信号及系统第2章(2) (1)

1、 1第第5章章 连续时间系统的变换域分析连续时间系统的变换域分析 25.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统1 1 全通系统全通系统H(s)的极点位于左半的极点位于左半s平面平面H(s)的零点位于右半的零点位于右半s平面平面零、极点对于零、极点对于j轴互为镜像。轴互为镜像。123123123123() ()()jN N NH jKM M Me ()H jK j 35.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统()HjKj218030311212120,()180 j9029032701901902903()180360()360 用途：用来对系统进行相位校正用

2、途：用来对系统进行相位校正 45.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统用途：用来对系统进行相位校正用途：用来对系统进行相位校正例例：下图所示的网络，写出网络传输函数下图所示的网络，写出网络传输函数H(s)=V2(s)/V1(s), 判别它是否为全通网络。判别它是否为全通网络。211( )( )11( )1/1/V sRsCH sV sRRsCsCsRCsRCRRCC)(1tv)(2tv1()1jRCH jjRC j()1H j 55.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统2 2 最小相位系统最小相位系统 65.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最

3、小相位系统j零点仅位于左半零点仅位于左半s平面或平面或 轴上的系统函数称为轴上的系统函数称为最小相位最小相位函数函数。对应的系统称为。对应的系统称为最小相位系统最小相位系统（minimum-phase system）。反之，如果系统函数有一个或多个零点在右半）。反之，如果系统函数有一个或多个零点在右半s平面，则称该系统为非最小相位系统。平面，则称该系统为非最小相位系统。可以证明：非最小相位函数可以表示为最小可以证明：非最小相位函数可以表示为最小 相位函数与全通函数的乘积。相位函数与全通函数的乘积。 75.6 5.6 全通系统和最小相位系统全通系统和最小相位系统 85.7 5.7 系统模拟及信号

4、流图系统模拟及信号流图5.7.1 5.7.1 系统的框图系统的框图三种基本单元的方框图及运算功能三种基本单元的方框图及运算功能)(1tx)()()(21txtxty)(2tx（a) 加法器加法器)(1sX)(2sX)()()(21sXsXsY或a)(tx)()(taxty)(tx)()(taxtya)(sX)()(saXsY（b) 数乘器数乘器P1)(txdxtyt)()(c) 积分器（时域表示）积分器（时域表示）s1)(sX11( )( )(0 )Y sX syss积分器（积分器（s域表示）域表示）)0(1ys 95.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图5.7.2 5.7.2 信

5、号流图信号流图（1） 信号流图的获得信号流图的获得系统的信号流图，就是用一些点和线段来表示系统。系统的信号流图，就是用一些点和线段来表示系统。)()()(sXsHsYH(s)(sX)(sYH(s)(sX)(sY 105.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图例：例：将下图所示系统的方框图转化成信号流图。将下图所示系统的方框图转化成信号流图。)(sY2b1b)(sX1a1s2a3a1s1s解：解：1a2a3a1s1s1s2b1b11)(sX)(sY输入节点（源点）输入节点（源点）:只只有输出支路的节点。有输出支路的节点。输出节点（阱点）输出节点（阱点）:只只有输入支路的节点。有输入支路

6、的节点。由两个及两个以上由两个及两个以上的箭头指向的节点的箭头指向的节点可兼做加法器。可兼做加法器。 115.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图（2） 信号流图的性质信号流图的性质1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积。支路增益的乘积。H(s)(sX)(sY如：如：)()()(sXsHsY2.当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并将其和传送给与该节点相连的输出节点。将其和传送给与该节点相连的输出节点。3342241144xHxHxH

7、x1x2x3x5x6x14H24H34H45H46H4x4455xHx 4466xHx 125.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图3.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输增益的支路，可以将它变成输出节点。输增益的支路，可以将它变成输出节点。4.给定系统，信号流图并不惟一。给定系统，信号流图并不惟一。)()()()(010txbdttdxbtyadttdy0a11(s)x1b0b(s)y1s11(s)x(s)y1b0b1s0aca11x3x 3xbd2x 135.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图5

8、. 流图转置以后，其转移函数保持不变。流图转置以后，其转移函数保持不变。转移函数都是转移函数都是100( )b sbH ssa 145.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图（3） 信号流图的梅森公式信号流图的梅森公式梅森公式：梅森公式：1KKKHGfedfedcbcbaaLLLLLL,1- 信号流图的特征行列式信号流图的特征行列式aaL- 所有不同环路的增益之和；所有不同环路的增益之和；cbcbLL,- 所有两两互不接触环路的增益乘积之和；所有两两互不接触环路的增益乘积之和；fedfedLLL,- 所有三个都互不接触环路的增益乘积之和所有三个都互不接触环路的增益乘积之和K - 由源

9、点到阱点之间的第由源点到阱点之间的第K条前向通路的标号；条前向通路的标号；GK - 由源点到阱点之间的第由源点到阱点之间的第K条前向通路的增益；条前向通路的增益； K - 第第K条前向通路特征行列式的余因子，表示将第条前向通路特征行列式的余因子，表示将第K条条前向通路去掉以后，所剩流图的特征行列式。前向通路去掉以后，所剩流图的特征行列式。 155.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图例例5.7-1：求下图所示流图的系统函数。求下图所示流图的系统函数。2G1H1G3G4H2H3H5HXYx1x2x3x4解：解： 求aaL111121HGLxxx环路：222232HGLxxx环路：33

10、3343HGLxxx环路：4321412341HGGGLxxxxx环路：)(4321332211HGGGHGHGHGLaa 165.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图2G1H1G3G4H2H3H5HXYx1x2x3x4 求求cbcbLL,只有一对两两互不接触的环路：只有一对两两互不接触的环路： 与与121xxx343xxx,313131HHGGLL即即3131,HHGGLLcbcb没有三个及三个以上都不接触的没有三个及三个以上都不接触的 环路，所以，环路，所以，31314321332211,)(11HHGGHGGGHGHGHGLLLcbcbaa 175.7 5.7 系统模拟及信号

11、流图系统模拟及信号流图2G1H1G3G4H2H3H5HXYx1x2x3x4 再求其它参数。再求其它参数。第一条前向通路：第一条前向通路：YxxxxX432111235,GH H H H第二条前向通路：第二条前向通路：YxxX41245,GH H由于各环路都与该前向通路都接触，所以由于各环路都与该前向通路都接触，所以11由于环路由于环路 与该前向通路不接触，所以与该前向通路不接触，所以 232xxxaaHGL22211 185.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图11235,GH H H H245,GH H11aaHGL2221131314321332211)(1HHGGHGGGHG

12、HGHG1122123545221122331234131311()(1)1KKKHGGGH H H HH HG HG HG HG HGG G HGG H H 195.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图5.7.3 5.7.3 系统模拟系统模拟 1. 直接形式直接形式设设)()()()()()(012220122txbdttdxbdttxdbtyadttdyadttyd则系统函数为则系统函数为20112011201201221)()()(sasasbsbbasasbsbsbsXsYsH)()()()()()()()()(21sHsHsWsYsXsWsXsYsH 205.7 5.7

13、系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图其中：其中：) 1 (11)()()(20111sasasXsWsH- 取分母部分取分母部分)2()()()(201122sbsbbsWsYsH- 取分子部分取分子部分由（1）得：) 3()()()()(2011sWsasWsasXsW由（2）得：)4()()()(20112sWsbsbbsY)(sY2b0b1b1a)(sX1s0a1sWWs1Ws22011201121)(sasasbsbbsH 215.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图2. 级联形式（串联形式）级联形式（串联形式）kiiksHAsHsHsHAsH10210)()()()()(

14、)(1sH)(2sH)(sHk0A)(tx)(ty111111)(sasbsHiii 一阶节一阶节2211221111)(sasasbsbsHiiiii二阶节二阶节ib1ia11s（一阶节）（一阶节）（二阶节）（二阶节）ib2ia11s1sia2ib1 225.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图 3. 并联形式并联形式121( )( )( )( )( )kkiiH sCH sHsHsCH s)(1sH)(sHk)(tx)(ty)(2sHC 235.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图例例5.7-1：已知已知 试分别用直接形试分别用直接形式、级联形式和并联形式模拟此系统

15、。式、级联形式和并联形式模拟此系统。35342)(23sssssH解：解：（1）直接形式）直接形式2312324( )1 353ssH ssss)(sY3)(sX1s51s1s423 245.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图) 32)(1()2(235342)(223sssssssssH（2）级联形式）级联形式11122( )11sH sss12221222( )23123sssHsssss)(sY)(sX31s221s21s1 255.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图222411( )(1)(23)123ssH sssssss （3）并联形式）并联形式,111

16、)(111ssssH212122321321)(ssssssssH)(sY)(sX31s1s21s11 26例例5.7-35.7-3 电路如图电路如图5.7-185.7-18所示，当所示，当t t 0 0 0后，求：后，求：（1 1）电流）电流 的零输入响应和零状态响应；的零输入响应和零状态响应； 5.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图2()i t2i( )( )/ ( )H sI s V s（2 2）系统函数）系统函数（3 3）画出系统零极点图和幅频特性曲线；）画出系统零极点图和幅频特性曲线；（4 4）画出系统并联结构的方框图或信号流图。）画出系统并联结构的方框图或信号流图。

17、275.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图解解：（：（1）图示电路的去耦等效电路如下所示。当）图示电路的去耦等效电路如下所示。当t 0时，电时，电路已达稳定，则各电流的起始值为路已达稳定，则各电流的起始值为 1328(0 )(0 )2A (0 )022iii 285.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图12i12(32) ( )( )( )42( )(32)( )2sI ssIsV ssI ssIs 根据电路的根据电路的s域模型，域模型，可以得到下列方程组可以得到下列方程组ii2232( )62( )4( )32812432sV sssV sIsssssss 295.

18、7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图i22( )4( )8124sV sIsss 2zi24111( )(21)(1)10.58124Isssssss0.52zi( )ee 0ttitti2zs2( )822( )4(21)(1)10.58124sV sIsssssss0.52zs( )2e2e 0ttitt 305.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图i22( )4( )8124sV sIsss2zsi( )( )( )IsH sV s28(1)(0.5)8124ssssss（2）系统函数）系统函数（3）系统函数的零、极点分布图和幅频特性）系统函数的零、极点分布图和幅

19、频特性 315.7 5.7 系统模拟及信号流图系统模拟及信号流图11( )114(1)8(1)822sH sssss111114(1)8 12ssss系统并联结构的信号流图如图所示。系统并联结构的信号流图如图所示。 （4） 325.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性5.8.1 5.8.1 稳定系统的定义稳定系统的定义5.8.2 5.8.2 系统稳定的条件系统稳定的条件 对于有界激励信号产生有界响应的系统称为稳定系统。对于有界激励信号产生有界响应的系统称为稳定系统。即：对于即：对于 则则 其中，其中， 均为有限均为有限正数。正数。( ),xx tM( ),yy tMyxMM ,1. 时域的稳定

20、的条件时域的稳定的条件Mdtth)(M：有限正数：有限正数或或： 且且lim ( )0,th ttth0)(2. s域的稳定的条件域的稳定的条件-H(s)的全部极点都落于左半的全部极点都落于左半s平面。平面。 335.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性 从稳定性考虑，系统可划分为下述三类系统：从稳定性考虑，系统可划分为下述三类系统：（1）稳定系统）稳定系统 - H(s)的全部极点在左半的全部极点在左半s平面。平面。（2）不稳定系统）不稳定系统 - H(s)有极点在右半有极点在右半s平面，或在虚轴平面，或在虚轴 上具有二阶或二阶以上的极点。上具有二阶或二阶以上的极点。（3）边界稳定系统）边界稳

21、定系统 - H(s)有一阶极点在有一阶极点在s平面的虚轴上，平面的虚轴上， 其它极点都在左半其它极点都在左半s平面。平面。为使分类简化，可以把边界稳定系统归为为使分类简化，可以把边界稳定系统归为不不稳定系统。稳定系统。 判断判断H(s)的极点是否全部位于左半的极点是否全部位于左半s平面，可以利用劳平面，可以利用劳斯准则（参见附录斯准则（参见附录E）。）。 345.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性 对于一阶、二阶系统，系统稳定的充要条件为：对于一阶、二阶系统，系统稳定的充要条件为：0,0,1,2iai（取等号表示边界稳定）（取等号表示边界稳定） H(s)分母多项式分母多项式A(s)的系数的系

22、数 满足满足ia例例5.8-1 已知图示的运算放大器的电压传输系数为已知图示的运算放大器的电压传输系数为A A，假定其，假定其输入阻抗等于无限大，输出阻抗等于零。输入阻抗等于无限大，输出阻抗等于零。 （1 1）求系统函数）求系统函数oi( )( )( )V sH sV s（2 2）要使系统稳定，则电压）要使系统稳定，则电压 传输系数传输系数A A应满足怎样应满足怎样的条件？的条件？ 355.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性解解: (1)画出图画出图5.8-1电路的电路的s域模型域模型0o111( )( )( )( )V sV sV sI sAARo21212( )1( )( )V sV s

23、I ssCAsRC电容电容C2两端的电压的像函数为：两端的电压的像函数为：12oo2122122( )( )( )( )( )(1)1V sV sV sV sIsA sRCRAsR R C流过电阻流过电阻R2的电流的像函数为：的电流的像函数为：电容电容C1两端的电压的像函数为：两端的电压的像函数为：o3122212211212( )1( ) ( )( )(1)1V sV sI sIssR CA sRCsCAs R R C C 365.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性因为因为123i( )( )( )( )V sVsV sV s ooo2212i2121212( )( )( )(1)1( )

24、VsVsVssR CA sR CV sAAsR CAs R R C C2o212i112211212( )( )11( )V sAsH sCCAV sssRC CR CR R C C（2）为使此系统稳定）为使此系统稳定H(s)的极点应落于左半的极点应落于左半s平面平面，12112211 0CCAR C CR C（取等号为边界稳定）（取等号为边界稳定） 221112 1RR CARRC系统稳定系统稳定 375.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性例例5.8-2 已知连续系统由两个子系统级联而成，如图所示，若已知连续系统由两个子系统级联而成，如图所示，若描述两个子系统的微分方程分别为描述两个子系统

25、的微分方程分别为11d ( )d ( )( )2 ( )ddy tx ty tx ttt1d ( )2 ( )( )dy ty ty tt（1）求每个子系统的系统函数）求每个子系统的系统函数H1(s), H2(s)及整个系统的单位及整个系统的单位冲激响应冲激响应h(t)；（2）画出系统的零极点图，判断系统的稳定性，并粗略画）画出系统的零极点图，判断系统的稳定性，并粗略画出总系统出总系统H(s)的幅频特性曲线；的幅频特性曲线；（3）画出整个系统的直接型信号流图。）画出整个系统的直接型信号流图。 385.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性解：解：（1）分别对两个子系统的微分方程的两边求拉氏变换）

26、分别对两个子系统的微分方程的两边求拉氏变换（设系统起始条件为零）。（设系统起始条件为零）。11( )( )( )2( )sY sY ssX sX s1( )2 ( )( )sY sY sY s11( )2( )( )1Y ssH sX ss21( )1( )( )2Y sHsY ss 12243( )( )( )(1)(2)21sH sH s Hsssss总系统的系统函数为总系统的系统函数为: 单位冲激响应为单位冲激响应为 :2( )4e3e 0tth tt 395.8 5.8 系统的稳定性系统的稳定性（2）系统的零、极点分别为系统的零、极点分别为1122,1,2zpp 如图所示。幅频特性曲线

27、如图所示。如图所示。幅频特性曲线如图所示。 （3） 12212222( )(1)(2)32132ssssH sssssss根据上式可画出系统直接型信号流图，如图所示。根据上式可画出系统直接型信号流图，如图所示。（3） 405.9 MATLAB5.9 MATLAB在连续系统变换域分析中的应用在连续系统变换域分析中的应用例例5.9-1 已知连续时间系统的系统函数为：已知连续时间系统的系统函数为：221( )35sH sss用用MATLAB绘制其零、极点图，对应的冲激响应绘制其零、极点图，对应的冲激响应h(t)的的波形，以及系统的幅频特性和相频特性曲线。波形，以及系统的幅频特性和相频特性曲线。num=2 1;den=1 3 5; 系统函数的分子与分