高中数学必修一学案(知识点练习题)

1、.集合1、集合的概念（1）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作要注意“”的方向，不能把aA颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分

2、类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分，0等符号的含义（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R5、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.（2）互异性：集合中的元素没有重复.（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的

3、顺序写出）6、子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作: ，读作：A包含于B或B包含A若任意xAxB,则AB当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA有两种可能：A是B的一部分； A与B是同一集合.7、集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B.8、真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A B或B A, 读作A真包含于B或B真包含A

4、.9、子集与真子集符号的方向.10、空集是任何集合的子集.A空集是任何非空集合的真子集. A 若A，则 A任何一个集合是它本身的子集. 11、易混符号“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系.如0与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合. 如 0.不能写成=0，012、含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集(非空子集)的个数是1，非空真子集数为.13、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作“A交B”），即AB=x|xA，且xB ABABA?14、并集的定义一般地，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫

5、做A,B的并集记作：AB（读作“A并B”），即AB =x|xA，或xB15、补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA即：CUA=x|xU且xA练习1、说出下面集合中的元素（1） 大于3小于11的偶数（2）平方等于1的数（3）15的约数2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1） 所有很大的实数. （2）好心的人. （3）1，2，2，3，4，5

6、 3、用列举法表示下列集合 xN|x是15的约数 （x，y）|x1，2，y1，2 4、设全集,集合,求,.5、设全集,求,.6、已知全集,则()7已知集合M4,7,8,且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个8已知集合，则等于（）(A)0,1,2,6 (B)3,7,8,(C)1,3,7,8 (D)1,3,6,7,89满足条件的所有集合A的个数是（） (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个10如右图，那么阴影部分所表示的集合是（）(A) (B)(C) (D)函数（一） 函数的概念1、在某变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的每

7、一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，记作y=f（x），xD；x叫做自变量，D为函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域；（1）、函数的定义含有三个要素，即定义域D、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，（2）、当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.（3）、函数的图像特征：直线与函数的图像最多有一个交点；2、深刻理解函数的概念【例1】、下列与函数y=x是同一函数的是 （ ）(A) (B) (C) (D)【例2】、下面

8、哪一个图形可以作为函数的图象 （ ）xyOxyOxyOxyO(A) (B) (C) (D)（二） 函数的定义域：函数的定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，研究函数的所有问题都要在函数的定义域内进行；忽略函数的定义域常常会导致错误；1 函数定义域的求法：（a）、根据函数的解析式：列出使函数有意义的自变量的不等式（或）不等式组，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为： 分式的分母不为0； 偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.【例3】求函数下列的定义域. 、函数的基本性质复习函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期

9、性一、单调性1定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。2证明方法和步骤：（1） 设元：设是给定区间上任意两个值，且；（2） 作差：；（3） 变形：（如因式分解、配方等）；（4） 定号：即；（5） 根据定义下结论。二、奇偶性1定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。2奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则；3判断一个函数的奇偶性的步骤先求定义域，看是否关于原

10、点对称; 再判断或 是否恒成立。4奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。例1：判断下列函数的奇偶性：（1） （2）例2.已知函数在上递增，那么的取值范围是_.一元二次函数1 函数叫做一元二次函数。y=ax2+bx+c0yxO0图 象开 口对 称 轴顶点坐标最 值当x 时，y有最 值当x 时，y有最 值增减性在对称轴左侧y随x的增大而 y 随x的增大而 在对称轴右侧y随x的增大而 y随x的增大而 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。3任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式：，性质如下：（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直

11、线。（2）最大（小）值 当，函数图象开口向上，有最小值，无最大值。 当，函数图象开口向下，有最大值，无最小值。（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 4.两根之和、两根之积5.零点问题练习1.求函数在给定区间上的最值。2.二次函数的值域是（ ） ( 指数与指数函数一、【知识要点】1一般地，如果一个实数满足,那么称为的次实数根。0的次实数根为0。式子叫作根式，其中叫做根指数，叫做被开方数。2.我们规定， 且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义。3.4.一般地，函数叫做指数函数，它的定义域为R。函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函

12、数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低二、【例题讲解】例1下列说法中正确的是( ) (A)-2是16的四次方根 (B)正数的次方根有两个 (C)的次方根就是 (D)例2 例3已知，求的值例4曲线分别是指数函数,和的图象,则与1的大小关系是 ( ). (例5函数（）的图象是（ ）对数及对数函数 1对数的概念：定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数例如： ; ; 1）以10为底的对数称常

13、用对数，记作，2）以无理数为底的对数称自然对数，记作基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2），3）， 4）对数恒等式：运算性质：如果则1）；2）；3）R）.换底公式：1）， 2） （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备： 1. 有指对数互化的意识 由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。 例1. 已知，求的值。 2. 有根据换底公式，换为同底的意识 对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运算中，底数往往不同，而换底公式的主要功能是将底数不

14、相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数的运算公式。 例2. 计算 例3. 设，试用a，b表示log4256。 当堂检测1、求值：，log482、计算：（1）lg1+lg10+lg100（2）lg0.1+lg0.01+lg0.001 3、已知，求x。4、 化简下列各式：(1)；(2)；2对数函数：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高对数函数练习题1 (1) 的定义域为_值域为_.(2) 的定义域为_值域为_ 2

15、 求下列函数的定义域：(1)； (2)； (3)3 (1)已知，将a、b、c、d四数从小到大排列为_(2)若时，则m与n的关系是( )Am>n>1 Bn>m>1 C1>m>n>0 D1>n>m>04 若a>0且a1，且，则实数a的取值范围是( )A0<a<1 B C D或a>1幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质（1） （2） （3） （4） （5）用描点法在同一坐标

16、系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：定义域奇偶性在第象限单调增减性定点（公共点）2 幂函数性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 (1,1) 单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 （其中 互质

17、， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数图象特征：幂函数 ，当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方，当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方复合函数复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.一 解析式的求法1. 代入法例 1、 f ( x) = 2 x + 1 ，求 f ( x + 1)2. 换元法例 3、 ，求 f ( x) 解析式。3. 待定系数法例 2、二次函数 f ( x) 满足 f ( x + 3) = f (1 - x) ， 的两实根平方和为 10，且 x=图像过点 (0,3) ，求 f ( x) 解析式。4. 配凑法例 4、 f (3x +1) = 9 x2 - 6 x + 5 ，求 f ( x) 解析式。5. 消元法（构造方程组法）例 5、 f ( x) +2 f (- x) = x -1 ，求 f ( x) 解析式。 二. 定义域、值域、单调性、最值练习1 求下列函数的定义域 y=log7 y= y= y= 2、综合练习1) 若函数 f ( x - 1) 定义域为 (