sa anq = Sa arq,S& apq=Sa prq+ S arq= / S 库形 pmna=44（2）解：当PQ工x轴时，则PQ=

16、而，AP=2m,/ PQ=AP4：.2m二历，m= MQM,0）、Q2（T,0）,当 PQ=AQ 时，则 3（0, 0）（3）解：A OAB是以AB为底的等腰三角形，OA=OB,44:A （m,历）,B（n,刀）, 4 24 %n? + （-） =，+（-） ：. mnmn=4.【解析】【分析】（1）过点P、A、Q分别作PM_L x轴交x轴于点M, PN _L x轴交x轴 于点N, QR J_ AP轴交AP轴于点R,则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩 形，根据点A的横坐标为m,利用函数解析式表示出点A的坐标和点P的坐标，最后用三 角形的面积公式即可得出结论。（2）分情况讨论：

17、当PQ=AP和当PQ=AQ时，利用等腰直角三角形和APII x轴，建立方 程求解即可：（3）利用等腰三角形的两腰相等建立方程，即可得出结论。7.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点 （1, 1） , （- 2, - 2）,（第，第），都是梦之点，显然梦之点有无数个.刀（1）若点P（2, b）是反比例函数一 A（n为常数，20）的图象上的梦之点，求这个反比 例函数解析式；(2)。0的半径是港，求出。0上的所有梦之点的坐标: 已知点M (m, 3),点Q是(1)中反比例函数一；图象上异于点P的梦之点，过点 Q的直线/与y轴交于点A, Z OAQ=45。.若在00

18、上存在一点N,使得直线MNII /或 MN/ ,求出m的取值范围.【答案】(1)解：:P(2, b)是梦之点，J. b=2/. P (2, 2) n将P (2, 2)代入)中得n=4_ 4反比例函数解析式是,一；(2)解：设。0上梦之点坐标是(3，a、：、M +左=小)2，a=l 或 a=-l。0上所有梦之点坐标是(1，1)或(-1,-1)由(1)知，异于点P的梦之点Q的坐标为(-2, -2)由已知MNII /或MNJJ/.直线 MN 为 y=-x+b 或 y=x+b当 MN 为 y=-x+b 时，m=b-3由图可知，当直线MN平移至与。0相切时，且切点在第四象限时，b取得最小值，此时MN记为

19、,其中跖为切点，A为直线与y轴的交点0 A跖为等要直角三角形，/. 0四=够o A =2b的最小值是-2,.1 m的最小值是-5当直线MN平移至与O0相切时，且切点在第二象限时, b取得最大值，此时MN记为物?，其中朋为切点，方为直线藏戕与y轴的交点。同理可得，b的最大值为2, m的最大值为-1.m的取值范围为-54ml.当直线MN为y=x+b时，同理可得，m的取值范围为Bm45,综上所述，m的取值范围为-54ml或lml时，一次函数的值大于反比例函数的值 (3)解：过点A作AEJLx轴交x轴于点E,丁点B在一次函数上，p=3+l=4,.点C在反比例函数上，.q=三, 11216：.Saabc

20、=2BCEN=2x (4 - 3) x (3 - 1) = 3 .【解析】【分析】由反比例函数经过点D (-2, -1),即可求得反比例函数的解析式；然后 求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式：结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；首先过点A作AE_Lx轴交x轴于点E,由直线I与x轴垂直于点N (3, 0),可求得点E, B, C的坐标，继而求得答案.10.如图，点A是反比例函数y广；(x0)图象上的任意一点，过点A作ABIIx轴，交（3）若不论点A在何处，反比例函数y2=A- （k0, x0),即 OC=a, AC=不，BE=OC=a, DE=A

21、C=不, 42.D纵坐标为：，B纵坐标为:， ak.D横坐标为4 , B横坐标为万， akBE=| 4 - 2 |=a,即-4 =a, ：.k= - 4.【解析】【解答】解：如图1，设AB交y轴于点C,点A是反比例函数力=*（x0）图象上的任意一点，且ABIIx轴,ABy 轴，Sa aoc=: 2 x2=l 9ao8=3,Sa boc=2.k= - 4；故答案为：-4；【分析】（1）首先设AB交y轴于点C,由点A是反比例函数yl图象上的任意一点， ABH x轴，可求得 AOC的面积，又由 AOB的面积等于3,即可求得 BOC的而积，继 而求得k的值：（2）由点A的横坐标是1,可求得点A的坐标，

22、继而求得点B的纵坐标，则可求得点B的 坐标，则可求得AB, OA, 0B的长，然后由勾股定理的逆定理，求得NAOB的度数：（3）假设y2上有一点D,使四边形AOBD为平行四边形，过D作DE_LAB,过A作AC_Lx 轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到 AOC与4DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=OC, DE=AC,设出A点的坐 标，表示出OC,AC的长，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B横坐标，两横坐标之差的 绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值.点.(1)(2)11.如图，Pi P2是反比例函数y=* （k0）在第一象限图象上

23、的两点，点A1的坐标为 （4, 0）.若匕0&与 PzA】A2均为等腰直角三角形，其中点匕、P?为直角顶求反比例函数的解析式.求P2的坐标. 根据图象直接写出在第一象限内当X满足什么条件时，经过点 乙、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=/的函数值.【答案】（1）解：过点作P迅_Lx轴，垂足为B 点4的坐标为（4, 0） , APiOAi为 等腰直角三角形, 0B=2,加= 2 OAx=2Pi的坐标为（2, 2）k将Pi的坐标代入反比例函数y= %（k0）,得k=2x2=44v =.反比例函数的解析式为“X（2）过点P2作P2c_Lx轴，垂足为C PzA】Az为等腰直角三角形 PzC=Ai

24、C设 PzC=AiC=a,则 P2 的坐标为（4+a, a）4v =-将P2的坐标代入反比例函数的解析式为兀，得4a=4十 a,解得 ai=2g 2, 32=-22-2 （舍去）P2的坐标为（2 + 2收，202）在第一象限内，当2Vxk=-2,b=2k+2=-2,直线I的解析式为y=-2x-2；1平行于y轴的直线和抛物线y=Wx2只有一个交点，,直线I过点A (-2, 2),直线 I： x=-2(3)解：由(1)知，A (-2, 2) , C (4, 8),直线AC的解析式为y=x+4,设点 B (m, m+4),C (4.8),/. BC=、历 | m-41 =&(4-m )过点B作y轴的

25、平行线BE与直线I相交于点E,与抛物线相交于点D,1D (m, 2m2), E (m, -2m-2),1：.BD=m+4- m2 , BE=m+4- (-2m-2) =3m+6,DCII EF, : & BDC BEF,BD _ BC.而一万，/ 1.m + 4 nr/- z .2- m）3m + 6BF ,/. BF=6 宓.【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A, C坐标：（2）先设出直线I的解析 式，再联立抛物线解析式，用4 =0,求出k的值，即可得出直线I的解析式：（3）设出点 B的坐标，进而求出BC,再表示出点D, E的坐标，进而得出BD, BE,再判断出 BDO BEF得

26、出比例式建立方程即可求出BF.v - a-x c （a W 0）14.如图，已知二次函数2的图象与y轴父于点A（0, 4）,与x轴交于点B, C,点C坐标为（8, 0）,连接AB, AC.（1）请直接写出二次函数 加 二用的解析式.（2）判断 ABC的形状，并说明理由.（3）若点N在x轴上运动，当以点A, N, C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此 时点N的坐标.AD = CEDE = EL【答案】（1）解：二次函数 小二用的图象与y轴交于点A（0,4）,与x轴交于点BC点 C 坐标（8,0）,64a + 12 + c = 61尸二二解得 X = 41, 3V - +X + 4，抛物线表达

27、式：/2（2）解： ABC是直角三角形.1 c 3令“，则十二, 解得 Xi=8,x2=-2,.,点B的坐标为卜2,0), 由已知可得，在RtA ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,在RtA AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80z又 BC=OB+OC=2+8=10,在仆ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ABC是直角三角形(3)解：,. A(0,4),C(8,0),AC=d，+ 9=4a以A为圆心，以AC长为半径作圆，交轴于N,此时N的坐标为(-8,0),以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N,此时N的坐标为或 (8 + A/5,0)作AC的垂直平

28、分线，交g轴于N,此时N的坐标为(3,0),综上，若点N在轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别 为(-8,0)、(8 -我用0)、(3,0)、8 + 4v3,0)【解析】【分析】根据待定系数法即可求得;(2根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后 根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根据勾股定理的逆定理即可证得 ABC是 直角三角形分别以A.C两点为圆心,AC长为半径画弧，与m轴交于三个点，由AC的垂直平 分线与c轴交于一个点，即可求得点N的坐标15.已知如图，二次函数旷=送+bx + 2的图象经过A (3, 3),与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点， ABC的外接圆恰好经过原点0.（1）求B点的坐标及二次函数的解析式：（2）抛物线上一点Q （m, m+3） , （m为整数），点M为 ABC的外接圆上一动点，求 线段QM长度的范围：（3）将 AOC绕平而内一点P旋转180。至4 AOC （点0与0为对应点），使得该三角形 的对应点中的两个点落在旷=戏+ 6* + 2的图象上，求出旋转中心P的坐标.【答案】（1）解：如图，过点A作AD_Ly轴于点D, AE_Lx轴于点E,/. Z ADC=Z AEB=90,1二次函数y =日/ +法* 2与y轴交于点C,点C坐标为(0, 2).