河北省石家庄二中2015届高三上学期开学数学试卷(理科)

1、河北省石家庄二中2015届高三上学期开学数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）函数的定义域为（）A（0，8B（2，8C（2，8D8，+）2（5分）函数f（x）=满足f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A1或BC1D1或3（5分）有下列命题：函数y=cos（x）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为；函数y=的图象关于点（1，1）对称；关于x的方程ax22ax1=0有且仅有一个零点，则实数a=1；已知命题p：对任意的x1，都有sinx1，则¬p：存在x1，使得sinx1其中所有真命题的序号是（）ABCD4（5分）已知函数f（x）=2sin（2x+

2、）（|），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）ABCD5（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR都有f（x+6）=f（x）+2f（3），f（1）=2，则f=（）A1B2C3D46（5分）已知=，0x，则tanx为（）ABC2D27（5分）当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则实数a的取值范围为（）A（2，3B4，+）C（1，2D2，4）8（5分）在ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，则ABC面积的最大值为（）AB2CD39（5分）已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1

3、，+）C（0，1）D1，+）10（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），已知f（x+1）是偶函数，（x1）f（x）0若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）=f（x2）Cf（x1）f（x2）D不确定二、填空题（每题5分，共20分）11（5分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=30°，b=，a=1，则B=12（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）f（3x），则实数x的取值范围是13（5分）若函数f（x）=|sinx|（x0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标

4、的最大值为，则=14（5分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x）=，则不等式h（x）的解集为三、解答题（共50分）15（12分）已知函数g（x）=x23，f（x）是二次函数，当x1，2时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式16（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间17（14分）已

5、知函数（）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（）求f（x）在0，1上的最小值；（）若对任意mR，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围18（12分）已知函数f（x）=exmln（2x）（）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明：f（x）ln2河北省石家庄二中2015届高三上学期开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）函数的定义域为（）A（0，8B（2，8C（2，8D8，+）考点：对数函数的定义域 专题：计算题分析：函数的定义域为：x|，由此能求出结果解答：解：函数的定义域为：x|，解得

6、x|2x8，故选B点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2（5分）函数f（x）=满足f（1）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A1或BC1D1或考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：本题是考查分段函数的概念及计算，我们可以在两个不同定义域内求解解答：解：f（x）=满足f（1）+f（a）=2，f（1）=1，f（a）=1，当a0时，ea1=1解得a=1；当故选：D点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用3（5分）有下列命题：函数y=cos（x）cos（x+）的图象中，相邻两个对称中心的距离为；函数y=的图象关于点（1，1）

7、对称；关于x的方程ax22ax1=0有且仅有一个零点，则实数a=1；已知命题p：对任意的x1，都有sinx1，则¬p：存在x1，使得sinx1其中所有真命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：利用积化和差公式可得y=cos（x）cos（x+）=cos2x，从而可得其周期为，相邻两个对称中心距离为，可判断；，所以函数的对称中心为（1，1），可判断；分a=0与a0讨论，可判断；当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，可判断解答：解：y=cos（x）cos（x+）=cos2x+cos（）=cos2x，所以函数的周期为，相邻两个对称中心距离为，所以命题不

8、正确，所以函数的对称中心为（1，1），命题正确当a=0时，不成立，当a0时，=0，可得a=1或a=0（舍），所以命题正确当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，所以非p应该为，存在x1，使得sinx1，所以不正确故选：B点评：本题考查三角函数的图象及对称性、周期性，考查函数的零点及全程命题与特称命题，属于中档题4（5分）已知函数f（x）=2sin（2x+）（|），若，则f（x）的一个单调递增区间可以是（）ABCD考点：正弦函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由正弦函数最值的结论，得x=是方程2x+=+2k的一个解，结合|得=，所以f（x）=2sin（2x+），再根据正弦

9、函数的图象与性质，得函数的单调增区间为+k，+k（kZ），对照各选项可得本题答案解答：解：当x=时，f（x）=2sin（2x+）有最小值为2x=是方程2x+=+2k的一个解，得=+2k，（kZ）|，取k=0，得=因此函数表达式为：f（x）=2sin（2x+）令+2k2x+2k，得+kx+k，（kZ）取k=0，得f（x）的一个单调递增区间是故选：D点评：本题给出函数y=Asin（x+）的一个最小值及相应的x值，求函数的单调增区间，着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题5（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xR都有f（x+6）=f（x）+2f（3），f（1）=2，则f=（）

10、A1B2C3D4考点：函数的值 专题：计算题分析：令x=3可求f（3），然后代入可得f（x+6）=f（x）即函数是以6为周期的函数，结合已知可求函数值解答：解：f（x+6）=f（x）+2f（3），且f（x）是定义在R上的偶函数令x=3可得f（3）=f（3）+2f（3）且f（3）=f（3）f（3）=f（3）=0f（x+6）=f（x），即函数是以6为周期的函数f（1）=2f=f（1）=f（1）=2故选B点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，体现了转化的数学思想6（5分）已知=，0x，则tanx为（）ABC2D2考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的

11、求值分析：将已知等式左边分子利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后约分得到cosx+sinx=，再将此等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinxcosx的值小于0，由x的范围得到sinx大于0，cosx小于0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出cosxsinx的值，与sinx+cosx的值联立组成方程组，求出方程组的解得到sinx与cosx的值，进而确定出tanx的值解答：解：=cosx+sinx=，（cosx+sinx）2=，即sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx=，2

12、sinxcosx=0，又0x，sinx0，cosx0，（cosxsinx）2=sin2x2sinxcosx+cos2x=12sinxcosx=，cosxsinx=，联立解得：cosx=，sinx=，则tanx=故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键7（5分）当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则实数a的取值范围为（）A（2，3B4，+）C（1，2D2，4）考点：函数恒成立问题 专题：计算题分析：根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当x（1，2）时，不等式（x1）2logax恒成立，则

13、y=logax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案解答：解：函数y=（x1）2在区间（1，2）上单调递增，当x（1，2）时，y=（x1）2（0，1），若不等式（x1）2logax恒成立，则a1且1loga2即a（1，2，故选C点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键8（5分）在ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，则ABC面积的最大值为（）AB2CD3考点：基本不等式；余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计

14、算公式即可得出解答：解：8=AC2+BC22ACBC，ACBC4又cosC=，由不等式可知AC=BC=2时，面积有最大值，故选：C点评：本题考查了基本不等式、余弦定理、三角形的面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立，则a的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1， +）考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；压轴题分析：先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立”转换成当x0时，f'（x）2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即

15、可解答：解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2恒成立则当x0时，f'（x）2恒成立f'（x）=+x2在（0，+）上恒成立则a（2xx2）max=1故选D点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题10（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），已知f（x+1）是偶函数，（x1）f（x）0若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）=f（x2）Cf（x1）f（x2）D不确定考点：不等关系与不等式；函数奇偶性的判断；导数的运算 专题：综合题；函数的性质及应用

16、分析：由f（x+1）为偶函数可得f（x）图象关于x=1对称，由（x1）f（x）0，可得f（x）在（，1，1，+）上的单调性，分情况讨论：若x11，利用对称性把f（x1）变到区间1，+）上用单调性与f（x2）比较；若x11，则由1x1x2直接用单调性可进行大小比较解答：解：因为f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）=f（x+1），则f（x）的图象关于x=1对称，由（x1）f（x）0得，x1时f（x）0，f（x）单调递减，x1时f（x）0，f（x）单调递增，若x11，由x1+x22，得x22x11，所以f（x1）=f（2x1）f（x2）；若x11，则1x1x2，所以f（x1）f（x2），综上知f（

17、x1）f（x2），故选C点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键，数形结合是分析本题的有力工具二、填空题（每题5分，共20分）11（5分）已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=30°，b=，a=1，则B=60°或120°考点：正弦定理 专题：解三角形分析：根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角B的正弦值，依据边的关系可求角的大小解答：解：baB=60°或120°故答案为：60°或120°点评：

18、本题考查的知识点：正弦定理的应用，三角形解的情况12（5分）已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2+2）f（3x），则实数x的取值范围是（1，2）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题分析：求导确定函数在定义域上是单调的，再将不等式转化为关于x的一元二次不等式，解之得实数x的取值范围解答：解：函数的定义域为（0，+）f（x）=+2xln20，f（x）在（0，+）上是增函数，f（x2+2）f（3x），x2+23x，1x2，实数X的取值范围是 （1，2）故答案为：（1，2）点评：此题是知函数值的大小来求自变量的取值范围，就需知函数的单调性，用导数来判断13（5分）若函数f（x）=|sinx|

19、（x0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为，则=2考点：导数的几何意义 专题：计算题分析：先根据题意画图，然后令切点为A（，sin），（，），在（，）上，根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出=tan，代入所求化简即可求出所求解答：解：函数f（x）=|sinx|（x0）与直线有且只有三个交点如图所示，令切点为A（，sin），（，），在（，）上，f'（x）=cosxcosx=即=tan，故=2故答案为：2点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角函数的运算，属于中档题14（5分）已知函数f（x）=（）x，g（x）=x，记函数h（x

20、）=，则不等式h（x）的解集为（0，考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：由函数的定义与函数的解析式可作图，找到两函数的交点，确定分段函数的取值，最后解出不等式解答： 解：分别画出f（x）和g（x）的图象，h（x）的定义域为（0，+），由图可知两函数的交点在之内，根据题意可知的解集为故答案为：（0，点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题三、解答题（共50分）15（12分）已知函数g（x）=x23，f（x）是二次函数，当x1，2时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式考点：二次函数的性质；函数奇偶

21、性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据题意设f（x）=ax2+bx+c（a0），再由f（x）+g（x）为奇函数求出a、c的值，再求对称轴，根据所给的区间进行分类讨论，分别求出f（x）的最小值列出方程，求出b的值解答：解：设f（x）=ax2+bx+c（a0），则f（x）+g（x）=（a1）x2+bx+c3，f（x）+g（x）为奇函数，a=1，c=3f（x）=x2+bx+3，对称轴x=，当2，即b4时，f（x）在1，2上为减函数，f（x）的最小值为f（2）=4+2b+3=1，b=3，此时无解当12，即4b2时，f（x）min=f（）=3=1，b=±2b=2，此时f（x）=x22x+3

22、，当1s时，即b2时，f（x）在1，2上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=4b=1，b=3，f（x）=x2+3x+3，综上所述，f（x）=x22x+3，或f（x）=x2+3x+3点评：本题考查了函数性质的综合应用，待定系数法求函数的解析式，以及分类讨论思想求二次函数在定区间上的最值问题16（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间考点

23、：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，2），解方程组求得m、n的值（）由（）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得=，可得g（x）=2cos2x令2k2x2k，kZ，求得x的范围，可得g（x）的增区间解答：解：（）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象

24、过点（，）和点（，2），可得 解得 m=，n=1（）由（）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后，得到函数g（x）=2sin2（x+）+=2sin（2x+2+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，2+=2k+，kZ，结合0，可得=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x令2k2x2k，kZ，求得 kxk，故y=g（x）的单调递增区间是k，k，kZ点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，

25、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题17（14分）已知函数（）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；（）求f（x）在0，1上的最小值；（）若对任意mR，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：（）由已知当x=1时，f（x）取得极值，所以必有f（1）=0，据此可求出a的值，再验证a的值是否满足取得的极值条件即可（）先对函数f（x）求导得f（x），需要对a进行分类讨论，看其在区间（0，1）或其子区间上f（x）与0进行比较，可得到其单调性，

26、进而求出其最小值（）因为mR，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x2a1对xR成立，进而求出a的取值范围即可解答：解：（I）f'（x）=x2a，当x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=1a=0，a=1又当x（1，1）时，f'（x）0，x（1，+）时，f'（x）0，f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意 （II） 当a0时，f'（x）0对x（0，1成立，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1当a0时，令f'（x）=x2a=0，当0a1时，当时，f'（x）0，f（x）单调递减，时，f'（x）0，f（x）单调递增所以f（x）在处取得最小值当a1时，x（0，1）时，f'（x）0，f（x）单调递减所以f（x）在x=1处取得最小值综上所述：当a0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1当0a1时，f（x）在处取得最小值当a1时，f（x）在x=1处取得最小值（III）因为mR，直线y=x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x2a1对xR成立，只要f'（x）=x2a的最小