大一高等数学复习题(含答案).

1、复习题一、单项选择题：11、 f ( x)的定义域是（D）lg x5A 、C、,5(5,),4(4,)B、D 、,6(6,),4(4,5)5,6(6,)2B）2、如果函数 f(x) 的定义域为 1， 2，则函数 f(x)+f(x ) 的定义域是（A、1，2B、1，2 C、 2, 2D 、 2,11, 23、函数 ylg(x 21x)lg(x21x) (D)A 、是奇函数，非偶函数B、是偶函数，非奇函数C、既非奇函数，又非偶函数D、既是奇函数，又是偶函数解：定义域为 R，且原式=lg(x22+1-x )=lg1=04、函数 f ( x)1x2 (0x1) 的反函数 f1 ( x)（ C）A 、

2、1 x2B、1x2C、 1 x 2 ( 1 x 0)D 、1 x2 ( 1 x 0)5、下列数列收敛的是（C）1为奇数A 、 f ( n)( 1)n 1nB 、 f (n)n1, nn11为偶数n1, n1为奇数12 n为奇数, nC、 f ( n)n, nD、 f ( n)2n1, n为偶数1 2n, n为偶数n12n解：选项 A 、 B、 D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于 -1，选项 C 的数列极限为 06、设 yn0.111，则当 n时，该数列（C）n个1A 、收敛于0.1B、收敛于0.21D 、发散C、收敛于9解： yn0.11 11111 (11 )1010210 n910n

3、7、“ f(x) 在点 x=x 0 处有定义”是当xx0 时 f(x) 有极限的（D）A 、必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件8、下列极限存在的是（A）A 、limx(x1)B、 lim1xx2xx2 11x 21C、 lim e xD、 limxx 0x解： A 中原式lim (11 )1xxx 22xsin x9、 lim2sin x=（A ）x2xA 、1B、 2C、0D 、不存在2解：分子、分母同除以x2，并使用结论“无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量”得10、 lim sin( x 21)（ B）x 1x1A 、 1B、 2C、1D、 02解：原式 = lim ( x

4、1)sin( x21)2x21x 111、下列极限中结果等于e 的是（ B）sin xxsin x)A 、 lim (1) sin xB、 lim (1x 0xxxsin xsin xsin xC、 lim (1) xD、 lim (1)xxx0xxsin xsin xx解：A 和 D的极限为2，C的极限为1112、函数 yln | x |的间断点有（C ）个A 、 1B、 2C、3D、 4解：间数点为无定义的点，为-1、0、 113、下列函灵敏在点x=0 外均不连续，其中点x=0 是 f(x) 的可去间断点的是（B ）A 、 f ( x)11B、x1C、 f 9x)exD、f ( x)1 s

5、in xx1f ( x)e x , x0ex , x0解： A 中极限为无穷大，所以为第二类间断点B 中极限为 1，所以为可去间断点C 中右极限为正无穷，左极限为0，所以为第二类间断点D 中右极限为1，左极限为0，所以为跳跃间断点14、下列结论错误的是（A）A 、如果函数 f(x) 在点 x=x 0 处连续，则 f(x) 在点 x=x 0 处可导B、如果函数 f(x) 在点 x=x 0 处不连续，则f(x) 在点 x=x 0 处不可导C、如果函数 f(x) 在点 x=x 0 处可导，则 f(x) 在点 x=x 0 处连续D、如果函数 f(x) 在点 x=x 0 处不可导，则f(x) 在点 x=

6、x 0 处也可能连续15、设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3),A)则 f (0)=(A 、 6B 、3C、 2D 、 016、设 f(x)=cosx ，则 limf (a)f (ax)（B）x 0xA 、 sin asin aB 、C、 cosaD、cosa解：因为原式 = lim f ( a)f ( ax)f (a)x0x17、 ycos22x ，则 dy（D）A 、 (cos2 2x) (2x) dxB、 (cos2 2x) d cos2xC、 2 cos2x sin 2xdxD、2 cos 2xd cos 2x18、 f(x) 在点 x=x 0 处可微，是 f(x) 在点 x

7、=x0 处连续的（C）A 、充分且必要条件B 、必要非充分条件C、充分非必要条件D 、既非充分也非必要条件19、设 yxne2 x ，则 y ( n) (0)（A）A 、 n! ( 2) nB、 n!C、 n! ( 2) n 1D 、n!-220、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（A）A 、 y=x 2-5x+62， 3B、 y10， 2( x 1) 2C、 yxe x0，1D 、 yx1, x50，51, x521、求下列极限能直接使用洛必达法则的是（B）sin xsin xtan5xx 2 sin 1B 、 limC、 limD、 limxA 、 limxxsin 3xsin xx

8、x0xx 0222、设 f ( x)2 x3x2 ，则当 x 趋于 0 时（ B）A 、 f(x) 与 x 是等价无穷小量B 、 f(x) 与 x 是同阶非等价无穷小量C、 f(x) 是比 x 较高阶的无穷小是D 、 f(x) 是比 x 较低阶的无穷小量解：利用洛必达法则lim f ( x)lim 2x3x200 lim 2 x ln 23x ln 3ln 2 ln 3 1x 0xx 0xx0123、函数 f ( x)exex 在区间（ -1， 1）内（D）A 、单调增加B、单调减少C、不增不减D 、有增有减24、函数 yx2 在（ -1， 1）内（A ）1xA 、单调增加B 、单调减少C、有

9、极大值D、有极小值25、函数 y=f(x) 在 x=x0 处取得极大值，则必有（D）A 、 f (x0 )=0B、 f ”(x0 )0C、 f (x 0)=0 且 f“(x 0)0是函数 f(x) 在点 x=x0 处以得极小值的一个（B ）A 、必要充分条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、既非必要也非充分条件27、函数 y=x 3+12x+1 在定义域内（A）A 、单调增加B 、单调减少C、图形上凹D、图形下凹28、设函数 f(x) 在开区间（ a， b）内有 f (x)0且 f “(x)0 ，则 y=f(x) 在 (a， b)内（ C）A 、单调增加，图形上凹B 、单调增加，图形下凹

10、C、单调减少，图形上凹D 、单调减少，图形下凹29、对曲线 y=x 5+x 3，下列结论正确的是（D）A 、有 4 个极值点B、有 3 个拐点C、有 2 个极值点D、有 1 个拐点30、若f (x)dxx 2e2 xC ，则 f(x)= （D）A 、 2 x e2zB、 4xe2 zC、 2 x2 e2 xD、 2xe2 x (1x)31、已知 y2x ，且 x=1 时 y=2，则 y=(C)A 、 x2B、 x2+CC、 x2+1D、 x2+232、 d arcsinx （B ）A 、 arcsinxB、 arcsinx +CC、 arccosxD、 arccos x +C33、设 f( x

11、) 存在，则df (x)（B）A 、 f(x)B、 f (x)C、 f(x)+CD 、 f( x) +C34、若f (x)dxx 2C ，则xf (1 x 2 )dx（ D）A、 2(1x2 ) 2CB、 2(1x 2 ) 2CC、 1 (1 x2 )2CD、1 (1 x 2 ) 2C22解： xf (1 x 2 )dx1f (1 x 2 )d (1 x 2 )1 (1 x 2 ) 2C22、设f (x)dxsin xC ，则f (arcsin x)dx（D）351x2A 、 arcsinx+CB 、 sin1x2CC、1(arcsin x)2CD、 x+C2解：原式 =f (arcsin x

12、)d arcsin xsin(arcsin x)cxC36、设 f ( x)ex ，则f (ln x)dx（C）1x1A 、CB、ln xC C、CD、 lnx+Cxx解：原式 =f (ln x)d ln xf (ln x)Ce ln xC1Cxxf ( x)dxarcsin xC ，则1（B）、设dx37f (x)A 、3 (1 x2 )3CB 、1(1 x 2 )3C43C、 3 3 (1 x 2 )2CD、 2 3 (1 x2 ) 2C43解：对xf ( x)dxarcsin xC 两端关于 x 求导得xf (x)1，即 f (x)1，1x2x 1x2所以1dxx 1x 2 dx11 x

13、2 d(1 x2 )1(1 x2 ) 2Cf (x)2338、若 sinx 是 f(x) 的一个原函数，则xf( x) dx（A）A 、 xcosx-sinx+CB、 xsinx+cosx+CC、 xcosx+sinx+CD 、 xsinx-cosx+C解：由 sinx 为 f(x) 的一个原函数知f(x)=cosx ，则使用分部积分公式得39、设 f (ex )1x，则 f(x)= （B）A 、 1+lnx+CB、 xlnx+CC、 xx 2D、 xlnx-x+CC240、下列积分可直接使用牛顿莱布尼茨公式的是（A）5x3dxB、1dxdxC、4xdx1 xdxA 、23D 、 10x11

14、1 x 20( x 25) 2e xln x解：选项 A 中被积函数在 0， 5上连续，选项 B 、C、 D 中被积函数均不能保证在闭区间上连续41、2（A）| sin x | dx2B 、 2 2 | sin x | dx20sin x) dxD 、 22 sin xdxA 、 0C、(02042、使积分2kx(1x2 ) 2 dx32 的常数 k=（C0）A、40B 、-40C、 80D、 -80解：原式 = k2222k12232)d (1 x) 0k2 0(1 x2 (1 x252x1,1x 0 ，则143、设 f ( x)f (x)dx（B）1x ,0x11A 、11B、15C、11

15、D 、1532ln 2332ln 232ln 22ln 2解：10x121x023115f (x)dx(21)dx1xdx2x)(1 x)20(11ln 21302 ln 2344、 yx1)2 (t2) dt ，则 dy(t（ B）0dx x 0A、-2B 、 2C、 -1D 、1解： dy/dx=(x+1) 2(x+2)45、下列广义积分收敛的是（B）1 dxB、1dxC、1dxD、1 dxA 、xxx0 x3000x解：四个选项均属于1dx，该广义积分当p1 时收敛，大于等于1 时发散0xp二、填空题1、 ex ex dx（）解：原式 =exee x dxeexdexeex+C2、已知一

16、函数的导数为f ( x)1，且当 x=1时，函数值为3，21x 2则此函数F(x)=(arcsin x)F ( x)f ( x)F ( x)1dxarcsin x C1x2解：3F (1)arcsin1C,C23、曲线 ye x2的上凸区间是（2,2）22解： y2xe x2 , y2(2x 21)e x2 , x224、(x 2sin 2 x) cos3 xdx（）228x3 cos2 为奇函数 ，2x3 cos2xdx0解：2112 1cos4 x dx2 sin 2 x cos2 xdx2 2sin 2 2xdx20420285、若 f(x)的一个原函数是 sinx ，则f( x) dx

17、（-sinx+C）解：f (x)(sin x)cos x, f ( x)sin x, f( x)cos x6、设 f ( x)f ( x)ln( x解：f ( x)f (0)x ln( xx 2a 2 )x 2a2 ，其中 a0 ，则 f(0)（1）aln( xx2a 2 )x(112xa2)12xa 2xx 2a22x 22x2x 2a 2 )112x)1xx 2a 2(1x2x 2a22a 21a27、曲线xcostcos2 t 上对应于 t的点外的法线斜率为（1 2）y 1sin t48、设 yf (2x2 ) ，而 f ( x)tan x ，则 dy x8（2）解： dyf(2 x2

18、)(2x2 )4x tan(2x2 )dx12n19、 lim (222)（）nn1 n2nn210、设 f ( x)lim(n21)x ，则 f(x)的间断点为 x=（0）nnx1解： x 不等于0 时， f ( x)limx1n21xnxnn 11X=0 时， f(x)=f(0)=0,显然 x 不等于 0时， f(x)=1/x连续，又 lim f ( x)f (0)x 0三、计算题x 211x21、求极限 lim 222x0xsin x参考答案：x21 11 x 21 x 4o(x4 )1 x 4o( x4 )1原式 =lim 228lim8x4x48x 0x 02、求极限 lim3 1x

19、 21x(ex1)x1) ln(1 x)x 0(3参考答案：xx axxaxxxx利用等价无穷小：e1 ,1 ln, ln(1) , (1)1 原式 =32x32x1 x2lim xlim1 x1x( e1)1lim1x1limx(e1)1lim3x2x 0(ln 3)x2ln 3x 0x 2x 0x2ln 3x 0x 2x 0x23ln 33、设xa(tsin t ) ，求 d 2 yya(1cost)dx 2参考答案：dyytasin tdxxta(1cost)d 2 yd (dy)ddydtdxdx 2dxdtdxdxcost(1cost)sin tsin t1cost 11(1cost

20、) 2a(1cost)a(1 cost ) 3a(1 cost) 24、求由方程 y1xey 所确定隐函数的二阶导数d 2 ydx2参考答案：把原方程两边对自变量x 求导，得dyeyxeydydxdx解得 dy1eyeyydxxey2d 2 yde yey dy(2 y) ey(dy)(3 y) e2 y则(dxdxdx 2dx)(2y) 2(2y) 32y5、近似计算数 e 的值，使误差不超过10-2参考答案：ex1x1 x 21 x n2!n!令 x=1e1111e2!n! (n1)!要使误差 Rn103 ，只需 Rn31)!10 2( n经计算，只需取n=5, 所以e11110.1667

21、0.04170.00832.71672.722!2.55!6、讨论函数 f ( x)x3 (1x) 的凸性与相应曲线拐点参考答案：函数的定义为Rf (x) 3x 24 x3f (x)6 x12x26x(12x)由 f ( x) 0 可得 x=0,1/2列表如下：x(- ， 0)0（ 0，1/2 ）1/2（ 1/2 ，+）f ( x)-0+0-f ( x)凹拐点凸拐点凹所以凹区间为 (,0)(1 ,)凸区间为 (0,1)22拐点为（ 0，0）和 (1 , 1 )2167、 求函数 yx22的单调区间、极值点x参考答案：定义域为 (,0)(0,) 由 y2x22 x31 ，令y 0得驻点 x1，列

22、表给出单调区间及极值点：x2x2x(,0)(0,1)(1, )yf ( x)极小值 3所以，函数的单调递减区间为(,0) ， (0,1 ，单调递增区间为1, ) ，极小值点为 (1,3)8、 求由 y =x, y =x, x =2 所围图形的面积参考答案：1274A = 蝌0( x -x)d x +1(x -x d x) =-3239、设 f ( x)1 x2x 0 ，求3f ( x 2)d x exx01参考答案：方法一： 先作变量代换32)d xx 2 t1f (t)d t0(1t 2 )d t1t d tf ( x1e110 t130et14e117e1t10333方法二： 先给出 f (x2)1(x2)2x2e ( x2)x，于是2f (x 2)d x21 ( x 2)2 d x3e ( x 2)d x7e 13112310、求曲线 y( x1)3 3x 在 A（ -1 ， 0）， B（ 2， 3）， C（ 3，0）各点处