高等数学3.5函数最大值和最小值ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院3.5 3.5 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值闭区间上延续函数的最值闭区间上延续函数的最值某区间内有独一极值点某区间内有独一极值点 实践问题在开区间内有独一驻点实践问题在开区间内有独一驻点一一. .闭区间上延续函数的最值闭区间上延续函数的最值存在性存在性 设函数 f(x) 在a, b上延续 在闭区间上一定有最大值和最小值。在闭区间上一定有最大值和最小值。oxybaoxyaboxyab能够的最值点能够的最值点端点端点极值点极值点驻点驻点不可导点不可导点 (尖点尖点)能够的最值点能够的最值点闭区间延续

2、函数求最值方法一的步骤闭区间延续函数求最值方法一的步骤: :求驻点和不可导点；求驻点和不可导点；求区间内的端点、驻点和不可导点的函数值；求区间内的端点、驻点和不可导点的函数值；比较函数值的大小。比较函数值的大小。2369f ( x )xx ( )0,fx 令令11,x 得得驻驻点点例例1 1 求函数求函数 在在-2,2-2,2上的最上的最大值与最小值。大值与最小值。 323930f xxxx 解解 函数函数 f(x) 在在-2,2上延续，上延续， 在在(-2,2)内可导内可导3(1)(3)xx23x （舍舍）比较函数值，比较函数值， 135 ,f 228,f 28f 那么那么f(x) 在在-2

3、,2上上 135,f 最最大大值值为为 28f 最最小小值值为为。练习练习 求函数求函数 在在-2,0-2,0上的上的最大值与最小值。最大值与最小值。 3226187f xxxx 函数在某区间内有独一极值点函数在某区间内有独一极值点x0 方法二方法二: yf xOa0 xb0f xO yf xa0 xb0f x二二. .某区间内有独一极值点某区间内有独一极值点 当当x0是极大值点时，就是该区间上的最大值点是极大值点时，就是该区间上的最大值点; 当当x0为极小值点时，即为该区间上的最小值点。为极小值点时，即为该区间上的最小值点。例例2 2 求函数求函数 的最大值。的最大值。解解 264yxx ,

4、 函数的定义域为函数的定义域为 由于函数在定义域内有独一的极大值点，那么由于函数在定义域内有独一的极大值点，那么函函数的极大值数的极大值5y 26,yx 2y 0y 令令，=3x解解得得 32y 由由于于0, 由极值的断定定理二知，由极值的断定定理二知，=3x是是函函数数的的极极大大值值点点。就是函数的最大值。就是函数的最大值。实践问题本身决议函数在开区间内确有最大值实践问题本身决议函数在开区间内确有最大值在开区间内只需独一驻点在开区间内只需独一驻点 那么可以断定驻点就是所要求的最大值点。那么可以断定驻点就是所要求的最大值点。实践问题在开区间内有独一驻点方法三的步骤：实践问题在开区间内有独一驻

5、点方法三的步骤： 三三. .实践问题在开区间内有独一驻点实践问题在开区间内有独一驻点1.1.闭区间上延续函数的最值闭区间上延续函数的最值2.2.某区间内有独一极值点某区间内有独一极值点 3.3.实践问题在开区间内有独一驻实践问题在开区间内有独一驻点点在消费实际和科学研讨中，往往要求在一定条件下，“用料最省、“耗时最少、“本钱最低、“效率最高等问题。这些问题，在数学上经常归结为函数的最大值和最小值问题。(1)(1)建立目的函数确定定义域；建立目的函数确定定义域；(2)(2)选择适当方法选择适当方法3 3种来求目的函数在定义域上种来求目的函数在定义域上的最值；的最值；务虚际中最值的步骤：务虚际中最

6、值的步骤：(3)(3)求出最值或最值点。求出最值或最值点。例例3 3 用边长为用边长为48cm48cm的正方形铁皮做成一个无盖的正方形铁皮做成一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形。然后把四边折起，就能焊成铁盒。的小正方形。然后把四边折起，就能焊成铁盒。问在四角截去多大正方形，才干使所做的铁盒问在四角截去多大正方形，才干使所做的铁盒容积最大？容积最大？48x48(a)x48-2x48-2x(b)图形：图形：问题归结为：求问题归结为：求x为何值时，函数为何值时，函数V在区间内在区间内(0,24) 获得最大值，获得最大值， 铁盒的容积为铁

7、盒的容积为Vcm，解解 令令 2482Vxx 024x V 0,V 设截去的小正方形的边长为设截去的小正方形的边长为xcm，据题意，那么有据题意，那么有驻点为驻点为 x1=8，x2=24 12 248xx 2482x +2 4822xx 4824824xxx 即，求最大值点。即，求最大值点。(舍舍)。由题意知，铁盒必然存在最大容积，由题意知，铁盒必然存在最大容积，那么当那么当x=8 时，即当截去正方形边长为时，即当截去正方形边长为8cm时，铁时，铁盒盒的容积最大。的容积最大。且函数在且函数在(0,24) 内有独一的驻点内有独一的驻点 x=8 。例例4 4 铁道路上铁道路上ABAB段的间隔为段的

8、间隔为100km100km，工厂，工厂C C间隔间隔A A处为处为20km20km，ACAC垂直于垂直于ABAB。为了运输需求，要在。为了运输需求，要在ABAB线上选定一点线上选定一点D D向工厂修一条公路，知铁路上向工厂修一条公路，知铁路上每公里的货运的运费与公路上每公里货运的运每公里的货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为费之比为3:53:5，为了使货物从供应站，为了使货物从供应站B B运到工厂运到工厂C C的总运费最省，问的总运费最省，问D D应选在何处？应选在何处？A20kmCDB 100kmx100 - x?解解设铁路每公里的货运的运费为设铁路每公里的货运的运费为3k3k，公路每公

9、里，公路每公里的的货运的运费为货运的运费为5k5kk k为正常数。为正常数。100BDx 2220CDx 设点设点D选在距选在距A点点 xkm 处，那么处，那么2400 x 设货物从设货物从B B点运到点运到C C点的总运费为点的总运费为y y，那那么么 254003100ykxkx 0100 x 求求x在在0,100上取何值时，函数上取何值时，函数 y 的值最小的值最小,得得 25400 xykx 2253400400 xxkx 253400 xx 22259400 xx 254003100yk xkx 0100 x 0y 令令，15x 在在0,100的驻点的驻点x=15。求最小值点。求最小值点。3k 运用闭区间上求最值的方法，运用闭区间上求最值的方法， 15380yk 500k y取取得得最最小小值值。15x 则则当当时时， 0400yk 1005 10400yk 即即D应选在距应选在距A点点15km处，此时总运费最省。处，此时总运费最省。比较函数值的大小