高等电磁理论

1、.1、 试证明亥姆霍兹定理。亥姆霍兹定理指出，在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场，由它的散度、旋度和边界条件（即限定空间体积的闭合面上的矢量场分布）唯一确定，并可写成一个无旋场和一个无散场之和。下面证明亥姆霍兹定理。在图1-1所示三维直角坐标系中有一闭合面，是闭合面所包围的有限空间。、为有限空间中任意的点，各自坐标分别为、，或者记为、。点指向点的矢量记为。图1-1利用函数的抽样性质，有限空间中任意一点处的矢量场可以写为：（1-1）方程1-1右端的积分空间为闭合面所包围的有限体积，积分变量是，此时可视为常量并且只有当它位于内时方程1-1才成立。为了对方程1-1做进一步处理，考虑使用如下等式。（

2、1-2）等式1-2的证明见附录1.1。将方程1-2带入方程1-1可得（1-3）其中积分变量为，而拉普拉斯算子是作用在上，所以交换拉普拉斯算子与积分的运算顺序不影响结果，交换两者运算顺序有：（1-4）根据矢量恒等式：方程1-4可以写为：（1-5）令：（1-6-1）（1-6-2）令：（1-7-1）（1-7-2）则方程1-5可以重新写为：（1-8）在方程1-8中，矢量场是标量的负梯度为无旋场，矢量场是矢量的旋度为无散场，这就将矢量场表示为了一个无旋场与一个无散场的和。下面对和做进一步处理。在方程1-6-1中，由于求散度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果。交换运算

3、顺序得：（1-9）根据矢量恒等式：（1-10）得：（1-11）考虑到求散度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求散度的结果为零。方程1-11右端只剩下一项：，代入方程1-9得：（1-12）考虑到等式：（1-13）其中“”作用于变量的梯度运算。等式1-13的证明见附录1.2。方程1-12可以重新表示成：（1-14）利用矢量恒等式：（1-15）可得：（1-16）将方程1-16代入方程1-14得：（1-17）对上式右端第二项使用高斯定理：（1-18）代入1-17有：（1-19）在式1-6-2中，由于求旋度运算“”作用于变量，积分运算中积分变量是，所以交换两运算的顺序不影响结果。交换运算顺序得

4、：(1-20)根据矢量恒等式：（1-21）可得到：（1-22）考虑到求旋度运算“”只作用于变量，而是关于的函数，所以对求旋度的结果为零。方程1-22右端只剩下一项：，代入方程1-20得：（1-23）再次使用等式1-13，上式可以写为：（1-24）利用矢量恒等式：（1-25）得：（1-26）带入1-24得：（1-27）利用恒等式：（1-28）方程1-27右端的第二项可以写成：（1-29）带入1-27得：（1-30）综上，亥姆霍兹定理可以描述为：在由闭合面所包围的体积中的任一矢量场可以分为用一标量函数的梯度表示的无旋场和用另一矢量函数的旋度表示的无散场两部分，即（1-31）而式中的标量函数和矢量函

5、数分别与体积中矢量场的散度源和旋度源，以及闭合面上矢量场的法向分量和切向分量有关，即（1-32a）（1-32b）上式中闭合面的法线的正方向指向闭合面外。证毕。附录11.1 证明等式 。证明：设直角坐标空间中任意两点、，坐标分别为、，或者记为、，点指向点的矢量记为。则点到的距离记为（1.1-1）对求梯度“”：（1.1-2）当时，由的表达式1.1-1可得：（1.1-3a）(1.1-3b)(1.1-3c)带入1.1-2得：(1.1-4)对标量函数求梯度：（1.1-5）将1.1-4带入上式得：（1.1-6）对矢量函数求散度：（1.1-7）其中：（1.1-8）（1.1-9）将1.1-4带入方程1.1-9

6、得：（1.1-10）将1.1-8和1.1-10带入1.1-7得：（1.1-11）在体积上对进行体积分，若积分体积中不包含点则在积分体积中恒成立，则根据1.1-11有被积函数恒等于零，积分结果自然为零。如果积分体积中包含点，此时可以选取以点为球心半径为的球面将原积分空间划分为球外和球内两个积分空间。在球外的空间中显然已不含点，所以积分结果为零。在球内积分时，利用高斯定理有：（1.1-12）其中，是以点为球心半径为的球，是球面。将1.1-6带入上式得：（1.1-13）由于位于圆心，位于球面上，所以到的距离恒等于，并且矢量的方向与球面法线方向相同，因此有（1.1-14）所以此情况下在体积上对进行体积

7、分的结果为：（1.1-15）综上，在体积上对进行体积分的结果可以表示为：（1.1-16）上式也可以表示成：（1.1-17）而三维函数的积分性质为：（1.1-18）比较1.1-17和1.1-18两式，可以得出，命题得证。证毕。1.2证明等式：。证明：因为：（1.2-1）对求梯“”度有：（1.2-2）当时，由的表达式1.2-1可得：（1.2-3a）(1.2-3b)(1.2-3c)带入1.2-2得：(1.2-4)对标量函数求梯度“”：（1.2-5）将1.2-4带入上式得：（1.2-6）以上的求梯度运算“”是作用在的，若将运算作用在上则有：（1.2-7）当时，由的表达式1.2-1可得：(1.2-8a)

8、(1.2-8b)(1.2-8c)带入1.2-7得：（1.2-9）对标量函数求梯度“”：（1.2-10）将1.2-9带入上式：（1.2-11）比较1.2-6和1.2-11有（1.2-12）即有：。证毕。2、 试证明唯一性定理。这里主要证明：（一）矢量场唯一性定理；（二）电磁场唯一性定理。（一） 矢量场唯一性定理这里所考虑的矢量场是不随时间变化的静态场。矢量场唯一性定理指出：在任一区域中，若矢量场的散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中只可能存在唯一的矢量场。分析：为证明唯一性，首先假设存在两个满足条件的矢量场，接着利用假设，若能够证明这两个矢量场相等则说明唯一性成立。证明

9、：假设存在矢量场及均满足给定条件：二者在区域中具有相同的散度和旋度即：，在包围的边界上具有相同的法向量或者切向量即：或。下证。令为差场，则在区域中矢量场的差的散度和旋度分别为：（2-1a）（2-1b）根据所假设的条件：两矢量场在区域中具有相同的散度和旋度，则有：(2-2a)(2-2b)因为无旋的场可以表示为标量场的梯度，所以根据2-2b可以令（2-3）其中是任意标量。将2-3带入2-2a得：（2-4）根据第一标量Green定理：（2-5）式中的方向为封闭面的正法线方向，标量、为任意标量，若令两个标量相同都为，则方程可写为：（2-6）将2-4带入上式得：（2-7）因为是要往证矢量场和相等即两者场

10、差为零，而由2-3可知证明为零可以转化为证明为零。在假设的条件中还给出了边界上的条件，分为两种情况：给定边界上场量的法向分量或切向分量。（1）给定边界上场量的法向分量，则有，即。根据2-3得（2-8）又由于标量场沿法向的方向导数等于它的梯度在法向上的分量，所以有：（2-9）上式表示，在边界上恒等于零，所以在上的面积分结果为零，带入2-7得：（2-10）考虑到是一个非负函数，所以在上对它进行积分所得结果为零的原因只可能是被积函数恒等于零，进而有。根据2-3有：（2-11）所以得到。（2）给定边界上场量的切向分量，则有，即。根据2-3得（2-12）又由于标量场沿切向的方向导数等于它的梯度在切向上的

11、分量，有（2-13）上式说明，在边界上标量沿的切线方向没有变化，即是标量场的等值面，因此方程2-7右端积分号中的可以提出，即（2-14）由于，则方程2-14可以写为（2-15）对使用高斯定理得（2-16）由2-4得，带入上式得（2-17）将2-17带入2-15得（2-18）这样依据情况（1）中同样的推导可以得到。综上，假设中的两个矢量场、实际是相等的，即在区域及边界上满足条件的矢量场是唯一的。矢量场唯一性定理证毕。（二）电磁场唯一性定理静电荷产生的静电场、恒定电流产生的静磁场都是不随时间变化的静态矢量场，满足上述的矢量场唯一性定理。对于随时间和空间都变化的时变电磁场也存在类似的唯一性定理。时变

12、电磁场唯一性定理表明，在闭合面包围的区域中，当时刻的电场强度及磁场强度的初始值给定时，又在的时间内，边界面上的电场强度的切向分量或者磁场强度的切向分量给定时，则在的任何时刻，体积中任一点的电磁场由Maxwell方程唯一决定。分析：微分方程是物理规律的数学表达式，因此对电磁场唯一性的证明即是对表示电磁场规律的微分方程的确定性的证明。由于微分方程的解可以是一系列满足方程的通解，所以光有微分方程还不足以准确的描述某个特定的物理现象。为准确地描述一个特定的物理现象还需要在相应的微分方程上加上特定的条件，通常包括初始状态和边界条件。综上，证明电磁场唯一性即是证明满足初始状态和边界条件的Maxwell方程

13、的确定性。下面综合微分方程和方程所满足的条件两个方面来证明定理。证明：在区域中时变电磁场满足Maxwell方程：(2-19a)(2-19b)(2-19c)(2-19d)由Maxwell方程可以得到时变电磁场的能量定理(2-19e)设有两组解，及，均满足Maxwell方程及能量定理，由于Maxwell方程及能量定理都是线性的，因此差场及也满足Maxwell方程以及能量定理。所以有2-20由于场差矢量和可以分解为两个互相正交的方向上的分量之和（选取面的切向和方向两个正交的方向）2-20a2-20b其中、为场差的切向分量，、为场差的法向分量。所以2-21当边界上的电场强度切向分量或者磁场强度的切向分

14、量给定时，边界上的差场切向分量或，所以上式中第一项为零。此外，所以上式只剩下中间两项。带入2-20中的积分，有（2-22）由于矢积和的方向一定垂直于法向n方向。所以上式积分结果必为零。2-20可重新写为2-23由于上式右端被积函数只可能大于或者等于零，即（2-24）所以（2-25）上式积分值对时间求导结果非正表示该积分值随时间增加而减少或者不随时间变化。又由于根据初始条件，时刻的场强及是给定的，那么时刻的差场，故时刻的积分值。因此，2-25中积分的值只可能小于零或等于零，即（2-26）另一方面，从物理意义上来看，上式积分代表电磁场能量，它只可能大于零或等于零。因此该积分只可能为零。由此得，差场

15、为零，即，唯一性得证。电磁场唯一性定理证毕。3、 试证明镜像原理镜像原理是根据唯一性定理求解某些具有理想导体边界的电磁场边值问题的一种方法。镜像原理指出：当位于区域外的一个或有限个镜像源满足一定要求时，可以用来代替边界的影响，镜像源与真实源在区域中共同产生的场与原来区域中的场相等。分析：电磁场所在的区域通常是有限的。由电磁场唯一性定理，这种有限区域的边界特性直接影响区域中的场分布，这就是所谓电磁场的边值问题。镜像原理只适合于一些特殊的边值问题。这里对镜像原理的证明，根据电磁场随时间的变化情况，分为两种情况。一个是静态场的镜像原理，另一个是时变电磁场的镜像原理。（一） 静态场镜像原理静态场包括静

16、电场与静磁场，是不随时间变化的场。静电场和静磁场分别由静止电荷与恒定电流产生。下面利用“矢量场唯一性定理”证明无限大理想导电平面的静态场镜像原理。（1） 静电场镜像原理3.13.2静止电荷产生静电场。静电场镜像原理指出：如图3.1所示，在三维直角坐标空间中，无限大理想导电平面与平面重合。在的空间某处放置一正电荷。图3.2为3.1去掉导电平面并在正电荷关于平面的镜像位置放置一等量负电荷的示意图。两种情况下，在的空间内有相同的电场。证明：在图3.1由点电荷与无限大理想导电面构成的系统中，电荷是形成电场的源，而且是散度源。作为源的电荷分成两部分，一部分为处在自由空间中的正电荷，另一部分是位于导电面上

17、而且靠近空间正电荷的部分区域内被正电荷感应的负电荷。这两部分源为有限空间分布，而形成的电场则分布在无限大的空间。此电场所在的无限区域与“矢量场唯一性定理”中的有限区域是不一样的。不过根据库仑定律，空间某处电场强度的大小和它到源点间的距离是成反比例关系的，这意味着在自由空间中距离场源无限远的位置电场强度趋向于零。在空间中距离场源足够远的地方作一个曲面，使得与导电平面上部分构成封闭曲面，如图3.3所示。因为上的点距离场源足够远，所以上的电场强度大小趋近于零，并且在封闭曲面外面的自由空间中电场强度大小也趋近于零。这样就将电场所在的无限大区域分成了两个部分，一个是封闭曲面外部的零场区，另一个是以封闭曲

18、面为边界的有限区域。在3.2中也做同样的闭合面，结果如图3.4所示。下面只考察有限区域。3,33.4“矢量场唯一性定理”有两个方面的要求，一方面针对有限区域内的场源，另一方针对区域边界上的场。如果区域内的场源给定并且区域边界上场的切向分量或者法向分量给定则区域内的场才唯一。下面分别从这两个方面比较图3.3和3.4所示的两种情况。“矢量场唯一性定理”要求区域内场的散度和旋度都要给定。而电场只有散度即为自由电荷，没有旋度 。根据3.3和3.4中封闭区域内电荷的分布情况来看，显然两种情况中的场的散度是一样的。图3.3中，上电场强度大小为零，那么电场的切向分量也必为零。在上，由于是理想导电平面，所以上

19、切向电场为零。图3.4中，上电场强度大小趋近为零，电场的切向分量自然也为零。在上，与合场强的切向分量为零。可见，两种情况下在边界上电场强度的切向分量相同都为零。综上图3.3和3.4所示的两种情况满足“矢量场唯一性定理”，则两种情况下，以为边界的封闭面内部的电场相同。即静电场镜像原理成立。（2） 静磁场镜像原理恒定电流产生静磁场。下面利用“矢量场唯一性定理”证明无限大理想导电平面的静磁场镜像原理。由于考虑到电流是具有流向的量，因此首先考察两种具有特殊流向的电流的情况，即流向与无限大理想导电平面垂直和平行两种情况。其它流向的电流都可以分解到这两个方向上。电流的流向与理想导电平面垂直，如图3.5所示

20、，它的镜像原理示意图如3.6。图3.5图3.6往证图3.6所示情况下封闭面内的磁场与3.5中封闭面内磁场相等，其中封闭面的选取与静电场镜像原理中封闭面选取方法相同，并且与电场类似也有在上磁场强度大小趋近为零，则法向分量必然为零。又因为在3.5中是理想导电平面，所以上磁场法向分量为零。而在3.6中，根据线电流所产生磁场的性质，在上磁场法向分量为零。所以有，两种情况下，磁场在边界面上的法向分量相同。此外，因为静磁场的散度为零，旋度为恒定电流，而在3.5和3.6各自的封闭曲面内，电流的空间分布和大小都是一样的，这说明两种情况下的磁场具有相同的散度和旋度。综上，根据矢量场唯一性定理可得如图3.5和3.

21、6所示的封闭面内磁场相同。即当电流垂直于无限大导电平面放置时，镜像原理成立。电流的流向与理想导电平面平行，如图3.6所示，它的镜像原理示意图如3.7。3.63.7在图3.6中，上磁场大小趋近为零，则法向分量必为零。在上，由于是理想导电平面，故磁场法向分量为零。所以在边界上磁场法向分量为零。在图3.7中，上法向分量和前种情况相同也为零，在上根据线电流所产生磁场的性质，合成磁场在法向上的分量为零，所以这种情况下在边界上磁场法向分量也为零。即两种情况下，磁场在边界上的法向分量相同。对于区域内磁场散度与旋度的考虑和中的分析一样，可以得到3.6和3.7各自的封闭面内磁场具有相同的散度和旋度。综上，根据“

22、矢量场唯一性定理”可得图3.6和3.7所示的封闭面内磁场相同。即当电流平行于无限大导电平面放置时，镜像原理成立。对于如图3.8所示无限大理想导电平面上方流向任意的电流，可以分解为方向正交的电流和，如图3.9所示。根据上述静磁场的镜像原理，和的镜像电流分别为和如图3.10所示。和的合成电流即为原电流的镜像电流如图3.11所示。并且有：在无限大理想导电平面上方产生的磁场与和在空间产生的磁场相同。3.83.93.103.11所以任意流向电流的镜像原理是成立的。（二） 时变电磁场镜像原理以上静态场的镜像原理主要是根据“矢量场唯一性定理”。对于随时间变化的源所产生的时变场也存在同样的镜像原理，不过原理的

23、证明主要是根据“时变电磁场唯一性定理”。在静态场的分析中，产生场的源即静电荷和恒定电流是被分开考虑的。而在时变电磁场，电流连续性定理将时变电荷与时变电流联系在了一起。如图3.12所示的直线电流元，在它的两端必将同时存在大小相等符号相反时变电荷。3.12直线电流元因为任何时变电磁场的场源都可以看成是由若干如图3.12所示的直线电流元组成。所以为证明时变电磁场的镜像原理，需先证明直线电流元的镜像原理，再根据线性叠加性质将镜像原理推广到复杂源的情况。下面证明直线电流元的镜像原理。3.13a3.13b直线电流元的镜像原理指出：在图3.13a所示直角空间坐标系中，无限大理想导电平面与平面重合，一直线电流

24、元放置在上半平面内。面的选取使得上场的值趋向于零。与构成封闭面，将无限空间转化为有限空间。图3.13b为3.13a去掉无限大理想导电平面，并在添加原电流的镜像电流的情形。两种情况下，各自闭合面中电磁场相同。证明：“时变电磁场唯一性定理”表明，在有限区域中，当满足以下三个条件时，时变电磁场是唯一的：（1） 初始条件，即在时，区域中的电磁场给定；（2） 边界条件，即在边界上，电场强度的切向分量或者磁场强度的切向分量给定；（3） 区域中源给定时，时变电磁场满足maxwell方程。首先，在区域中，时变电磁场显然是满足maxwell方程的。其次，根据maxwell方程，电磁场是以有限的速度从源处向外传播

25、的，这意味着，在时电磁场只存在于源区，无源区场点处电磁场为零。比较3.13a和3.13b各自封闭面内的区域，由于源的分布是完全一样的，所以在时刻各自封闭面包围的区域中，源区电磁场相等，无源区电磁场都为零也相等。满足“时变电磁场唯一性定理”所要求的初始条件。对于边界条件，这里主要考察边界上的电场。在3.13a中，因为上电场的值趋向于零，则上电场切向分量必为零。又由于是无限大理想导电平面，所以上切向电场为零。所以边界上电场的切向分量为零。在3.13b中，同样有上电场切向分量为零。此外还需求出上的电场。这里采用间接法求电场，即先求出矢量位，再根据电场强度与矢量位的关系求出。在洛仑兹条件下，矢量为只取

26、决于电流（3-1）式中是电流源所在的源区，是电磁场在自由空间中传播的速度，是自由空间磁导率。电场强度与矢量位的关系为（3-2）上任一场点处的矢量位为原电流产生的矢量位和镜像电流产生的矢量位之和。(3-3a)(3-3b)其中和分别为原电流和镜像电流的流向的单位向量。由于原电流与镜像电流二者的电流密度大小相等不妨令为，故有（3-4）所以（3-5）由于两电流源的镜像位置的原因，的结果只是沿方向的量，不妨设为表示沿方向大小为的矢量。则3-5可以表示为（3-6）上式说明只含有方向分量，所以对时间求偏导，结果也不会出现切向分量。若对进行散度运算“”，有（3-7）又由于以上的运算是在面进行的，此时结果必为零

27、，故3-7也为零。再对进行梯度运算结果仍为零。带入3-2可知，电场的切向分量为零。所以3.13b中，在边界上电场切向分量为零。即3.13a和3.13b在边界上具有同样的电场切向分量，满足“时变电磁场唯一性定理”的边界条件。综上，无限大理想导电面附近直线电流元的镜像原理成立。根据线性叠加性，无限大理想导电平面附近任意时变电流源的镜像原理也成立。4、试证明等效原理等效原理指出，在某一区域中能产生同样电磁场的该区域外的两种源，对该区域内的场是等效的，这时对该区域内的场来说，该区域外的这两种源的一种源是另一种源的等效源。电磁场的实际源可以用它的等效源来代替，实际源的边值问题的解可以用等效源的边值问题的

28、解来代替。分析：设在介质参数为，的均匀无限大空间中，存在电流源及磁流源，它们共同产生的电磁场为及。作一个闭合面包围及，如图4.1.1所示；4.1.14.1.2现将中的电流源及磁流源移去而在面上放置面电流及面磁流如图4.1.2所示。若能使此新放置的源与真实源在外区域中产生的电磁场相同，则说明放置在上的源是真实源的等效源，即等效原理成立。因此，要证明等效原理成立，即要证明等效源的存在性。令包围的内区域为，外的区域为。因为源只存在于中，所以当中的真实源确定时，它在中所产生的电磁场也随之确定。若从“电磁场唯一性定理”的角度来看，中的场取决于中的源和的边界。当中不存在源时，中的场就只取决于边界条件。所以

29、中确定的场要求了的边界上确定的边界条件。当然，这里的边界条件取决于中或者面上的源。因此要证明对于中场的等效源的存在性，即要证明能在的边界上产生确定边界条件的等效源的存在性。证明：设如图4.1.1所示的原问题中，真实源在边界面上产生的电磁场确定为和。所以4.1.2中面上的等效源在闭合面外侧产生的场为。又假设面上的等效源在闭合面内侧产生的场为。所以根据电磁场边界条件，面源与边界两侧场量的关系为：4-1-14-1-2式中为闭合面的外法线方向上单位矢量。上式中是确定的，而是任意的，但一旦确定，则便确定。既然是任意的，则不妨令为零。此时等效源变为：4-2-14-2-2这不仅说明等效源是存在的而且是确定的

30、。这种等效源称为Love等效源或称为零场等效源。上面的证明同时利用了面上和的切向分量。而事实上电磁场唯一性定理要求在边界上电场的切向分量或者磁场的切向分量两者中有一个确定即可。这意味着，仅有磁流源或者仅有电流源就可以构成等效源。这两种等效形式称为Schelkunoff等效原理。5、 试证明感应原理在均匀空间中，已知源的分布后，可以求出空间任一点的场。但是实际空间中通常存在一些障碍物，这些障碍物在电磁场作用下，内部将产生极化电荷、传到电流及磁化电流。这些电荷及电流在空间中又产生二次场，这种二次场通常称为散射场，产生散射场的物体称为散射体。感应原理用于求解这种散射场。当空间存在散射体时，空间电磁场

31、应为入射场与散射场之和。设空间总场为，入射场为，散射场为，则5-1-15-1-2为求散射场，利用等效原理。沿散射体表面作一个闭合面，令上分布两种面等效源：面电流及面磁流。则面等效源在面外产生的场与散射体在面外所产生的场必然相同，而两者在面内产生的场不一定相同。等效源及场的分布如图5.1所示，为面内的场。5.1面源与边界两侧场量的关系为：5-2-15-2-2式中，场量带下标表示场位于边界上。根据等效原理，面内的场是任意的，这里不妨令面内的场等于原先的总场，即，。带入式5-2-1和5-2-2可得（5-3-1）（5-3-2）又根据5-1，在边界上散射场可以用总场与入射场来表示，即（5-4-1）（5-

32、4-2）带入5-3得（5-5-1）（5-5-2）这说明，障碍物对入射场的散射场等效于在这一障碍物的表面上放置值为入射场切向分量（如5-5）的等效电流源和磁流源所激发的场，这就是感应原理。6、 试证明巴比涅原理巴比涅原理原是光学中关于完全吸收的衍射屏与它的互补盘的衍射场的关系的原理。光学巴比涅原理涉及光强度而不是矢量场，同时光学巴比涅原理中的完全吸收屏在电磁场中也不存在，因此，光学中标量巴比涅原理不能直接用于电磁场。适应于电磁场的矢量巴比涅原理是由英国学者H.G.Booker建立的，称为推广的巴比涅原理或者电磁场巴比涅原理。设电流在自由空间产生的入射场场强为。现设在处放置一无限大理想导电薄屏，屏

33、上开有形状任意的孔，孔区的面积用表示。将此导电屏放置在电流附近时，导电屏会产生散射场，散射场与电流的入射场之和为空间中的总场，用表示，如图6.1.1所示。若在上述的孔区放上同样大小的导磁体，而在A以外的余面上保持自由空间，此时导磁面仍会产生散射场，并与入射场叠加形成空间总场，如图6.1.2所示。6.1.16.1.2电磁场巴比涅原理指出，在空间上述各个场强之间的关系为：（6-1-1）（6-1-2）分析： “电磁场唯一性定理”指出，区域中确定的电磁场取决于区域内确定的源及确定的边界条件。这里，由于的空间是无源区，所以的空间内确定的场只取决于的边界上场的情况。方程6-1左边表示电流源在的空间产生的入

34、射场，右边的场是两部分场的叠加，一部分是在导电面附近放置电流源时的空间内的场，另一部分是在导磁面附近放置电流源时的空间内的场。根据上面的分析，为证明方程两边的场相等即要证明它们满足相同的边界条件。此外“电磁场唯一性定理”对边界的要求是时，边界上电场的切向分量或者磁场的切向分量给定。所以需要从边界上电场的切向分量或磁场的切向分量来考虑。证明：对于导电面附近放置电流源的情况，如图6.1.1所示。边界的平面可以分成两部分，一部分是导电面，另一部分是孔面。在导电面上电场切向分量显然为零。在孔面上，总场为入射场与屏的散射场之和，但导电平面上的面电流不会在与它处在同一平面的孔平面上产生切向磁场（证明见附录

35、6.1），因此，孔平面上的切向磁场等于入射场的切向磁场。所以有的平面上边界条件：在上 （6-2-1）在上 （6-2-2）对于导磁面附近放置电流源的情况，如图6.1.2所示。边界同样可以分成两部分，一部分是放置导磁体的孔平面，另一部分是自由空间平面。在导磁面上，磁场切向分量显然为零，而在它的余面上总场为入射场与磁屏的散射场之和，但导磁平面上的面磁流不会在与它处在同一平面的孔平面上产生切向电场，因此，面上的切向电场等于入射场的切向电场。所以有的平面上边界条件：在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）将以上两种场相叠加，相应的边界条件也叠加，得在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）上式说明，场和场

36、叠加后，在平面的上与入射场有相同的切向电场分量，而在孔平面上和入射场有相同的切向磁场分量，所以根据电磁场唯一性定理可得式6-1。即电磁场巴比涅原理得证。附录6.11. 证明导电平面上的面电流不会在与它处在同一平面的平面上产生切向磁场。证明：设面电流所在平面与xoy面平行，如图6.2所示。图6.2由电流与空间矢量位的关系（6-4）可得，与xoy面平行的面电流所产生的矢量位也必定与xoy面平行，即矢量位只含有x和y两个方向的分量，而没有z方向分量，不妨设为（6-5）式中分别表示矢量位在x方向上的分量大小和在y方向上的分量大小。假设面电流所在平面的z坐标为，则面电流在的平面上产生的矢量位为（6-6）

37、又因为磁场与矢量位的关系为（6-7）将式6-6带入6-7得（6-8）因为对求偏导时为常量，故偏导结果为零，所以上式结果不含切向分量。即面电流不会在与它处在同一平面的平面上产生切向磁场。命题得证。7、 式证明互易定理电磁场互易原理又称为互易定理，是关于两组源相互作用的定理。在一定的介质条件下，两组源之间具有互易关系。设区域内充满各向同性的线性介质，两组同频率的源和分别放置在内的有限子区域和中。两组源相应的场分别为和。如图7.1所示。图7.1两组源产生的场都满足频域Maxwell方程组，有（7-1-1）（7-1-2）及（7-2-1）（7-2-2）利用矢量恒等式，得（7-3-1）（7-3-2）将7-

38、1与7-2代入上式得（7-4-1）（7-4-2）式7-4-1减7-4-2，得（7-5）将式7-5两边对体积求积分，再结合高斯定理得（7-6）式7-5和式7-6分别称为互易定理的微分形式和积分形式。若式7-5仅对有源区或求积分，那么闭合面仅包围源a或者源b，即或，则积分的结果分别为（7-7-1）（7-7-2）若式7-5仅对无源区求积分，那么闭合面不包括任何源，因此面积分为零，即：(7-8)上式称为洛伦兹互易定理。上式表明，若已知一种源产生的电磁场就能求出另一种电磁场。事实上，式7-6右端进行体积分时，只要积分体积包括了全部的源而不管它超出源体积多大，积分都会是在源体积上进行，所以积分结果都会是固

39、定的常数。那么此时等式左端的面积分自然也为相同的常数。若取扩大到无限远的闭合面为积分面，这个结论仍然成立，而且由于在这个面上，式7-6左端的面积分可以确定为零，即上述固定的常数为零。所以对任意的能够包围全部源的闭合面进行积分，结果都为零。即满足洛伦兹互易定理。此外，当式7-8成立时，由式7-6可得（7-9）考虑到源a仅存在中，源b仅存在中，上式又可以写为下面形式：（7-10）该式称为卡森互易定理。7.1证明：紧贴在一块理想导电体表面上的电流元的辐射场为零。证明：用反证法。如果紧贴在理想导体表面上的电流元有辐射场，那么至少有一点场不为零，记为。另取一电流元放在场不为零的点，并使电流元沿放置，设电

40、流元的场为。应用卡森互易定理，由于无磁流元，由式7-10得（7-11）上式中分别表示电流元的线电流密度。考虑到是在很短的长度上进行积分，所以在积分范围内可以认为电场为常数，可以提出积分号。所以上式为（7-12）因为在理想导体表面只可以存在电场强度的垂直分量，所以电流元在电流元附近产生的电场强度必垂直于理想导体表面，因而同时也垂直于电流元，所以的值为零。所以7-12右端的值也为零。又由于和方向相同，所以（7-13）由于电流元的值不为零，所以只可能是的值为零。因此证明了紧贴在一块理想导电体表面上的电流元的辐射场为零。8、 静电场电位边值问题的唯一性定理指出：当在场域中电位满足Possion方程或L

41、aplace方程，在边界上满足第一类（给定区域边界上的电位值）、第二类（给定区域边界上电位的法向导数）、第三类（给定区域边界上电位值和法向导数值）。试对此定理做完整证明。分析：因为任何一个具体的物理现象都是处在特定条件下的，所以在描述一个具体问题时，既要给出此问题所具有的物理规律的数学式子，也要把这个问题所具有的特定条件用数学形式表达出来。此特定条件也称为定解条件，包括用以说明初始状态的初始条件和用以说明边界上的约束情况的边界条件。一个偏微分方程（也叫泛定方程）和相应的定解条件结合在一起就构成了一个定解问题。Laplace方程和Poisson方程都是描述稳恒状态的，与初始状态无关，所以不提初始

42、条件，只讨论边界条件。边界条件有如下三种类型：（1） 在边界上直接给出未知函数的值。称为第一类边界条件。（2） 在边界上给出未知函数沿边界外法线方向的方向导数。称为第二类边界条件。（3） 在边界上给出未知函数及其沿边界外法线方向导数的某一线性组合值。称为第三类边界条件。在均匀、线性、各向同性的电介质中，是一个常数。因此有（8-1）为自由体电荷密度。将代入上式得（8-2）这就是电位的泊松方程。在自由体电荷密度的区域内，式8-2变为（8-3）这就是电位的拉普拉斯方程。在静电场问题中，如果带电导体系统的形状、尺寸、相对位置以及导体间的电介质分布一定，则满足给定边界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯

43、一的。采用反证法证明此唯一性定理。证明：如图8.1所示，设在有限区域内放置N个带电导体并在外面用一个无限大的球面把它们包围起来。球面以内，除去各导体所占部分以外，设总体积为。限定体积的闭合面由两部分组成，一部分是无限大的球面，另一部分则是各导体的表面，即。图8.1假设在体积内，拉普拉斯方程的解不是唯一的，至少有两个解和都满足给定的边界条件。则有 ，显然（8-4）式中（8-5）在内利用第一标量Green定理：（8-6）令上式中的标量都为，则有（8-7）由式8-4，上式简化为（8-8）因为电荷分布在有限区域内，所以正比于，正比于，正比于，当时，在无限大球面上面积分趋于零。所以（8-9）1.第一类边值问题给定的是各导体表面上的电位。既然和满足相同的边值，则在各导体表面上必然有。如果在导体表面上只取有限值，则式8-9右端等于零。故（8-10）上式中的被积函数是个非负数，在体积内必然有=0。2.第二类边值问题给定的是各导体表面上的电位法向导数。既然假定和满足相同的边值，则在各导体表面上必然有，同样可以由式8-9得到=0。3.第三类边值问题一般意义上的第三类边值问题指给定的是各导体表面上与的线性组合的值， 而静电场电位问题的第三类边值问题是更为特殊的一类问题。这里说它特殊主要指上述线性组合的特殊，表现在并非是任意的线性组合。静电场电位问题的第三类边值问题指在一部分导体表面上给定电位值即第一