1.2-.函数展开成幂级数ppt课件

1、一、一、Taylor 级级数数熟知熟知01111,()nnxxx nnnxxaxf)()(00 现讨论任意现讨论任意 f(x) 展开成如下形式的幂级数问题：展开成如下形式的幂级数问题：问题问题:2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?1.如果能展开如果能展开, 各个系数是什么各个系数是什么?证明证明即即内内收收敛敛于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010定理定理 1 1 如果函数如果函数)(xf在在)(0 xU 内具有任意阶导内具有任意阶导数数, , 且在且在)(0 xU 内内能能展开

2、成展开成)(0 xx 的幂级数的幂级数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则其系数则其系数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展开式是唯一的且展开式是唯一的. . )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的的展开式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次逐项求导任意次,得得泰勒系数泰勒系数问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级

3、数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定. 0, 00,)(21xxexfx例例如如),2 , 1 ,0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的的麦麦氏氏级级数数为为.0)(),( xs内内和和函函数数该该级级数数在在可见可见).()(,0 xfxfs于于的的麦麦氏氏级级数数处处处处不不收收敛敛外外除除 在在x=0点任意可导点任意可导,(1)1001( )( )(),()(1)!nnnRxfxxUxn 回回忆忆：由由T Ta ay yl lo or r公公式式，余余项项 证明证明 必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn

4、 ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn 0证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收敛敛在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x),(00RxRxx 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨

5、论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性, 即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2

6、 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!) 1() 1(! 2) 1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R若若内内在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1() 1() 1() 1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1() 1() 1() 1()(2 (1

7、) (1)(1) ()(1)!nnnnxxnn 2(1) (1)!nnxn )()1(xsx 2222(1)(1) (1)2!nnxxxn )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且两边积分两边积分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x211112()() ()!nnxxxn )1 , 1( x牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x100 ( (1 1) ). .时时，收收敛敛区区间间为为

8、 ( (- -1 1, ,1 1) ); ;( (2 2) ). .时时，收收敛敛区区间间为为 ( (- -1 1, ,1 1 ; ;( (3 3) ). .时时，收收敛敛区区间间为为 - -1 1, ,1 1 ; ;0nnnC x 1 () x有有时时当当,21, 1 ) 1 , 1() 1(11132 nnxxxxx23111 3(23)!11( 1)22 42 4 6(2 )! 1, 1nnnxxxxxn 23111 31 3 5(21)!1( 1)22 42 4 6(2 )!1( 1, 1nnnxxxxnx 双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见

9、展开式, 通过变量代换通过变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等方逐项积分等方法法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn 1,1x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(3121( 1,1x 例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成

10、成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3) 1(3) 1(3) 1() 1(31332231 x!) 1 ()(nfn于于是是.3!) 1 ()(nnnf 故故,31n 三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x三三. . 欧拉公式欧拉公式的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe njxjxnjxjxe)(!1)(! 2112221(1( 1)2!(

11、2 )!nnxxn cossinxjx xcosxsin2131( 1)3!(21)!nnxj xxn cos2sin2jxjxjxjxeexeexj cossinjxexjx 欧欧拉拉公公式式( (E Eu ul le e称称为为 r r公公式式) )cossincossinjxjxexjxexjx 由由 ，知知(cossin )x jyxeeyjy 我我们们还还有有 思考题思考题2111,(,)2!.nxxxxn . .1 1运用例运用例3中求级数和的类似方法中求级数和的类似方法, 求下列幂求下列幂级数的和级数的和:213511.( 1)3!5!(21)!2nnxxxxn ),( x思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式, 求极限求极限.sinarcsinlim30 x