2020年中考数学培优专题讲义第18讲圆与相似

1、第18讲圆与相似模型讲解 ABEs/DCEABEs AADC圆与直角母子型（2）【例题讲解】例题1如图，AB为。的直径，C为。上一点，弦 AD平分/ BAC,交BC于点E, AB=6, AD=5,则AE的长.【解析】如图，连接BD、CD,AB为。O的直径，ADB = 90bd= Jab2- ad2 =优2-52 = %有,.弦ad平分/ bac,cd= bd=布，/ CBD = / DAB在 ABD和 BED中,ZBAD = Z ebd zadb = z bdeABDA BED ,.D1=DB,即DB ADDE1111解得DE = U .5AE = AD-DE = 5-115145例题2如图，

2、在 ABC中，以AC边为直径的。O交BC于点D,过点B作BGLAC交。O于点E、H,连AD、ED、EC.若 BD = 8,DC = 6,求CE的长.B【解析】: AC为。的直径， ./ ADC = 90 , BGXAC, ./ BGC = Z ADC = 90 , . / BCD = Z ACD,ADCA BGC,DC _ AC 一 ，CG BCCG - AC= DC - BC = 6X 14= 84, 连接AE, . AC为。O的直径， ./ AEC=90 , ./ AEC = Z EGC = 90 , . / ACE = Z ECG ,CEGA CAE,.CG _ CE 1 一 ，CE A

3、C .CE2=CG - AC=84,，CE= 2/.【巩固练习】1 .如图，已知DD为等腰三角形 ABC的底边BC上的任意一点，AD的延长线交 ABC的外接圆于点 巳 连接BE、CE,则图中相似三角形共有 （）A. 8对B. 6对C. 4对D. 2对2.如图，AB为。的直径，C是。上一点，连接 AC,过点C作直线CDLAB交AB于点D, E是OB 上一点，直线 CE与。O交于点F,连接AF交直线CD于点G.若AC = 2 J2，则AG AF =.3、如图，已知半圆的直径 AB=10,点C在半圆上，CB=6,。为AB的中点，ODLAB交AC于点D,则OD=4 .如图，。是 ABC的外接圆，BC是

4、。的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E,若BC=2，2CD=，则 DE =5、如图，已知 ABC内接于。0,且AB = AC,直径 AD交BC于点E, F是OE的中点，如果 BD / CF, BC =2 & 贝U CD=.（第5题）（第6题）（第7题）6、如图，已知。0的半径为4, AB=6,锐角 ABC内接于。0, BDLAC于点D, OE,AB 于点M ,则sin / CBD的值等于.7、如图，AD是圆内接 ABC的高，AE是。的直径，AB= 6Q , AC= J3 ,则AE AD =.8、如图， ABC是。的内接三角形， AB= AC, BD平分/ ABC交。0于点D,连接 AD

5、、CD.作AELBD于点E,若AE = 3, DE=1,则4ACD的面积是9、如图：M、N分别为直角坐标系 x、y正半轴上两点，过 M、N和原点0三点的圆和直线 y=x交于点P, （1）试判断 PMN的形状；（2）连接MN,设直线y=x交MN于点G,若PGPN = 3: 4, PGN的周长为6,求 PON的周长.10、如图，PB为。O0的切线，B为切点，直线 PO交。O于点E, F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,交。O于点A,延长AO与。O交于点C,连接BC、AF。(1)求证：直线 PA为。的切线；(2)试探究线段 EF、OD OP之间的数量关系，并加以证明；(3)若BC= 6, tan

6、 Z F=,求cos/ACB的值和线段 PE的长.211、如图1, AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为 C.(1)求证：/ ACD= / B;(2)如图2, / BDC的平分线分别交 AC, BC于点E, F;求tan/CFE的值；若AC= 3, BC= 4,求CE的长.12、如图，AB是。的直径，弦 CD，AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB的延长线于 F, 切点为G,连接AG交CD于K.(1)求证：KE=GE;(2)若KG2=KDGE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若sinE=3, AK=2j5,求FG的长

7、.5参考答案1答案：B.2答案：8.3答案：15 .454.答案：?.【解析】由d是劣弧Ac的中点，得Ad DCABD DAC ,又. / ADB = Z EDA,ABDA EAD ,.AD _ DB -=，DE ADAD2= DE DB;由D是劣弧Ac的中点，得 AD=DC,则DC2=DE -CB是直径，. BCD是直角三角形.BD= ：BC2 CD2 = (2 (1)2 =、5DB,由 DC2= DE - DB 得,(“5de，5 .答案：6 .6 .答案：万.7 .答案：3 2 .8 .答案：3V10 .2y=x,9 .答案：（1）解：APMN是等腰直角三角形，理由: ./ PON= /

8、 FOM=45.PN=PM. 四边形ONPM内接于圆， ./ MON+Z NPM= 180. ./ MON= 90, ./ NPM=90.即4PMN是等腰直角三角形。(2) APMN是等腰直角三角形，PMN=Z PNM. /OPN= Z OPN, . PN3 APON.PNG 的周长：APON 的周长=PG:PN=3: 4.PNG 的周长=6,APON 的周长=8.10.答案：(1)如图所示，连接 0B,因为PB是。O切线，所以/ PBO= 90,因为0A = 0B, BAPO于D, 所以 AD=BD, /P0A= / P0B,所以在PAD 和APB。中，OA= OB,Z P0A= / P0B

9、, PO= PO, APA84PBO(SAS),所以/ PAO= / PBO= 90,所以 OAL PA,直线 PA为。O 切线。(2) EF2=4ODOP。因为/ PAO= / PDA= 90,所以/ OPA+ / AOP= 90,且/ OAD+ / AOD= 90,则/OAD=/OPA,因为/ AOD= / POA,所以OAD AOPA,所以 OD OA ,即 OA2=ODOP,又因为 EF= OA OP2OA,所以 EF2=4ODOP.1(3)因为OA=OQ AD=BD,BC=6,由二角形中位线定理可知，0D=BC=3,设AD = x,因为tan / F2=1,所以 FD= 2x, 0A

10、=OF= 2x-3,在 RtAAOD 中，由勾股定理得(2x3) 2=x2+3,解得 xi = 4 或 X22=0 (舍去)，所以 AD=4, OA= 2x-3 = 5,因为 AC是。O 直径，所以/ ABC= 90,又因为 AC= 2OA= 10, BC= 6,所以 cos/ACB= 3,因为 OA2=ODOP,所以 3 (PE+ 5) =25,所以 PE=.105311 .答案：(1)证明：如图1中，连接OC. .OA= OC, ./OC / OAC, . CD 是。O 切线，. .OC CD,. / OCD= 90, . / DCA+ / OCA= 90, AB是直径， ./ CAB+ / B=90, ./ ACD = Z B.(2)在 RTAABC 中,1, . /CDA= / BDC, / . DCAs DBC,DC AC DAAC= 3, BC= 4,由勾股定理得DCA= / B,AB=5,DB BC CD2= DA DB,CD设 DC=3k, DB= 4K,一 2,、9k = ( 4k-5),20k=,.-.CD=74k,60一