第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

1、第二型曲线积分与曲面积分的计算方法摘要:本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目？关键词：曲面积分；曲线积分1引言第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的重点和难点？掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难？本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法 ？对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意 义2第二型曲线积分

2、例 1 求 Iexsiny b x y dx e x cosy ax dy，其中 a，b 为正的常数，L为从点A （2a，0）沿曲线y=、2ax x2到点o （0，0）的弧.方法一：利用格林公式法LPdx Qdydxdy，P （x，y） ，Q（x，y ）以及它们的一阶偏导数d x y在D上连续，L是域D的边界曲线，L是按正向取定的.解：添加从点o （ 0 , 0）沿y=0到点A（ 2a,0）的有向直线段 L.,IeLUL1xsin yb x ydxxe cosyax dyex . L1 i sin yb x ydxxe cosyax dy记为1111 2则由格林公式得I1QPdxdyxe co

3、sy aex cosy b dxdyxDyDb adxdya2 baD2其中D为LUL所围成的半圆域，直接计算丨2,因为在Li时，y 0 ,所以dy =0因而：丨2 bxdx 2a 2b，从而2 a2b2 2I Ii baba 2a b1 22方法二：应用积分与路径无关化为参数的定积分法求解(1若PQ （与路径无关的条件）,则)yxA X1,%为y1B冷，y°PdxQdyP x,yodxxoQ N,y dyy(2)xt,ytPdxABQdyP t , t ' tQ t , t't dt是起点是终点解: I l exsin y b x y dx e xcosy ax d

4、yi_exsin ydx ex cosydy i_b x y dx axdy对于Ii，积分与路径无关，所以记为I Ii I2 ,exsin ydx e x cos ydy e x siny 2: °0对于|2,取L的参数方程x a asint，t从0至几得y asi ntLb x y dx axdy2222323a bsint a bsin tcost a bsin t a cos t a cost dt0对于空间第二曲线一般的解题过程为：LPdx Qdy Rdz若L闭合，P,Q,R对各元偏导数连续从而I2 a2bdydz dzdx dxdy2 1 22a b a2Pdx Qdy R

5、dz一Lx y zP Q R若L非闭，其参数方程为x x t其中：y y t ,分别为L的起点，终点参数值.z z tPxt,yt,zt x' t Qxt,yt,zt y't R x t ,y t ,z t z't dt例2计算空间曲线积分I= ? y z dx z x dy x y dz ,其中曲线 L. 2 2 2为圆柱面x y a与平面曲线是逆时针方向x z1的交线a 0,h 0，从X轴正向看，0,2上a h方法一：化为参数的定积分计算，对于这种封闭的曲线要充分利用三角函数的正交性.解：令 x a cost, y a si nt ，贝 Uxa cost,zh 1h

6、 1h 1 costaa于是1=asi nt h 1 costasi nth 1costacost a cost acost asint hsint dt2 a a hdydzdzdxdxdy方法二：解：I2 dydz dzdx dxdyxyzy zz xx yh -.21,1,1,0,dxdy2-1 dxdy 2 a h aDxyad a3第二型曲面积分例3计算曲面积分 z x dydz zdxdy ，其中 为旋转抛物面z 1 x2 y2介于平面z=°及z=1之间的部分的下侧.方法一：利用两类曲面积分的联系Pdydz Qdzdx RdxdyPcos Qcos Rcos ds其中co

7、s ,cos ,cos是有向曲面上点（x, y, z）处的法向量的方向余弦解：n x,y, 1 ,cos ,cos ,cosx2 2x yx dydz zdxdyz22X z22_x y2 1 2x x 21 x2x一2zx22y2八7dsds产,1 x2 y2 dxdydxdyr rdr 8方法二：分面投影法如果z x,y 给出，则x, y, z dxdyR x, y, z x,y dxdyDxy如果 由x x y,z 给出，贝yd 2 cos20P x, y,z dydzP x y,z ,y,z dydz如果由y y z,xDyz给出，则Q x, y.z dzdxQ x, y z, x ,

8、 z dzdxDzx等式右端的符号这样规定：如果积分曲面是由方程x x 乙y yy x,z ,z z x,y所给出的曲面上（前,右侧，应取否则取)2z x dydz zdxdyx dydz zdxdy2z x dydzx dydz z2 x dydz后z2Dyz2.2 z y dydzz2、Dyz22zy dydz2 、Dy2d:2zydz4ody yA.2z y 2dz24zdxdy12 x22 1 2 y dxdydr3dr42 Dxy2 oo前所以2z x dydz zdxdy 8方法三：合一投影法前面我们看到，按分面投影发计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然

9、后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方式形式上虽然简单但计算比较繁琐？事实上，如果 的方程z z x,y ， x, y，（ Dxy是在xoy面上的投影区域），函数 P,Q,R在 上连续时，则单位法向量为ure cos ,cos ,cos乙一Zy Z2 Zy21V, ZZy2 1 /JZy2 1x2由于投影兀素 dydz cos ds ,dzdxcos ds , dxdycos ds ,于是得到dydz cos dscoscoscosdscos dxdy cosZxdxdydzdx cos dscoscos cosdscoscos dxdyZydxdy所以P x,y,z dydzQ x, y,z

10、 dzdxx,y,z dxdyP x, y,z x, yZx x,yx,y,z x, yZy x,y R x,y,z x, yDxyP乙Q乙 R dxdyDxy等式右端的符号这样确定：如果是由方程所给出的曲面上侧，取“”， 否则取“”.当dxdy可用显示方程y yz,x或x x y, z表示时，只需注意到此时 的法向量为 yx,1 y, yx或1, xy, x可得相应公式上述方法将 上式中的三种类型积分转化为同一坐标面上的二重积分，故名为合 一投影法.解：z 1 x2 y2，在xoy面上的投影区域：Dxy= x, y x2 y24，2又的下侧，Zx x，故由上式可得：2zx dydz zdxd

11、yD xy1 2 2 2x y42 1 2 2x -x yD xy2222 2dr cosoo方法四:咼斯公式b PdydzQdzdxRdxdy解:曲面不是封闭曲面，不能直接利用咼斯公式，x x1 2 2x y dxdy 2dxdy2rdr82P Q JR .,dvx yz应补面1Z 2的上侧，则2 用高斯公式z x dydz zdxdy0dv 0所以2z x dydz zdxdy2z x dydz zdxdy1zdxdy 2 dxdy 8Dxy2z x dydz zdxdy 012所以z x dydz zdxdy 84 小结从以上对试题的分析，发现不同年份的命题，多次考到相同的知识点，并且

12、吻合于通用教 材教学中的难点重点， 虽然考试题目千变万化，但教材的内容相对 稳定，因此只有吃透教材，抓住重点难点，克服盲点复习，达到以静制动?过本 文的分析，希望对大家有一定的指导作用 ?（指导教师：吕国亮） 参考文献1 华东师大数学系 徽学分析（下）M，第三版高等教育出版社，2001 , 224-231.2 刘玉琏，傅沛仁等数学分析讲义（下）M,第四版.高等教育出版社，2003 , 375-388. 林源渠，方企勤数学分析解题指南M.北京大学出版社，2001，338-362.4陈文灯数学复习指南M.世界图书出版社，2000，276-287. 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析M.机械工业出版社，2002，175-188.（6）